Lista 4 - Derivadas

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
DERIVADAS
Prof.: Alonso Sepu´lveda Castellanos Sala 1F 106
a) Determine a derivada f ′(x), pela definic¸a˜o, se:
1) f(x) = 4
√
x+ 2 2) f(x) =
1
x3
3) f(x) =
1− x
x+ 3
4) f(x) =
1√
2x− 1 5) f(x) = 2x
2 − x− 1 6) f(x) = 1− 4x2
b) Determine a derivada das seguintes func¸o˜es.
1) y =
−2
x
2) y =
1
x3
3)A(r) = pir2
4) g(t) =
3t2 + 5t− 4
t− 4 5) f(x) = x
√
x+
1
x2
√
x
6) f(x) = x+
5
√
x2
7)F (x) = (x3 − x+ 1)(x−2 + 2x−3) 8) y = (r2 − 2r)tg r 9) y = u
2 − u− 2
u+ 1
10) f(x) =

−x se x < 0
x2 se 0 ≤ x ≤ 1
1 se x > 1
11) y = tg θ(sen θ + cos θ) 12) g(t) = 4 sec t+ tg t
13) f(x) =

5− x2 se x ≤ 2
x se 2 < x < 4
x+ 1 se x ≥ 4
14) y =
tg x− 1
secx
15) y =
sen x
x2
16) f(x) =
{
1− x2, se x < 1
x2 − 4x+ 3 se x ≥ 1 17)u =
3
√
t2 + 2
√
t3 18) y =
sen x
1 + cos x
c) Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal no ponto (p, f(p)).
(1) f(x) =
1
x
e p = 2, 1/2, (2) f(x) = 2
√
x e p = 0, 3, (3) f(x) = x(3x− 5) e p = 1/2.
d) Obtenha as equac¸o˜es das retas normal e tangente a` curva y = x2 + 6x+ 1 no ponto de abscissa 4.
e) Encontrar a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x3 − 1, que seja perpendicular a` reta y = −x.
f) Sabendo-se que a para´bola de equac¸a˜o y = x2 + bx + c e´ tangenciada pela reta de equac¸a˜o y = x
no ponto (1,1), determine b e c.
g) Encontre a e b de forma que a func¸a˜o dada por f(x) =
{
x2, se x < 1
ax+ b se x ≥ 1 seja deriva´vel em
x = 1.
h) A respeito da para´bola de equac¸a˜o y = ax2 + bx+ c sabe-se que:
i) Em x = 1, a reta tangente e´ horizontal;
ii) A reta tangente no ponto (0, 2) forma com o eixo x um aˆngulo de 45◦.
Determine a, b e c.
i) Deˆ exemplo (por meio de gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R, tal que f ′(1) = 0.
j) Deˆ exemplo (por meio de gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R, tal que f ′(x) > 0
para todo x.
k) Deˆ exemplo (por meio de gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R, tal que f ′(1) na˜o
exista.
l) Deˆ exemplo (por meio de gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R, tal que f ′(x) > 0
para x < 0, f ′(x) < 0 para 0 < x < 2 e f ′(x) > 0 para x > 2.
m) Onde a func¸a˜o h(x) = |x − 1| + |x + 2| e´ diferencia´vel? Deˆ uma formula para h′(x) e esboc¸e os
gra´ficos de h e h′.
n) Ache uma para´bola com equac¸a˜o y = ax2 + bx cuja reta tangente em (1, 1) tenha uma equac¸a˜o
y = 3x− 2.
o) Determine a derivada de f , utilizando a “regra da cadeia”, se:
1) f(x) =
(
ax+ b
c
)6
2) f(x) =
√
3senx− 2 cosx
5
3) f(x) = sen 2x− cos2 x
4) f(t) = 3
√
(3x2 + 6x− 2)2 5) f(x) = 2x√
3x− 1 6) f(x) = sen
3(3x2 + 6x)
7) f(u) =
3 sec2 u
u
8) f(x) =
(
1
senx
)2
9) sen 2(x/2) cos2(x/2)
10) f(t) = (utg u)2 11) f(w) =
√
cosw 12) f(x) = cossec2(3x2 + 6x+ 1)
13) f(x) = tg ( 3
√
1 + tg x) 14) f(z) =
(
z − 1
z
)3/2
15) f(x) = sen (sen (senx))
16) f(x) =
√
x+
√
x+
√
x 17) f(x) = sen (tg (senx)) 18) f(t) = 4
√
t3 + 1
t3 − 1
p) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de equac¸a˜o:
(a) y = tg (2x) na origem de coordenadas;
(b) y =
√
4x− 3− 1 no ponto em que ela e´ perpendicular a` reta x+ 2y − 11 = 0;
(c) y =
|x|√
2− x2 no ponto (1, 1);
q) Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva y = sen (2x)− 2senx em que a reta
tangente e´ horizontal.
r) i) Escreva |x| = √x2 e use a regra da cadeia para mostrar que
d
dx
|x| = x|x| .
ii) Se f(x) = |senx|, encontre f ′(x) e esboc¸e os gra´ficos de f e f ′. Onde f na˜o e´ diferencia´vel?
iii) Se g(x) = sen (|x|), encontre g′(x) e esboc¸e os gra´ficos de g e g′. Onde g na˜o e´ diferencia´vel?
Tudo e´ permitido, mas nem tudo conve´m. Tudo e´ permitido, mas nem tudo edifica. I Cor.10:23
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