Geometria Analitica III - C-nicas
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Geometria Analitica III - C-nicas


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\uf8f9 \uf8ee \uf8f9
\u21d4 \u2212 + \u2212 = \u2212 + \u2212 ± \u21d4 \u2212 + \u2212 =\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa
\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
= \u2212 + \u2212 ± \u2212 + \u2212 + \u21d4
\u21d4± \u2212 + \u2212 = + \u2212 \u21d4
\u2212 + \u2212 + \u2212 = que é a equação procurada.
 
 
 
 
 
 
A distância entre os focos é: 
 
( ) ( )
1 2
2 2
F F2c 1 4 2 3 10\u3b4= = \u2212 + \u2212 = 
 
Como 2a = 2, temos 0 < 2a < 2c e portanto os 
dados do problema estão coerentes. Pela 
definição, sendo F(x, y) um ponto qualquer 
da hipérbole (figura-10), devemos ter: 
 
 
1 2PF PF
2a\u3b4 \u3b4\u2212 = 
 
Figura-10 
 
13-Uma hipérbole tem equação 5x2-4y2-80=0. Determinar a equação reduzida e as equações das 
assíntotas da mesma. 
 
solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde: 
 
 e 
 ou 2 2 2
a 4 b 20 2 5
assim : c a b 16 20 36 c 6
= = =
= + = + = =
 
 
As assíntotas passam pela origem e portanto devem ter equação do tipo; y = mx. Uma das assíntotas 
tem como coeficiente angular, 
 
 e a outra tem coeficiente angular 1 2
b 2 5 5 b 2 5 5
m , m
a 4 2 a 4 2
\u2212 \u2212
= = = = = =\u2212 . 
 
As equações das assíntotas são: e 
5 5
y x y x
2 2
\u2212
= = . 
 
 
14-Uma hipérbole de eixo real horizontal e centro C(9, 7) tem eixo imaginário medindo 2b = 4 e 
eixo real medindo 2a = 8 (figura-12). Calcular: 
a)- a equação da hipérbole. 
b)- a equação das assíntodas da hipérbole. 
 
solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
 isto é, 
2 2 2 2
C C
2 2
x x y y x 9 y 7
1 1
16 4a b
\u2212 \u2212 \u2212 \u2212
\u2212 = \u2212 = (I). 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
5x 4y 80 0
5x 4y 80 x y
1
80 80 80 16 20
\u2212 \u2212 = \u21d4
\u21d4 \u2212 = \u21d4 \u2212 =
 
 
Obtivemos uma equação reduzida. Portanto 
trata-se de uma hipérbole com centro na 
origem, focos no eixo Ox (figura-11), tal que 
 
 a2 = 16 e b2 = 20 
 
Figura-11 
a)- 2a = 8 \u2192 a = 4 
 2b = 4 \u2192 b = 2 
 
 
A hipérbole tem eixo real horizontal; 
portanto sua equação é: 
 
 
Figura-12 
 
Desenvolvendo a equação (I): que é a equação da hipérbole.2 2x 4y 18x 56y 131 0\u2212 \u2212 + \u2212 = 
 
b)- As assíntotas passam pelo centro C. Portanto suas equações são: y \u2013yC = m(x \u2013 xC) isto é: 
 y \u2013 7 = m(x \u2013 9) (II). 
 
Para uma das assíntotas o coeficiente angular é, 1
b 2 1
m
a 4 2
= = = , para a outra assíntotas o 
coeficiente angular é, 2
b 1
m
a 2
= =\u2212 . Substituindo os coeficientes angular na equação (II), vamos 
obter as equações das assíntotas que são: 
 
( ) ( ) e 
1 1
y 7 x 9 y 7 x 9
2 2
\u2212 = \u2212 \u2212 =\u2212 \u2212 
 
 
 
15-Mostrar que se 0 < e < 1 e k = 0, então a equação 
k
r
1 ecos \u3b8
=
\u2212
, representa uma elipse. 
 
solução 
 
a equação dada equivale: r = k + e r cos \u3b8 = k + ex. Portanto, x2 + y2 = r2 \u2192 k2 + e2x2 + 2 kex, mas 
isto equivale a: 
 
( )
( )
 
 
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
ke
1 e x 2 x y k
1 e
ke k e k
1 e x y k
1 e 1 e 1 e
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7\u2212 \u2212 + = \u21d4\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8\u2212
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7\u21d4 \u2212 \u2212 + \u21d4 + =\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8\u2212 \u2212 \u2212
 
 
 
finalmente fazendo: 
2 2
k k
a , b , c ae
1 e 1 e
= = =
\u2212 \u2212
, a equação acima fica: 
 
( )
2 2
2 2
x c y
1
a b
\u2212
+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que é a equação da elipse com 
semi-eixo a e b e, centro no 
ponto (c, 0) (figura-13). 
 
Figura-13 
Exemplo de Cônica aplicado a Física: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 
 
Seja \u3b8 o ângulo de tiro de um projétil lançado do ponto O(0, 0), com velocidade inicial v0. 
Desprezaremos a resistência do ar e consideremos o campo gravitacional uniforme. A posição do 
projétil no espaço fica determinada pelas suas coordenadas x e y (figura-13). 
 
solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A posição horizontal Px do projétil realiza movimento uniforme com velocidade v0 cos \u3b8. Logo: 
( )0x v cos t\u3b8= (1) 
 
A posição vertical Py realiza movimento uniformemente variado com aceleração \u2013g e velocidade inicial 
v0 sem \u3b8. Logo: 
( ) 20
g
y v sen t t
2
\u3b8= \u2212 (2) 
 
Tomamos como origem dos tempos o instante de lançamento do projétil. 
 
De (1) resulta: ( ) substituíndo em (2) resulta, 22
0 0
x g
t y tg x x
v cos 2v cos
\u3b8
\u3b8 \u3b8
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7= = \u2212\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8
. 
 
 
Esta equação revela que a trajetória do projétil é parabólica, e, como coeficiente de x2 é negativo, 
esta parábola tem a concavidade voltada para baixo. Após ser disparado de um ponto do solo (no caso 
a origem dos eixos), o projétil volta a tocá-lo novamente (é quando ele alcança o alvo) no ponto 
A(a, 0). A distância a chama-se alcance do tiro. Fazendo y = 0 na equação da trajetória, resulta: 
 
 ou logo 
2 2
0 0
1 2
v v
x 0 x sen 2 a sen 2
g g
\u3b8 \u3b8= = = 
 
 
Este alcance é máximo quando sen 2\u3b8 = 1, ou seja, quando \u3b8 = 45°. Para cada ângulo do tipo \u3b8, seja V 
o vértice da trajetória. As coordenadas de V são: 
 
2
V
 (3)
y (4)
2
0
V
2
0
vb
x sen 2
2a 2g
v
sen
4a 2g
\u3b8
\u2206
\u3b8
=\u2212 =
=\u2212 =
 
 
Para cada ângulo de tiro \u3b8 fica definida uma parábola que possui um único vértice V. Variando \u3b8, varia 
V. Qual o lugar geométrico dos pontos de V? Para determinar isto, vamos eliminar \u3b8 nas equações (2) e 
(3). De fato: 
 
Figura-13 
( )
0 (estamos supondo 0 < < 90
 
2
2 2 2
sen 2 2 sen 1 sen ).
Logo : sen 2 4 sen 1 sen
\u3b8 \u3b8 \u3b8 \u3b8
\u3b8 \u3b8 \u3b8
= \u2212
= \u2212
 
 
De (2): e de (3) 2V V
2 2
0 0
2gx 2gy
sen 2 sen
v v
\u3b8 \u3b8= = . Logo: 
 
, donde: 
2 2
2 2 2V V V
V V 0 V2 2 2
0 0 0
4g x 2gy 2gy
4 1 gx 4gy 2v y 0
v v v
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7= \u2212 + \u2212 =\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8
 (5) 
 
A equação (5) é do tipo Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, que representa uma elipse. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTO 
 
 
1-Obter a equação da hipérbole de focos F1(-2, 0) e F2(0, 3), sabendo que PF1 \u2013 PF2 = 1. 
 RESP: 3x2 + 8y2 +12xy \u2013 12x \u2013 12y = 0 
 
2-Determine a equação da reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola de equação y = x2 
com a elipse de equação 
( )
2 2x 2 y
1
4 16
\u2212
+ = . 
 RESP: y = 2x 
 
3-Obtenha a equação da hipérbole cujos focos são F1(-2, -1) e F2(3, 1), sabendo que seu eixo real 
mede 3. 
 RESP: -16x2 + 5y2 + 16x + 10y \u2013 20xy + 41 = 0 
 
4-Uma parábola tem vértice V(-2, -1) e diretriz de equação 3x \u2013 4y + 12 = 0. Determine: (a)-a 
equação do eixo da parábola, (b)-as coordenadas do foco. 
 RESP: (a) 4x - 3y + 11 = 0, (b) F(-4/5, -13/5). 
 
5-Determine os valores de a e b na equação da elipese 
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = , de modo que passe pelos pontos 
(2, 3) e (-1, -4). 
 RESP: e 
55 55
a b
7 3
= = 
 
6-Na equação da hipérbole 
2 2
2
x y
1
4a
\u2212 = , determine a de modo que a hipérbole seja tangente à reta 
y = x + 1. 
 RESP: a 5=± 
 
7-Dada a parábola de equação y = 3x2 determinar a sua tangente paralela à reta de equação 
2x \u2013 y + 1 = 0. 
 RESP: 
1
y 2x
3
= \u2212 
 
 
BIBLIOGRAFIA SEGERIDA 
 
\u25aa Trotta, Imenes, Jakubovic \u2013 Matemática Aplicada, ed.Moderna-SP \u2013 1980. 
 
\u25aa N. Efimov \u2013 Elements de Geometrie Analytique, ed. MIR \u2013 1966. 
 
\u25aa A.Caroli, C.Callioli, M.O.Feitosa \u2013 Matrizes Vetores Geometria Analítica, ed.Nobel \u2013 1974. 
 
\u25aa Scipione \u2013 Geometria Analítica, ed.Nobel \u2013 1968. 
 
\u25aa Thomas \u2013 Cálculo I, Livro Técnico S/A \u2013 1972. 
 
\u25aa Antonio S. Machado \u2013 Matemática Temas e Metas vol.5, ed.Atual \u2013 1986.