sel310-A24 Guia met retangular Sel310 612
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Guia Metálico de Seção Retangular
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
\ufffd Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
\ufffd Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
\ufffd solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL06/06/2012
Guiamento
\ufffdFinalidade : Conduzir energia eletromagnética
de um ponto para outro
\ufffdModos de Propagação 
\u2022 Arranjo único de campos elétrico e magnético que
\u2022 Satisfaz todas as equações de Maxwell
\u2022 Satisfaz as condições de contorno impostas pela \u2022 Satisfaz as condições de contorno impostas pela 
geometria da estrutura
\u2022 Os vários modos correspondem às diferentes soluções 
das equações de onda
\ufffdComo obter as soluções 
\u2022 Resolvendo a equação de onda
06/06/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Classificação dos Modos-1
Modo TEM (eletro magnético transversal)
0
z z
E H= =
Componentes de E e H diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
06/06/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modo TE (elétrico transversal)
0 ; 0E Hz z= \u2260
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
Classificação dos Modos-2
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= \u2260
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
06/06/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z\u2260 \u2260
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Forma e Notação dos Campos-1
Suposições 
Guias sem perdas:
Dielétricos ideais (sem perdas)
Metais condutores perfeitos
exp( )j t\u3c9Fator de variação temporal: 
exp( )jk z\u2212Fator de variação espacial: 
06/06/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Os campos são da forma
( ) ( ) ( ), , , ( , ) , zjk zx y zE x y z E x y x E x y y E x y z e\u2212\uf8ee \uf8f9= + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
\u275 \u275 \u275
exp( )
z
jk z\u2212Fator de variação espacial: 
Forma e Notação dos Campos-2
z
H
jk H j E\u3c9 \u3b5
\u2202
+ =
e
z
j jk
t z
\u3c9
\u2202 \u2202
= = \u2212
\u2202 \u2202
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell H j D\u3c9\u2207× =
06/06/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
jk H j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
\u3c9 \u3b5
+ =
\u2202
\u2202
\u2212 \u2212 =
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212 =
\u2202 \u2202
Forma e Notação dos Campos-3
e
z
j jk
t z
\u3c9
\u2202 \u2202
= = \u2212
\u2202 \u2202
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell E j B\u3c9\u2207× = \u2212
z
E
jk E j H\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
06/06/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
E
jk E j H
y
E
jk E j H
x
E E
j H
x y
\u3c9µ
\u3c9µ
\u3c9µ
\u2202
+ = \u2212
\u2202
\u2202
\u2212 \u2212 = \u2212
\u2202
\u2202 \u2202
\u2212 =
\u2202 \u2202
Guia metálico e sistema de coordenadas
y
06/06/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x
z
a
b
Equações de Onda
( )2 21 0
0
t z
z
k H
E
\uf8fc\uf8f4\u2207 + = \uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4= \uf8f4\uf8f4\uf8fe
( )2 2 0k E \uf8fc\uf8f4\u2207 + = \uf8f4\uf8f4
Conjunto de soluções TE
06/06/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )2 21 0
0
t z
z
k E
H
\uf8fc\uf8f4\u2207 + = \uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4= \uf8f4\uf8f4\uf8fe
2 2
2
2 2t x y
\u2202 \u2202
\u2207 = +
\u2202 \u2202
nas quais
Conjunto de soluções TM
Solução via método da separação de variáveis-1
( )2 21 0t zk A\u2207 + =
Para cada valor de k1 corresponderá uma função Az
Solução é da forma:
( ) ( ) ( ),zA x y X x Y y=
06/06/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( ) ( ),zA x y X x Y y=
2 2
2
12 2
d X Y
Y X k XY
dx y
\u2202
+ = \u2212
\u2202
2 2
2
12 2
1 1d X Y
k
X Ydx y
\u2202
+ = \u2212
\u2202
dividindo 
por (XY)
Solução via método da separação de variáveis-2
A soma é constante para qualquer valor de x e y 
2
2
2
1
x
d X
k
X
=\u2212
Cada termo separadamente deve ser constante
2
2
2
1
y
Y
k
Y y
\u2202
=\u2212
\u2202
e
06/06/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 x
k
X dx
=\u2212
2 2 2 2 2
1x y z
k k k k\u3c9 µ \u3b5+ = \u2212 \u2261
2 y
k
Y y
=\u2212
\u2202
equação de separação
Substituindo a solução na equação de onda resulta em
Solução via método da separação de variáveis-3
As soluções das equações de onda 
( )2 21 , 0t z zk E H\u2207 + =
( ) ( ) ( ), exp( )z zA x y X x Y y jk z= \u2212
são da forma
06/06/2012 13SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )( ) cos seny yY y C k y D k y= +
A, B, C e D : constantes a serem determinadas pelas condições de contorno
( )( ) cos senx xX x A k x B k x= +
na qual
Condições de contorno
Soluções do tipo TE
Região interior do guia: 
interface ar-metal.
componentes tangenciais 
de campos elétrico e magnético
são nulas.
y
b
y b= xE
y
E
06/06/2012 14SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0
z
E =
Soluções do tipo TE
( )0 ( ) 0x xE y E y b= = = =
( )0 ( ) 0y yE x E x a= = = =
x
z a
b
0y =
0x = x a=
Campos dos modos TE-1
2
1
z
x
H
E j
yk
\u3c9µ \u2202
= \u2212
\u2202
2
z
y
H
E j
xk
\u3c9µ \u2202
=
\u2202
2
1
1 z z
x z
E H
E j k
x yk
\u3c9µ
\uf8ee \uf8f9\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa= \u2212 +\uf8ef \uf8fa\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
2
1 z z
y z
E H
E j k
y x
\u3c9µ
\uf8ee \uf8f9\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa= \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa\u2202 \u2202
0
z
E =Componentes dos campos 
06/06/2012 15SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
y
E j
xk
=
\u2202
2
1
z z
x
k H
H j
xk
\u2202
= \u2212
\u2202
2
1
z z
y
k H
H j
yk
\u2202
= \u2212
\u2202
2
1
y z
E j k
y xk
\u3c9µ\uf8ef \uf8fa= \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
2
1
1 z z
x z
H E
H j k
x yk
\u3c9µ
\uf8ee \uf8f9\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa= \u2212 \u2212\uf8ef \uf8fa\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
2
1
1 z z
y z
H E
H j k
y xk
\u3c9µ
\uf8ee \uf8f9\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa= \u2212 +\uf8ef \uf8fa\u2202 \u2202\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Campos dos modos TE-2
( )0 ( ) 0x xE y E y b= = = =
2
1
z
x
H
E j
yk
\u3c9µ \u2202
= \u2212
\u2202
06/06/2012 16SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
0
k
\u3c9µ
\u2260Supondo
0,
0z
y b
H
y
=
\u2202
=
\u2202
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
Campos dos modos TE-3
2
1
z
y
H
E j
xk
\u3c9µ \u2202
=
\u2202
( )0 ( ) 0y yE x E x a= = = =
06/06/2012 17SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
1
0
k
\u3c9µ
\u2260Supondo
0,
0z
x a
H
x
=
\u2202
=
\u2202
1
x
z
y
a
b
x
z
y
a
b
Determinação das amplitudes de campo-1
( )( )co s sen co s sen zjk zz x x y yH A k x B k x C k y D k y e \u2212= + +
( , ) ( ) ( )
z
H x y X x Y y=
( )sen cos ( )z y y y
H
k C k y D k y X x
y
\u2202
= \u2212 +
\u2202
06/06/2012 18SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )y y yy\u2202
0
( ) 0z
y
y
H
Dk X x
y
=
\u2202
= =
\u2202
Solução: 0D =
Determinação das amplitudes de campo-2
( , ) ( ) ( )
z
H x y X x Y y=
( )sen cos ( )z x x x
H
k A k x D k x Y y
x
\u2202
= \u2212 +
\u2202
( )( )co s sen co s sen zjk zz x x y yH A k x B k x C k y D k y e \u2212= + +
06/06/2012 19SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x\u2202
0
( ) 0z
x
x
H
Bk Y y
x
=
\u2202
= =
\u2202
Solução: 0B =
Determinação das amplitudes de campo-3
( )( )co s co s zjk zz x yH A k x C k y e \u2212=
Reunindo as constantes: ( )( )0 co s co s zjk zz x yH H k x k y e \u2212=
( ) ( )0 sen cosz x x y
H
H k k x k y
x
\u2202
= \u2212
\u2202
06/06/2012 20SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )0 sen cos 0z x x y
x a
H
H k k a k y
x
=
\u2202
= \u2212 =
\u2202
Solução: ( )sen 0xk a = xk a m\u3c0= 0,1,2m = \u2026
x
m
k
a
\u3c0
= 0,1,2m = \u2026e
, ,
Determinação das amplitudes de campo-4
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
co s co s exp
co s sen
co s sen 0
z x y z
z
y x y
z
H H k x k y jk z
H
H k k x k y
y
H
H k k x k b
= \u2212
\u2202
= \u2212
\u2202
\u2202
= \u2212 =
06/06/2012 21SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( )
0
co s sen 0
sen 0 , 0 , 1 ,
1 2
2
, 0 , ,
y
y
y x y
y b
y y
H
n
k k x k b
y
k
k
n
b k b n n
k
\u3c0
\u3c0
=
=
= \u2212 =
\u2202
= \u2192
=
= = \u2026
\u2026
, ,
Relação de dispersão
2 2
m n\u3c0 \u3c0
\uf8ee \uf8f9\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6\uf8ef \uf8fa\uf8f7 \uf8f7\uf8ec \uf8ec
2 2 2 2
1x y z
k k k k\u3c9 µ \u3b5+ = \u2212 \u2261equação de separação
x
m
k
a
\u3c0
= 0,1,2m = \u2026
y
n
k
b
\u3c0
= 0,1,2n = \u2026eTemos que
Relação 
06/06/2012 22SEL310/612