Teoria de controle moderno

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Teoria de controle moderno 
Unidade 1 
Um tipo de acoplamento muito importante na indústria é o feito por engrenagens, pois é vastamente utilizado, por exemplo, em redutores de velocidade utilizados em usinas sucroenergéticas e tem alta confiabilidade com baixa perda de potência. A figura abaixo ilustra um trem de engrenagens, que se trata de um sistema mecânico no qual duas (ou mais) engrenagens de diâmetros distintos são acopladas de modo que, no eixo de entrada a rotação é alta (possivelmente proveniente de um motor) e no eixo de saída.
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de FELÍCIO, Luiz Carlos. Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta. 2. ed. São Carlos: RiMa, 2010
 
Sendo  a relação de transmissão, a função transferência deste sistema pode ser dada por
, onde
Torque equivalente: 
Amortecimento equivalente: 
Momento de inércia equivalente: 
Uma entrada degrau unitário de torque equivalente resulta em qual resposta temporal de ângulo no eixo de saída (eixo 2 da figura acima)?
 
 
Dados: , , , 
Escolha uma:
Softwares de matemática, como é o caso do MATLAB, são ferramentas fundamentais no dia-a-dia de um projetista, pois auxiliam no projeto e análise de sistemas de controle. O MATLAB conta com uma extensa biblioteca de funções que agilizam, por exemplo, o processo de ajuste e simulação de um sistema dinâmico com ou sem controle acoplado.
Considere a função de resposta, , de um sistema dinâmico qualquer, no domínio da frequência. Qual a função do MATLAB deve ser utilizada para aplicar a transformada inversa de Laplace com o objetivo de visualizar tal resposta temporalmente?
Escolha uma:
Ilaplace
A arquitetura de um sistema de controle diz muito sobre o seu funcionamento, suas capacidades e, de maneira superficial, seu custo de implementação. A arquitetura em malha aberta não se adequa a alterações que possam ocorrer no sistema dinâmico, diferentemente da arquitetura em malha fechada, que recebe informações do sistema por meio da retroalimentação (feedback) e, com esta, adequa a atuação à qual o sistema dinâmico é imposto. Em relação ao custo financeiro, a arquitetura em malha fechada, devido à retroalimentação, tende a envolver maior custo financeiro quando comparada à arquitetura em malha aberta.
Levando em consideração o fluxo de dados que deve ocorrer em um sistema de controle em malha fechada, quais das alternativas apresenta um diagrama de blocos correto?
Escolha uma:
A função degrau (ou heaviside) é de grande utilidade no estudo e aplicação de teoria de controle e de sistemas dinâmicos, pois ela permite a modelagem, de maneira simples, de uma ampla variedade de funções recorrentes, como é o caso, por exemplo, de uma onda quadrada.
Qual das alternativas abaixo apresenta corretamente uma função que representa sequência de três pulsos, no MATLAB, de acordo com a figura abaixo? Suponha que as variáveis necessárias já foram declaradas previamente.
 
 
Fonte: elaborado pelo autor
Escolha uma:
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática vastamente utilizada em projeto e análise de sistemas de controles por simplificar a resolução das EDO’s que surgem da modelagem físico-matemática de sistemas dinâmicos. Com esta ferramenta e suas propriedades, é possível simular facilmente o comportamento dos sistemas quando submetidos às entradas que forem necessárias.
Em eletrônica, com um amplificador operacional, é possível montar um circuito somador de tensões. Tal circuito é utilizado em operações analógicas com sinais, como por exemplo, mixagem de áudio. Seu desenho esquemático está abaixo, juntamente com seu equacionamento.
 
Fonte: elaborado pelo autor
 
Qual das alternativas abaixo apresenta a transformada de Laplace desse sistema, supondo ?
Escolha uma:
Os softwares de matemática são de grande auxílio no projeto e desenvolvimento de sistemas de controle pois possibilitam que o projetista aplique importantes conceitos da teoria de forma rápida e automatizada, já que é possível desenvolver scripts que agilizam as tarefas repetitivas.
De acordo com as afirmações abaixo sobre a utilização de softwares de matemática, qual(is) está(ão) corretas(s)?
I. Possibilitam a solução analítica de equações diferenciais ordinárias com condições iniciais
II. Não conseguem lidar com variáveis simbólicas, já só é possível lidar com estas por meio de cálculos manuais.
III. O software facilita o trabalho do projetista de controle pois apenas disponibiliza uma lista com as transformadas de Laplace de todas as funções.
IV. De posse da função transferência de um modelo dinâmico, a utilização do software facilita e agiliza a realização de simulações da resposta do sistema quando submetido às mais variadas entradas e condições iniciais.
Escolha uma:
I e IV.
A figura abaixo representa um tanque que tem entrada  e saída  em . A pressão   é dada pela segunda equação, a massa total de água presente no sistema (m) é dada pela terceira equação e a resistência fluídica influencia a saída de acordo com a quarta equação e, com da lei da conservação da massa (primeira equação), podemos descrever como o sistema se comporta.
 (1.11)
 (1.12)
 (1.13)
 (1.14)
Onde:
 densidade da água
 aceleração da gravidade
 nível de água do tanque
 resistência fluídica
vazão de entrada de água
vazão de saída de água
 área da seção do tanque
 massa total de água no sistema (muda com o tempo)
pressão manométrica no fundo do tanque
Figura: tanque de água
 
 
Fonte: elaborado pelo autor
Um tanque similar ao da figura 1.19 será utilizado em uma indústria alimentícia da seguinte maneira: a entrada de água ocorre a uma taxa de  e funciona em ciclos de 4 minutos, sendo 50% ligada e 50% desligada. A resistência fluídica da saída equivale a  e o tanque tem área transversal de .
O tanque precisa ser instalado sobre uma estrutura já existente no local. Sabe-se que a estrutura suporta até 2 toneladas além do peso vazio do tanque de água.
A estrutura suportará o pico da massa de água que será atingida ao longo da utilização do tanque? Qual o comportamento do sistema ao longo do tempo?
Escolha uma:
Sim a estrutura suportará. A figura a seguir mostra o comportamento do sistema.
No Brasil, a partir de 1º de janeiro de 2019, será proibida a fabricação, importação, comercialização e uso de termômetros e esfigmomanômetros com coluna de mercúrio em serviços de saúde. Mas a resolução não se aplica aos produtos para pesquisa, calibração de outros instrumentos ou para uso como padrão de referência.
O modelo matemático de um termômetro de bulbo, com as devidas hipóteses simplificadoras como: a temperatura que envolve o termômetro ser uniforme, o vidro do termômetro não armazena energia e funciona apenas como uma resistência térmica, a variação da massa de mercúrio no bulbo é desprezível, é mostrado na equação 1.16, sendo  e  as temperaturas do que será medido (na figura abaixo, é a temperatura de um líquido) e a temperatura indicada pelo termômetro.
Figura: Termômetro de mercúrio
 
 
 
Fonte: FELÍCIO, L. C. Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta, 2ª edição, Rima, 2010
 
Onde:
	 Resistência térmica do bulbo de vidro 
 Capacitância térmica do mercúrio
Massa de mercúrio no bulbo 
	 Transformada de Laplace da temperatura medida pelo termômetro
 = Temperatura do termômetro exatamente antes de iniciar o processo de aferição, ou seja, quando o tempo é zero .
 Transformada de Laplace da Temperatura a ser medida.
Antes de o termômetro ser proibido, quanto tempo demora para o aparelho indicar a temperatura de 37,9°C quando utilizado em uma pessoa com febre de 38°C, sendo que a temperatura ambiente é de 24°C? Mostre, com o auxílio do MatLab, a resposta gráfica referente ao comportamento da temperatura ao longo do tempo.
Escolha uma:
. 
Embora os resultados do MATLAB fortemente baseados na matemática, sempre devemos interpretar cuidadosamente os resultados obtidos pois, embora o resultado possa estar correto, uma interpretação incorreta pode invalidar os cálculos realizados.
No MATLAB, ao aplicar a transformada de Laplace em um modelo no qualhá a derivada de uma função, surgem termos que dependem do valor da função (e de suas derivadas, quando aplicável) no tempo igual zero. Veja o seguinte exemplo:
Sabemos que f(0) e D(f)(0) são o valor da função e de sua derivada em t=0.
O que se pode afirmar sobre esses termos?
Escolha uma:
Assim como na transformada de Laplace que fazemos manualmente, no MATLAB surgem os termos que indicam as condições iniciais do sistema. Para obter uma resposta temporal, estes devem ser substituídos justamente pelos valores que representam as condições iniciais do sistema.
O auxílio de ferramentais computacionais como o software MATLAB permite que o sejam analisadas respostas dinâmicas de modelos matemáticos com o intuito de validar o protótipo para diminuir, ou mesmo erradicar, a necessidade de arcar com os custo de aparato experimental para avaliação de sistemas inadequados.
A empresa automobilística na qual você trabalha precisa que seja escolhido o melhor sistema de suspensão dentre três pré-selecionados.
 
	Parâmetros
	Sistema 1
	Sistema 2
	Sistema 3
	Rigidez 
	55.620
	227.750
	900.200
	Amortecimento 
	4.570
	5.720
	7.000
O modelo dinâmico é dado pela equação abaixo.
Sendo que M, B, K, x(t), y(t) são massa de 320kg, amortecimento, rigidez, posição vertical do chassi do veículo e elevação do perfil da pista, respectivamente.
A entrada do perfil da pista deve ser dada pela função abaixo, que modela o automóvel a  passando por um buraco no pavimento de  de profundidade e  de largura.
O critério de seleção é: a melhor suspensão é aquela que causa menor variação na posição vertical do veículo.
Usando o MATLAB, defina qual (ou quais) das suspensões têm melhor resposta em relação a este critério.
Escolha uma:
A melhor suspensão é o Sistema 1
O MATLAB é uma poderosa ferramenta de auxílio no projeto de controladores. Com ela, podemos fazer vários testes de forma ágil com a utilização de variáveis do tipo simbólico, pois, com estas, podemos determinar a equação analítica e fazer consecutivas substituições de forma independente e sem alterar a equação original.
Sobre a utilização de variáveis simbólicas e transformação direta e inversa de Laplace no Matlab, quais das afirmações abaixo estão corretas?
I. Apenas as variáveis pré-definidas  (para o tempo) e  (para a frequência) podem ser utilizadas nas transformações inversa e direta de Laplace.
II. Variáveis simbólicas podem ser substituídas por valores numéricos para se obter resultados numéricos.
III. As funções diff e int são utilizadas exclusivamente para diferenciação e integração numérica, sendo assim impossível de aplicar transformada em questão às derivadas ou integrais de funções.
IV. Por padrão, a transformada de Laplace (comando laplace) e a transformada inversa de Laplace (comando ilaplace) fazem a transformação com as variáveis  e , respectivamente.
V. Para aplicar a transformada de Laplace em uma integral de uma função é necessário fazer uso de uma variável secundária no comando de integração, da seguinte maneira: int(f(v),v,0,t), sendo que v, t e f(t) foram declaradas como simbólicas previamente
Escolha uma:
II, IV e V
O braço de um sistema robótico que desenvolve altas acelerações é submetido a esforços internos de grande magnitudes e esses esforços podem fazer com que o braço sofra flexão que não pode ser desprezada. Então, para modelar uma situação dinâmica desse tipo, podemos aumentar o número de corpos (acrescentar massa no sistema) conectadas entre si por molas e amortecedores.
Suponha que um braço robótico tenha o modelo representado pela figura abaixo cuja função transferência é equação abaixo.
Ilustração e diagrama de blocos de um braço robótico
 
	Ilustração e diagrama de blocos de um braço robótico
	
	
	Fonte: elaborado pelo autor
Sendo o equacionamento da massa à esquerda a seguinte equação:
E o equacionamento da massa à direita a seguinte equação:
Qual a função transferência entre a saída Y e a entrada U levando em consideração condições iniciais nulas?
Escolha uma:
O sistema elétrico da figura tem a tensão  como entrada e a corrente  como saída, de acordo com a equação:
Figura: Circuito RC
 
Fonte: elaborado pelo autor
Qual a resposta do sistema com capacitância  e resistência  para uma entrada senoidal de frequência e amplitude unitária () e supondo condições iniciais nulas?
Escolha uma:
A transformada de Laplace é de grande utilidade para a resolução de equações diferenciais ordinárias, que são obtidas a partir da modelagem de sistemas dinâmicos.
Sobre a transformada de Laplace, podemos afirmar que:
Escolha uma:
Realiza uma transformação do domínio do tempo para o domínio da frequência.
O torque de um motor elétrico de corrente contínua pode ser aproximado por uma função afim da corrente que passa pelo motor , sendo  a constante de torque elétrico com dimensão 
 
Seja um sistema eletromecânico simplificado representado pela figura-1 a seguir, com resistência total , indutância total de , constante de torque do motor , inércia  e amortecimento angular  .
 
 
Figura-1 Sistema eletromecânico
Fonte: Garcia, 2017.
Com base na figura-1, assinale a alternativa qua presenta corretamente a função de transferência da velocidade angular verificada no eixo de saída do motor.
Escolha uma:
Equações diferenciais ordinárias são comumente obtidas a partir da modelagem de sistemas dinâmicos. Esse tipo de equação pode ser classificado em linear ou não linear.
Considere os seguintes modelos dinâmicos:
I. Massa-mola-amortecedor forçado:
II. Um corpo caindo sob o efeito do arraste do ar:
III. Pêndulo simples com atrito:
IV. Tensão do capacitor em um circuito RLC em paralelo:
Quais deles representam EDO não lineares?
Escolha uma:
II e III
A transformada inversa de Laplace é utilizada em modelagem de sistemas dinâmicos para obter a resposta do sistema no domínio do tempo.
Sobre as afirmações a seguir:
I. Sempre que a transformada inversa de Laplace é utilizada, obtém-se uma função no tempo.
II. Como a transformada de Laplace é definida por uma integral, a transformada inversa de Laplace sempre pode ser calculada por meio de uma derivada.
III. A função resultante da transformada inversa de Laplace é geralmente denotada por uma letra minúscula.
 
Qual(is) está(ão) correta(s)?
Escolha uma:
I
Deficientes visuais são as pessoas que, por motivo de acidente, de saúde ou congênito, sofreram a perda ou total parcial do sentido da visão. Com isso, a habilidade de andar de maneira independente pelas ruas fica prejudicada pois esses indivíduos não têm informação de como o ambiente ao redor deles se encontra nem como ele está se modificando. Para andarem pelas ruas de maneira mais independente, os deficientes visuais contam com o auxílio de bengala, cão guia, piso tátil, semáforos sonorizados etc, pois eles contam com pouca ou nenhuma informação sobre o ambiente em que se encontram.
Utilizando-se do contexto de sistema de controle, qual a utilidade desses tipos de auxílio?
Escolha uma:
Esses auxílios servem de retroalimentação das situações ambiente, permitindo a ele tomar decisão a respeito de sua locomoção com mais segurança e conforto.
Saber identificar a variável a ser realimentada é de extrema importância para um sistema de controle pois. A seleção de tal variável afeta tanto a modelagem do sistema dinâmico quanto o projeto do controlador para este. Por vezes sua má seleção acarreta em um modelo que, além de estar errado, é impossível de ser submetido à ação de um controlador.
 
As caixas d’água das residências contam com um simples sistema de controle puramente mecânico para que água não falte nem transborde da caixa. O sistema é composto por uma boia conectada a uma haste cuja rotação afeta a vazão da válvula.
Figura – Ilustração do sistema de controle de nível da caixa d’água
Fonte: garcia, Henrique 2017.
 
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a propriedade (ou variável) que é realimentada para o sistema de controle:
Escolha uma:
O nível da água dentro da caixa.
Os sistemas de controle podem ser classificados em controleem malha aberta (os que não têm retroalimentação) e controle em malha fechada (os que têm retroalimentação). Embora as diferentes arquiteturas tenhas suas peculiaridades tanto na teoria quanto na prática, devemos entender que o uso de uma arquitetura em um sistema de controle não exclui a possibilidade de aplicação da outra arquitetura. Por isso, nos mais variados sistemas de controle que possamos imaginar, existe a presença de ambas arquiteturas. Então imprescindível que o projetista usufrua das vantagens de cada tipo de arquitetura sempre que necessário.
Sobre uma máquina de lavar comum, podemos afirmar:
I. Ao acionar a máquina, é possível escolher o tipo de lavagem que se deseja realizar. Após completar o ciclo de lavagem, a máquina inicia o enxague e por final, a centrifugação. Todos os ciclos do processo citados anteriormente ocorrem por um intervalo de tempo, o qual é predeterminado de acordo com cada tarefa. Ao final do processo de lavagem, a máquina não garante que todas as roupas estejam devidamente lavadas;
II. A vibração do cesto da máquina de lavar é intensa devido à inevitável distribuição não homogênea das peças de roupa durante a centrifugação, então, para não avariar o mecanismo da máquina, absorvedores de vibração são conectados à parte rotativa, que contém as roupas, a fim de diminuir a vibração.
III. É possível escolher o nível de água da máquina de acordo com a quantidade de roupas que se deseja lavar.
Aplicando o conceito de arquiteturas de um controlador, podemos afirmar que I, II e II se tratam de:
Escolha uma:
Malha aberta, malha fechada e malha fechada
“Como a planta gira conforme o Sol?
Esse curioso movimento acontece porque a planta é adaptada para captar a maior quantidade possível de energia solar, absorvendo mais luz para fabricar energia. A primeira razão é que sua flor – na verdade, um conjunto de até 2 mil micro flores que ficam no círculo entre as pétalas – pende como uma bandeja virada para o Sol. “Isso ocorre porque o crescimento do caule da planta responde à ação da luz. Durante o dia, o lado escuro acumula auxina, um hormônio que regula o crescimento vegetal. Com isso, a parte sombreada cresce mais, deixando a flor quase perpendicular ao Sol”, afirma o engenheiro agrônomo Osvaldo Vasconcellos Vieira, da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) de Londrina (PR). A ação do hormônio do crescimento também interfere no comportamento do caule da planta quando faz sol. Na presença dos raios solares, a auxina presente nas células muda para a parte não iluminada das plantas, como se fugisse da luz. Essa migração hormonal acaba fazendo com que a flor gire na direção do Sol. Depois que acaba a luz, esse efeito cessa e o girassol volta para sua posição original. Entretanto, o gira-gira só dura até o vegetal florescer. “Depois disso, a planta permanece sempre virada para o leste. Tudo indica que o movimento acaba porque o florescimento inibe a ação dos hormônios responsáveis pela atração solar”, diz Osvaldo.”
Sobre o texto acima, considere as afirmações:
I. O vegetal fecha sua malha de controle para crescer em direção ao Sol usando o fato de que o hormônio auxina “foge” da presença de luz, recebendo de maneira indireta a informação da posição do Sol.
II. Como a planta é um sistema biológico, esta não tem sensor de posicionamento do Sol, então pode-se dizer que seu funcionamento se dá em malha aberta.
III. Durante a noite, sem luz solar e com a auxina distribuída pelo caule da planta, pode-se dizer que ela continua crescendo em malha aberta pois não há a referência do Sol para o vegetal seguir.
O que se pode dizer sobre essas afirmações?
Escolha uma:
Apenas I e III estão corretas.
Os semáforos comuns servem para temporizar os cruzamentos das vias de trânsito. Mesmo que não haja qualquer movimento de veículos no cruzamento, o condutor é obrigado por lei a aguardar o sinal verde para fazê-lo. Por outro lado, se o trânsito é intenso, o semáforo garante o compartilhamento de tempo entre as vias concorrentes.
Tendo por base a teoria de controle e o texto acima, o que se pode afirmar em relação ao funcionamento dos semáforos comuns?
Escolha uma:
Em relação ao fluxo de carros, os semáforos funcionam em malha aberta pois a presença ou ausência de carros nas vias não altera a sua temporização.
“O observatório TAIPEI 101 tem o maior e mais pesado amortecedor para ventos do mundo com um diâmetro de 5,5m e massa de 660 toneladas. É o único amortecedor para ventanias do mundo exposto para visão pública. O amortecedor para vento fica suspenso entre o 92º e o 87º piso [...] servindo como um dos elementos chave dos sistemas de resistência ao vento e ao terremoto do TAIPEI 101.”
Fonte: http://www.taipei-101.com.tw/en/observatory-damper.aspx. Acessado em 13/05/2017
Sobre o sistema de controle de vibração do edifício TAIPEI 101, pode-se dizer que:
Escolha uma:
Se trata de um sistema em malha fechada, pois a resposta do sistema de controle depende da vibração do prédio
Unidade 2
Com o MATLAB, graças à sua extensa biblioteca de funções e comandos, podemos inserir um sistema dinâmico de várias maneiras. Dentre elas, há o comando tf, que permite incluirmos modelos representados por função de transferência.
De posse de um sistema cujos polos complexos são  e , como podemos inserir seu respectivo modelo em função de transferência na forma padrão?
Dica: 
Escolha uma:
>> sistema = tf(29,[1 4 29]);
A função de transferência é uma forma de representação de sistemas dinâmicos muito utilizada. Especialmente para sistemas de primeira e segunda ordem, é possível prever sua resposta apenas por meio de comparações entre o polinômio do denominador e a forma padrão da função de transferência na ordem do respectivo sistema.
Dos sistemas de segunda ordem abaixo, qual tem o maior sobressinal e em que tempo ele ocorre?
Escolha uma:
 
Nenhum dos sistemas apresenta sobressinal, pois são todos subamortecidos, ou seja, 
Os polos de um sistema dinâmico linear invariante no tempo e sua resposta temporal são informações que intimamente ligadas. Por exemplo, observando os polos de um dado sistema de primeira ou segunda ordem, é possível saber como será a sua resposta à uma entrada degrau.
Das afirmações abaixo sobre polos de um sistema de primeira e segunda ordem, qual(is) está(ão) correta(s)?
I. Se um sistema de segunda ordem tem apenas polos reais, então a sua resposta a uma entrada degrau unitário é idêntica à resposta de um sistema de primeira ordem, que também tem apenas polos reais.
II. Se um sistema de segunda ordem apresenta polos complexos, então o sistema tem comportamento que se classifica como subamortecido.
III. Um sistema de segunda ordem criticamente amortecido é aquele que tem um polo de ordem 2.
Escolha uma:
Apenas II e III
Uma das maneiras de se representar modelo de um sistema dinâmico é por meio das equações em espaço de estados. Com esta forma de representação, é possível reescrever todas as equações do modelo de forma que elas se tornem equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e podendo ainda serem previstas múltiplas entradas e múltiplas saídas.
Considere o sistema mecânico abaixo:
Fonte: elaborado pelo autor
Se a entrada do sistema for o par de forças  e  e as saídas forem a posição do bloco 2, e a velocidade do bloco 1, nessa ordem, qual das alternativas abaixo apresenta o conjunto correto de matrizes?
Dado: , onde  é a posição do bloco 1 e  é a posição do bloco 2.  e  são as forças aplicadas nos blocos 1 e 2, respectivamente.
Escolha uma:
. 
Dentre as ferramentas disponibilizadas no MATLAB, há comandos que nos permitem converter uma representação de um sistema em espaço de estados para função de transferência e vice-versa. Tais comandos são muito úteis para, a partir de um modelo em uma representação, rapidamente obtê-lo em outra representação.
A partir da função de transferência abaixo
Como podemos convertê-la para espaço de estados no MATLAB?
Escolha uma:
>> tf2ss(1,[2 3 4]);
Abaixo temos a figura de um modelo de uma suspensão automotiva.
 
Fonte: elaboradopelo autor
 
Sendo que:
 
	 :massa da roda
 : rigidez do pneu
 : perfil da pista (entrada)
 : posição vertical da roda (saída)
	 : rigidez da suspensão
 : amortecimento da suspensão
 : massa sustentada pela suspensão
 : posição vertical do carro (saída)
 
Seu modelo em espaço de estados é dado abaixo.
 
Onde:
 
   e    
Para a escolha dos elementos construtivos de um sistema de suspensão é necessário que o modelo seja inserido no MATLAB para que ele seja submetido a testes simulados e sua resposta seja analisada de acordo com critérios pré-determinados. Suponha que você já tenha no programa os valores corretos de todos os parâmetros do sistema guardado nas seguintes variáveis:
 
 
	 
	Variável no MATLAB
	 :massa da roda
	Mr
	 : rigidez do pneu
	Kr
	 : perfil da pista (entrada)
	yp
	 : posição vertical da roda (saída)
	Xr
	 : amortecimento da suspensão
	Bs
	 : posição vertical do carro (saída)
	xc
	 : massa sustentada pela suspensão
	Mc
	 : rigidez da suspensão
	Kr
 
Como você fará para inserir o modelo da suspensão no MATLAB?
Escolha uma:
>> a = [0, 1, 0, 0; -Ks, -Bs, Ks, Bs; 0, 0, 0, 1; Ks, Bs, -Ks-Kr, -Bs];
>> b = [0; 0; 0; Kr];
>> c = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0];
>> d = 0;
>> sistema = ss(a, b, c, d);
O MATLAB permite que sejam utilizadas diferentes formas de representação de modelos de SLIT. Isto é vantajoso para o projetista pois dá a ele liberdade para desenvolver o projeto da maneira que ele julgar mais conveniente.
Quais são os tipos de modelo de sistemas dinâmicos que o MATLAB permite representação?
Escolha uma:
O MATLAB permite a representação de modelos em espaço de estados, diagrama de blocos e função de transferência, sendo que os dois primeiros compartilham do mesmo tipo de variável e o último tem um outro tipo de variável.
No MATLAB, é possível montar diagrama de blocos com a utilização de funções específicas (como connect, sumblk, tf etc) para este fim.
Veja o código abaixo de diagrama de blocos em MATLAB, supondo que as variáveis numéricas M, B e K já foram inseridas.
>> b1 = tf([B/K 0],1,’inputname’,’y’,’outputname’,’r1’);
>> s1 = sumblk(‘r2 = y + r1’);
>> b2 = tf(B/K,1,’inputname’,’r6’,’outputname’,’r4’);
>> b3 = tf([M/K 0],1,’inputname’,’r6’,’outputname’,’r3’);
>> b5 = tf([1 0],1,’inputname’,’x’,’outputname’,’r6’);
>> s2 = sumblk(‘x = r4 + r3 + r2’);
>> sistema = connect(b1, s1, b2, b3, b5, s2);
 
Qual das afirmações abaixo está correta?
Escolha uma:
O bloco de soma s1 não é utilizado
No MATLAB é possível que, a partir de uma representação em espaço de estados, convertamos o modelo para representação em função de transferência (usando o comando ss2tf) ou vice versa (comando tf2ss).
Um tipo de controlador muito utilizado é o controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID, o qual estudaremos com mais detalhes nas próximas unidades) e sua equação no domínio da frequência, de maneira geral, pode ser dada por:
Sendo  é a entrada (erro do estado atual do sistema em relação a alguma referência imposta) e  é a saída.
Como podemos fazer para, depois de obter a função de transferência desse tipo de controlador, convertê-la para espaço de estados no MATLAB? Suponha que já tenha sido inserido no programa os valores para kp, ki e kd.
Dica: para inserir a função de transferência no MATLAB, manipule a equação acima de modo que não haja termos multiplicando  com expoente menor que zero.
Escolha uma:
>> numerador = [kd, kp, ki];
>> denominador = [1 0];
>> pidss = tf2ss(numerador, denominador);
É possível obtermos métricas da resposta temporal no MATLAB utilizando os comandos stepinfo e lsiminfo. Esses comandos retornam métricas importantes para análise de desempenho do modelo de um sistema dinâmico linear invariante no tempo.
Um sistema massa-mola amortecedor (mostrado na figura abaixo) tem massa , amortecimento  e rigidez .
 
 
 
Sendo  (posição vertical da massa) a saída do sistema e  (força externa de excitação na massa), qual das alternativas abaixo apresenta uma forma correta de se obter métricas sobre a resposta do sistema em questão à entrada degrau unitário?
Escolha uma:
> sistema = tf(1,[2, 3, 20]);
>> stepinfo(sistema);
É possível inserirmos no MATLAB um sistema representado em diagrama de blocos utilizando funções como connect para conectar os blocos criados e sumblk, tf ou ss para criar cada bloco. É interessante, antes de começar a inserir os blocos, nomear cada um deles, juntamente com suas entradas e saídas, a fim de facilitar o processo de montagem no MATLAB.
 
 
Fonte: Adaptado de FELICIO 2010
 
Um trem de engrenagens, mostrado na figura acima conta com os seguintes parâmetros do sistema:
Relação de transmissão: 
Atrito equivalente: 
Inércia equivalente: 
Torque equivalente de entrada: 
Ângulo de saída: 
E tem o seguinte diagrama de blocos:
 
Fonte: elaborado pelo autor.
 
Das alternativas abaixo, qual apresenta uma sequência correta de comandos para inserir o diagrama de blocos do trem de engrenagens no MATLAB?
Escolha uma:
>> Je = 100.3;
>> Be = 2013.9;
>> s1 = sumblk(‘r1 = Te – r2’);
>> b1 = tf(1,Be,’inputname’,’r1’,’outputname’,’theta2’);
>> b2 = tf([Je, 0],1,’inputname’,’theta2’,’outputname’,r2’);
>> sistema = connect(b1,b2,s1,’Te’,’theta2’);
Sistemas de primeira ordem e sistemas de segunda ordem sobreamortecidos mostram comportamento semelhante quando submetidos à entrada degrau, pois não apresentam sobressinal e tendem assintoticamente ao seu valor final, que coincide com a referência.
 
Qual das alternativas abaixo apresenta uma afirmação correta em relação a ambos os sistemas em questão?
 
Escolha uma:
Na resposta à entrada degrau, o sistema de primeira ordem apresenta derivada não nula, diferentemente do sistema de segunda ordem (independentemente do seu coeficiente de amortecimento), que sempre apresenta derivada nula.
A partir das métricas da resposta de um SLIT de segunda ordem, podemos inferir as suas características utilizando fórmulas.
Observe abaixo a resposta de um sistema de segunda ordem subamortecido à uma entrada degrau unitário obtida experimentalmente.
Fonte: elaborada pelo autor
 
Percebe-se que a máxima amplitude foi de 1,729m (aos 3,16s) e o tempo de acomodação dos 5% foi de aproximadamente 30s.
Qual a frequência natural, frequência amortecida e coeficiente de amortecimento do sistema em questão?
Dados:
Escolha uma:
Apenas com a observação da função transferência de um sistema de segunda ordem podemos obter métricas da sua resposta no tempo por meio de fórmulas conhecidas.
Considere um sistema massa-mola-amortecedor descrito pela função transferência abaixo.
Sabendo que um sistema de segunda ordem tem o seguinte formato padrão:
Qual é a frequência natural do sistema?
Escolha uma:
. 
A função de transferência de um sistema dinâmico traz muitas informações sobre o sistema real, pois, de acordo com os valores dos coeficientes do polinômio tanto do denominador, quanto do numerador, conseguimos prever o valor de métricas da resposta temporal, por exemplo, a uma entrada degrau.
Das afirmativas a seguir:
I. A função transferência de um sistema dinâmico independe de suas condições iniciais.
II. A resposta temporal de um sistema à entrada impulso unitário coincide com sua função transferência.
III. A ordem do sistema é definida pelo valor da maior potência de  do polinômio do denominador da função transferência.
IV. A partir de qualquer função transferência que seja gerada corretamente, podemos obter o coeficiente de amortecimento do sistema dinâmico.
Qual(is) é(são) verdadeira(s)?
Escolha uma:
II e III apenas.
Observando a função transferência de um sistema dinâmico de segunda ordem, podemos classificar sistema de acordo com coeficiente de amortecimento.
Considere a função transferência de um circuito resistor-indutor-capacitor (RLC), em que a saída é a tensão do capacitor:
São montados os seguintes circuitos:
I. 
II. 
III. 
Qual das alternativas abaixo classifica corretamente cada sistema?
Escolha uma:
I. Sobreamortecido
II. Criticamente amortecido
III. Sobreamortecido
A constante de tempo de umsistema de primeira ordem nos informa o quão rápido o sistema reage a uma entrada e corresponde ao instante de tempo em que o sistema atinge 62,5% do valor final como resposta ao degrau.
Para o circuito RC abaixo, com  e , qual a constante de tempo?
 
 
Escolha uma:
A representação de diagrama de blocos de sistemas dinâmicos é uma maneira bastante flexível de se representar um sistema dinâmico, pois há mais de uma maneira de desenhar um diagrama. Mas, mesmo que hajam inúmeras maneiras de desenhá-lo, cada diagrama deve sempre ser redutível à mesma função transferência.
Das alternativas abaixo, qual mostra um diagrama de blocos cuja função transferência difere dos demais?
Escolha uma:
Uma maneira de representar um sistema dinâmico é por meio do uso de variáveis de estado e equação diferencial de estado. Se trata de uma maneira matricial de apresentar o equacionamento do modelo dinâmico.
 
A equação a seguir representa o modelo de um circuito integrador.
Qual das alternativas abaixo mostra a escolha correta das variáveis de estado?
 
Escolha uma:
A modelagem de sistemas dinâmicos é a técnica de representar sistemas reais por meio de equações matemáticas para os mais diversos propósitos como o projeto de controladores, predição de respostas, análise de sistemas, entre outros.
Considere o circuito RLC abaixo.
 
Fonte: elaborado pelo autor
 
Se a saída do sistema for a tensão do capacitor e a entrada for a tensão , como fica o modelo do sistema em espaço de estados?
Escolha uma:
A modelagem de sistemas físicos é vastamente utilizada na ciência para a predição de eventos, para projetar controladores, entre vários outros propósitos.
Para a fabricação de um novo sensor de alta precisão se viu necessário um componente eletrônico que apresente o seguinte comportamento:
Como consultor de projeto, qual circuito você indicaria para este fim?
Escolha uma:
Um capacitor, cuja saída é sai tensão e a entrada é a corrente que passa por ele.
 
A representação de um modelo em diagrama de blocos é de extrema importância na engenharia. Com rápida análise da topologia de um diagrama, um projetista pode decidir maneiras de atacar um problema de controle como, por exemplo, onde inserir um tipo de controlador para alcançar um comportamento desejado para o sistema.
 
Sobre a representação em diagrama de blocos, o que podemos afirmar?
 
Escolha uma:
De posse do modelo de um sistema dinâmico é possível obter um diagrama de blocos e vice-versa.
A equação diferencial de estados trata-se de uma forma matricial de representar um sistema dinâmico linear.
Sobre variáveis de estado e equações diferenciais de estados, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
I. As variáveis de estado fazem uma mudança de variável no modelo para facilitar a solução de EDO’s de graus superiores
II. Com as variáveis de estado, aumentamos o número de variáveis e de equações no modelo para que este possa ser descrito apenas em EDO’s de primeira ordem.
III. Representação em variáveis de estado só é possível para sistemas de 2ª ordem.
IV. A segunda equação da representação em variáveis de estados serve para que seja(m) definida(s) a(s) saída(s) do sistema.
 
 
Escolha uma:
Apenas II e IV estão corretas
Unidade 3
O critério de Routh-Hurwtiz permite-nos aferir a estabilidade de um sistema dinâmico a partir de sua função de transferência. Isso é feito por meio de um procedimento que envolve uma sequência lógica de cálculos simples que devem ser realizados com os coeficientes do polinômio do denominador da função de transferência.
Sobre os três sistemas dinâmicos abaixo, utilizando o critério de Routh-Hurwitz, o que se pode afirmar sobre eles?
Escolha uma:
Todos os sistemas são instáveis.
Para aferir a estabilidade de um sistema dinâmico, podemos utilizar o método de Routh-Hurwitz. Este método envolve simples cáculos que permitem, de maneira ágil, descobrir se o sistema é estável ou não. Ainda, é possível utilizar o método para calcular intervalos de valores de parâmetros para os quais é garantida a estabilidade de um sistema.
Considere o diagrama de blocos abaixo, no qual a planta é dada por  e o controlador é , sendo que  é um parâmetro do controlador a ser escolhido.
Qual deve ser o valor de  para que o sistema em malha fechada da figura acima seja estável?
Escolha uma:
.
Assim como é possível indicar os polos de um sistema no plano complexo a partir de sua função de transferência, podemos construir o polinômio do denominador de uma função de transferência a partir dos polos localizados no plano complexo.
A partir dos polos localizados no plano complexo abaixo, qual o denominador da função transferência do sistema em questão? O que podemos afirmar sobre sua estabilidade?
 
Escolha uma:
. Se trata de um sistema instável, pois apresenta polos no semiplano direito.
Durante o projeto de um controlador para um sistema dinâmico, você pode lançar mão das ferramentas de análise de estabilidade para certificar-se que o controlador se comportará de maneira estável, antes mesmo de iniciar seu desenvolvimento no sistema real.
Observe o exemplo abaixo de função de transferência de um controlador de terceira ordem.
Qual alternativa está correta em relação ao controlador?
Escolha uma:
O controlador é instável, pois o coeficiente que multiplica a segunda potência de  é nulo.
A função de transferência é (geralmente) organizada como uma divisão de polinômios. Esses polinômios têm papéis importantes na análise da dinâmica do sistema: as raízes do polinômio do numerador definem os zeros do sistema e as raízes do polinômio do denominador, os polos. Podemos analisar os zeros e polos e obter conclusões, por exemplo, a respeito de sua estabilidade, ou mesmo como ajustar o sistema a fim de torná-lo estável ou conseguir fazer com que ele responda da maneira desejada.
Um sistema dinâmico complexo tem seus polos e zeros mapeados na figura abaixo.
 
A partir do gráfico apresentado, quais polos são estáveis, quais são marginalmente estáveis e quais são instáveis?
Escolha uma:
Estáveis: 1, 2, 3, 10 e 9
Instáveis: 5, 6 e 7
Marginalmente estáveis: 4 e 8
Uma maneira gráfica de observar os polos de um sistema dinâmico é por meio da utilização do plano complexo. Com ele, podemos ver quais polos do sistema são mais estáveis ou instáveis.
Um certo sistema dinâmico com controlador, em malha aberta, tem os polos indicados no plano complexo abaixo.
Fonte: elaborada pelo autor.
 
O que podemos afirmar sobre o sistema como um todo?
Escolha uma:
É um sistema instável, pois tem polos com parte real positiva (7, 8 e 9)
Ao variar o ganho de um sistema em malha fechada, suas raízes vão se movendo pelo plano complexo, formando o lugar geométrico que é denominado lugar das raízes. A partir desse gráfico podemos estabelecer limites para o valor do ganho a fim de impedir que o modelo do sistema se torne instável.
Foi traçado o lugar das raízes de um sistema dinâmico estável (figura abaixo) em relação ao parâmetro , que pode ser ajustado de 0 a um valor extremamente grande. Sabendo que o sobressinal é dado por  e, para esse sistema, é interessante que o sobressinal seja mínimo o possível, qual é a faixa de valores para  que atende a esse requisito?
 
Fonte: elaborada pelo autor
Escolha uma:
Margem de fase e margem de ganho são métricas da resposta em frequência para sistemas dinâmicos. Essas métricas informam sobre a estabilidade do sistema e sobre como ele pode ser ajustado levando-se em consideração o limite da estabilidade.
Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras a respeito das métricas margem de fase e margem de ganho?
I. Essas métricas podem ser obtidas apenas com o diagrama de Bode em mãos
II. A margem de fase indica o quanto de fase o sistema pode perder antes de se tornar instável.
III. A margem de ganho indica o quanto de ganho pode ser aumentado no sistema antes de que ele se torne instável.
IV. Essas métricas podem ser utilizadas apenas em sistemas que são submetidos a entradas senoidais.
Escolha uma:
Apenas II e III
Conhecendo-se a influência de cadatipo de fator nos gráficos do diagrama de Bode, é possível, a partir da representação em função de transferência de um sistema dinâmico, vislumbrar o formato dos gráficos do diagrama de Bode.
Considere a função de transferência abaixo
Qual das alternativas abaixo apresenta o diagrama de Bode correto para o sistema?
Escolha uma:
. 
A equação característica do sistema é aquela que nos informa quais são seus polos. Embora não seja toda a informação necessária sobre o sistema para que ele possa ser analisado de maneira completa, de posse dessa informação, é possível tirarmos algumas conclusões.
Um sistema tem sua equação característica apresentada abaixo.
Das alternativas abaixo, qual apresenta um possível lugar das raízes para esse sistema?
Escolha uma:
e. 
Um profissional experiente na área de controle tem a capacidade de rapidamente vislumbrar os fatores que podem estar presentes na função de transferência de um sistema dinâmico por meio da observação do diagrama de Bode do sistema, pois, por exemplo, a inclinação do gráfico da amplitude em decibéis discrimina a presença dos fatores de ganho, derivativos, integrativos, de primeira e segunda ordem.
De acordo com a amplitude em decibéis do diagrama de Bode abaixo, qual das alternativas apresenta o sistema que corresponde ao diagrama? Se necessário, suponha que todos os coeficientes de amortecimento são iguais a 0,7.
Escolha uma:
É de suma importância que um profissional resposável por elaborar sistemas de controle e lidar com sistemas dinâmicos tenha conhecimento das técnicas utilizadas para a investigação da estabilidade de sistemas dinâmicos, como as técnicas baseadas no diagrama de Bode e no lugar das raízes, pois, com a utilização delas, além de aferir a estabilidade (ou não) do sistema, o profissional consegue descobrir como (ou se) é possível ajustável a fim de torná-lo estável.
 
Sobre diagrama de Bode e o método do lugar das raízes, quais das alternativas estão corretas?
I. Só podemos utilizar o digrama de Bode e o lugar das raízes em sistemas estáveis.
II. O diagrama de Bode mostra um pico de ressonância na frequência em que o sistema apresenta maior sobressinal em sua resposta transitória.
III. No método do lugar das raízes a quantidade de trechos que vão para o infinito é igual à quantidade de polos que existem a mais que zeros no sistema.
IV. A margem de fase no diagrama de Bode é uma das maneiras de aferir a estabilidade do sistema, além de permitir que sejam feitas alterações no mesmo até um limite de estabilidade marginal.
V. A saída de um SLIT em regime permanente apresenta a mesma frequência de oscilação que sua fonte de excitação.
É correto o que se afirma em:
Escolha uma:
III, IV e V apenas.
O comando bode no MATLAB traça o driagrama de bode para sistemas lineares invariantes no tempo de uma entrada e uma saída.
Suponha que tenhamos três sistemas distintos A(s), B(s) e C(s). Seus diagramas de Bode são traçados utilizando as seguintes linhas:
>> bode(A);
>> hold on;
>> bode(B);
>> bode(C);
>> grid on;
Obtém-se o seguinte resultado:
 
O que podemos afirmar sobre os sistemas?
Escolha uma:
Os três sistemas possuem características dinâmicas iguais, com ganhos diferentes entre si
O comando eig calcula os autovalores de uma matriz quadrada. De acordo com a Teoria de controle, esses mesmos autovalores indicam se um sistema representado em espaço de estados é estável ou não.
Considere um sistema dinâmico que apresente as seguintes matrizes para a sua representação em espaço de estados:
Como podemos saber se esse sistema é estável? Suponha que todas as matrizes já tenham sido inseridas no MATLAB com o mesmo nome de variável.
Escolha uma:
>> eig(A)
No lugar das raízes, com o aumento do ganho, as raízes do sistema vão caminhando dos polos para os zeros de maneira assintótica.
O sistema abaixo foi utilizado como argumento do comando rlocus.
Qual das alternativas abaixo apresenta uma afirmação verdadeira sobre o gráfico que é apresentado após a entrada do comando?
Escolha uma:
O gráfico apresentará cruzes nos polos  e  e círculos no zeros  e .
O MATLAB é um software poderoso que pode axiliar o projetista de controle a desenvolver controladores para sistemas dinâmicos e avaliar sua estabilidade baseado em diferentes métodos desenvolvidos pela ciência.
Sobre a utilização do MATLAB para aferir a estabilidade de sistemas dinâmicos, assinale a alternativa correta.
Escolha uma:
O comando rlocus é utlilizado para, a partir do sistema em malha aberta, com ganho variável, aferir a estabilidade do sistema em malha fechada observando-se seus polos no plano complexo.
Os principais comandos utilizados no Matlab para avaliar a estabilidade de sistemas dinâmicos requerem como argumento simplesmente a variável que representa o sistema.
Observando as imagens abaixo, qual comando foi utilizado para gerá-las? Suponha que o sistema em questão já tenha sido inserido no MATLAB na variável G
I. 
II.
III.
Escolha uma:
I. rlocus(G);
II. bode(G);
III. margin(G);
O diagrama de Bode pode ser utilizado para estudar o comportamento de sistemas em malha fechada com retroalimentação unitária por meio da função de transferência do sistema em malha aberta.
Considere o sistema em malha fechada abaixo.
Utilizando o MATLAB para estudar o diagrama de Bode do sistema e aproveitando o fato de que podemos utilizar apenas o sistema em malha aberta, como podemos obter o diagrama de Bode do sistema? Suponha que o controlador C e o sistema G já tenham sido inseridos no software.
Escolha uma:
>> bode(C*G);
O diagrama de Bode permite que, ao visualizarmos seus gráficos, tiremos conclusões de quais termos estão presentes na função de transferência do sistema, pois cada tipo de fator contribui de uma maneira distinta para o formato dos gráficos do diagrama de Bode.
Observe os quatro gráficos de magnitude abaixo:
I. 
II. 
III. 
IV. 
 
Qual alternativa elenca corretamente o fator que representa cada tipo de diagrama de Bode?
Escolha uma:
I. Primeira ordem no denominador
II. Segunda ordem no denominador
III. Derivativo
IV. Ganho
Com o diagrama de Bode podemos visualizar graficamente frequências importantes no estudo de resposta em frequência de sistemas dinâmicos, como é o caso da frequência de corte para fatores de primeira ordem e frequência de ressonância para fatores de segunda ordem.
A partir de um sistema dinâmico real, foi levantado experimentalmente o diagrama de Bode abaixo, com magnitude em dB e frequência em .
Para representação do sistema, foi proposta a função de transferência abaixo.
 
 
Qual alternativa apresenta uma conclusão correta da análise da função de transferência proposta em relação ao diagrama de Bode obtido?
Escolha uma:
As quatro frequências de ressonância apresentadas no gráfico são pertinentes às apresentadas na função de transferência, assim como as taxas de variação do ganho por década estão compatíveis. Portanto a função de transferência é adequada, sendo necessário ainda confirmar os valores dos coeficientes de amortecimento de cada fator.
O critério de Routh-Hurwitz é um método desenvolvido para aferir a estabilidade de sistemas dinâmicos a partir de uma série de cálculos realizados com base nos coeficientes do denominador da função de transferência de um sistema.
Considere o sistema dinâmico a seguir.
Utilizando o método de Routh-Hurwitz, o que pode se afirmar sobre ele?
Escolha uma:
O sistema é instável pois apenas um dos elementos (o terceiro) da primeira coluna da matriz do método é negativo, ou seja, dois de seus polos estão no semiplano direito
Um método de aferir a estabilidade de sistemas dinâmicos é por meio do cálculo dos autovalores da matriz de estados da representação do sistema em espaço de estados. Para esse fim, podemos utilizar o comando eig do MATLAB.
Um circuito resistor-capacitor-indutor em série, com entrada de tensão, e saída sendo a tensão do capacitor, pode ser representado com as matrizes abaixo:
Supondo que as quatro matrizes já foram inseridas no MATLAB, qual das alternativas indica a forma corretade se aferir a estabilidade do sistema por meio do cálculo de autovalores no software?
Escolha uma:
>> eig(A)
O software de matemática MATLAB é uma importante ferramenta no estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos e controladores pois permite ao projetista realizar vários tipos de testes e análises utilizando seus comandos e observando seus gráficos, que agilizam o trabalho e eliminam a necessidade de investir tempo em cálculos que podem ser massivos.
Suponha que tenha sido atribuída uma função de transferência à variável G no MATLAB. Ao executarmos o comando 1, obtemos o gráfico da figura A e ao executarmos o comando 2, obtemos o gráfico da figura B.
 
Figura A
 
Figura B
 
Quais são os comandos 1 e 2, respectivamente?
Escolha uma:
margin(G) e rlocus(G)
Unidade 4