Geometria Analitica III - C-nicas
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Geometria Analitica III - C-nicas


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desenvolvendo chegamos à expressão 
2
b
1 ecos
\u3c1
\u3b8
=
\u2212
. 
 
Tomemos o polo num dos focos da elipse (figura-12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e < 1 e, \u2013a\u2264 x \u2264a, tem-se finalmente: a ex\u3c1= \u2212 , observando que x = c + \u3c1 cos \u3b8, 
teremos \u3c1 = a \u2013 e(x + cos \u3b8) obtemos portanto: 
 
 
 pondo 
a ec p
, a ec p
1 ecos 1 e cos
\u3c1 \u3c1
\u3b8 \u3b8
\u2212
= \u2212 = \u2192 =
+ +
 
 
 
Para 
2
\u3c0
\u3b8= segue-se que \u3c1 = a \u2013 ec = p, semi-corda da elipse correspondente ao foco. 
 
 
 
EQUAÇÕES POLARES 
 
Calculemos inicialmente a distância do ponto 
P(x, y) ao foco F(c, o), temos: 
 
( )
2 2PF x c y= \u2212 + , da equação 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y a b b x
1
a b a
\u2212
+ = =2 tem-se y , 
 
portanto: 
2
cx
PF a
a
\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec= \u2212 \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8
 PF (ex a);\u2192 =± \u2212 Figura-12 
PARÁBOLA 
 
Consideremos dois casos na parábola (figura-13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientando o eixo polar temos: 
 
p
x cos
2
\u3c1 \u3b8= \u2212 , portanto ou 
p
p cos
1 cos
\u3c1 \u3c1 \u3b8 \u3c1
\u3b8
= \u2212 =
+
. 
 
Para , p
2
\u3c0
\u3b8 \u3c1= = , semi-corda da parábola correspondente ao foco. 
 
 
HIPÉRBOLE 
 
Consideremos uma hipérbole com o foco no centro. Basta fazer na equação 
2 2
2 2
x y
1
a b
\u2212 = , os 
valores de x = \u3c1 cos \u3b8 e, y = \u3c1 sen \u3b8, portanto: 
 
( ) ( ) 
 obtém-se 
2 2
2 2 2
cos sen b
1,
a b e cos 1
\u3c1 \u3b8 \u3c1 \u3b8
\u3c1
\u3b8
\u2212 = =
\u2212
 
 
Tomemos o pólo coincidente com um dos focos. Procedendo como no caso da elipse, calculamos 
em primeiro lugar a distância de um ponto P(x, y) da curva ao foco. 
 
( ) onde, e 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
b x b a
FP x c y y b c a
a
\u2212
= \u2212 + = = \u2212 
 
( )( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a x 2a cx a c c a x a
PF ex 4
a
\u2212 + + \u2212 \u2212
= = ± \u2212 , onde 
 e tem-se
c
x a ne 1, 0
a
\u3c1\u2265 = > > : 
 
para (I)x a ex a\u3c1> \u21d2 = \u2212 
para (II)x a a ex\u3c1< \u21d2 = \u2212 
 
Considerando o caso (I) e orientando o eixo polar no sentido contrário ao eixo Ox, segue-
se: 
a- Polo no Vértice: basta substituir na 
equação y2 = 2px, os valores de 
 
x = cos \u3b8 e, y = sen \u3b8 
 
( ) ( ) 
2
sen 2p cos 2pcot g cos sec\u3b8 \u3b8 \u3c1 \u3b8 \u3b8= \u2192 = 
 
b- Polo no Foco: neste caso teremos: 
 
p
FP x
2
\u3c1= = + 
 
Figura-13 
 
( )
x c cos
e c cos a
\u3b8
\u3c1 \u3b8
= \u2212
= \u2212 \u2212
 ou 
 
 pondo tem-se 
ec a p
, ec a p
1 ecos 1 e cos
\u3c1 \u3c1
\u3b8 \u3b8
\u2212
= \u2212 = =
+ +
 
 
Fazendo-se , ec a p,
2
\u3c0
\u3b8 \u3c1= = \u2212 = semi-corda da hipérbole correspondente ao foco. 
 
Concluímos que tanto a elipse como a hipérbole e a parábola, tem para equações reduzidas, 
equações do segundo grau. Como a ordem é invariante para transformações de coordenadas, podemos 
dizer que mesmo que estas curvas fossem dadas numa posição qualquer em relação ao sistema de 
coordenadas, as equações representativas das mesmas seriam ainda do segundo grau. 
 
 
 
 
 
 
Uma superfície cuja equação é do 2° grau em x, y, z é uma superfície quádrica. Assim como 
temos, entre as curvas planas, elipse, parábolas e hipérboles, no caso das superfícies quádricas, temos 
as elipsoides, parabolóides e hiperbolóides. Definiremos algumas propriedades das superfícies 
quádricas que chamaremos equações reduzidas. 
 
ELIPSOIDE 
 
O lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas satisfazem uma equação do tipo. 
 
 (I)
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + = 
 
onde a, b e c são três números reais positivos, é chamado elipsóide real. 
Trocando-se x por \u2013x, y por \u2013y e z por \u2013z na equação (I) ela também mantém alterada, isso 
mostra que o elipsóide é uma superfície simétrica em relação aos três planos coordenados e, portanto 
em relação aos três eixos coordenados e à origem (figura-14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde, o primeiro membro sendo uma soma de quadrados, para que a equação (II) admita soluções 
reais não nulas é necessário que c2 \u2013 k2 > 0 ou \u2013c < k < c. 
Para cada valor de k no intervalo anterior vê-se que o plano z = k intercepta o elipsóide segundo 
uma elipse dada pela equação (II). 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
Fazendo-se respectivamente z = 0, y = 0 e x = 0 
na equação (I), verifica-se que os três planos xOy, 
xOz e yOz cortam o elipsóide (I), segundo às elipses: 
 e 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x z y z
1, 1 1,
a b a c b c
+ = + = + = 
cujos eixos tem para comprimento ordenadamente 
os pares (2a, 2b), (2a, 2c) e (2b, 2c). 
Os três números 2a, 2b e 2c são os 
comprimentos dos eixos do elipsóide dado. 
Fazendo-se z = k na equação (I), tem-se: 
 (II)
2 2 2 2
2 2 2
x y c k
a b c
\u2212
+ = 
Figura-14 
De maneira análoga, mostra-se que, os planos y = k e x =k interceptam o elipsoide em elipses de 
equações, 
 
 e 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x z b k y z a k
a c b b c a
\u2212 +
+ = + = 
 
Quando k varia respectivamente nos intervalos -b < k < b e -a < k < a. 
Fazendo na equação (I) x = y = 0 tem-se z = ± c, isto é, os pontos (0, 0, -c) e (0, 0, c) de 
intersecção da quádrica com o eixo Oz; analogamente fazendo-se em (I), sucessivamente x = z = 0 e 
y = z = 0 tem-se os pontos (0, -b, 0), (0, b, 0), (a, 0, 0) e (-a, 0, 0) de intersecção da superfície com os 
eixos Ou e Ox respectivamente. Os seis pontos assim obtidos chamam-se vértices do elipsóide. 
Se dois dos números a, b, c forem iguais entre si, o elipsóide é uma superfície de rotação. Por 
exemplo, se a = b, o elipsóide de equação, 
 
2 2 2
2 2
x y z
1
a c
+
+ = 
 
é a superfície de rotação que se obtém girando a elipise e equação: 
2 2
2 2
x z
1
a c
+ = , do plano xOz em 
torno do eixo Oz. 
Se a = b > c o elipsóide de rotação (ou de revolução) resulta da rotação da elipse em torno do 
seu menor eixo e denomina-se elipsóide achatado ou também esferóide achatado, se a = b < c o 
elipsóide resulta da rotação da elipse em torno do seu eixo maior e é chamado elipsóide alongado ou 
ainda esferóide alongado. Se a = b = c o elipsóide é uma superfície esférica. 
Se \u3b1, \u3b2, \u3b3\u3b3\u3b3\u3b3 e p forem quatro números positivos e x0, y0, z0 três números reais quaisquer a 
equação 
( ) ( ) ( ) (III)
2 2 2
0 0 0x x y y z z p\u3b1 \u3b2 \u3b3\u2212 + \u2212 + \u2212 = 
 
representa um elipsóide de eixos paralelos aos eixos coordenados e centro no ponto (x0, y0, c0). É claro 
que uma equação do segundo grau do tipo 
 
2 2 2
1 1 1x y z x y z 0\u3b1 \u3b2 \u3b3 \u3b1 \u3b2 \u3b3 \u3b4+ + + + + + = 
 
que se possa reduzir a forma da equação (III), é equação de um elipsóide nas condições anteriores. Os 
comprimentos dos semi-eixos do elipsóide (III) são dados por: 
 
 
p p p
a b c
\u3b1 \u3b2 \u3b3
= = = 
 
As retas de equação y = y0, z = z0, x = x0, z = z0, são os eixos do referido elipsoide. 
 
 
SUPERFÍCIE CÔNICA \u2013 CONE ELÍTICO 
 
O lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas (x, y, z) satisfação a equação, 
 
 
 ou 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
0
a b c a b c
+ \u2212 = + = 
 
E o cone elítico é simétrico a cada um dos planos coordenados. O plano z = 0 corta a superfície 
no ponto (0, 0, 0). O plano z = 0 corta-se segundo as duas retas concorrentes (figura-15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A secção feita por um plano z = z1 > 0 
é uma elipse com centro sobre o eixo-z 
e vértice sobre as retas (I) e (II). Na rea- 
lidade a superfície é gerada por uma re- 
ta L que passa pela origem e por um 
ponto Q sôbre a elipse. 
 
 
2 2
2 2
x y
z c, 1
a b
= + = 
 
Ao descrever Q a elipse, a reta L gera a superfície, que é um cone com secções transversas 
elíticas. Para verificá-lo, suponhamos Q(x1, y1, z1) um ponto da superfície e t um escalar. Então o 
vetor de O a P(tx1, ty1, tz1) é simplesmente t vezes o vetor OQ de modo que quando t varia de \u2212\u221e 
a +\u221e , P descreve uma reta L. Mas como Q, por hipótese, pertence à superfície, a equação 
 
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z
a b c
+ = 
 
é satisfeita. Multiplicando ambos os membros por t2, vemos que o ponto P(tx1, ty1, tz1) também 
pertence à superfície. Isto estabelece a validade da observação, de que a superfície é gerada pela 
reta L que passa por O e pelo ponto Q da elipse. 
Se a = b, a superfície é um cone circular reto, e sua equação em coordenadas cilíndricas é 
simplesmente: 
 
 
 
 
 
 
PARABOLÓIDE 
 
Cada uma das equações a seguir