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CÁLCULO: VOLUME III
MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA
Departamento de Análise - IME
UERJ
2
Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
3
PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?
Isso depende bastante de até onde você quer chegar."
Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa
Rio de Janeiro
4
Conteúdo
1 GEOMETRIA ANALÍTICA 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 O Espaço Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Distância em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Paralelismo e Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.2 Forma Simétrica da Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.3 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.1 Ângulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Superfícies Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.12.2 Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12.3 Hiperbolóide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.12.4 Parabolóide elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.12.5 Parabolóide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12.6 Cone elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.12.7 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5
6 CONTEÚDO
2 CURVAS 45
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Parametrização das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Parametrização de Curvas Planas Clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Parábola semi-cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Lemmiscata de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Parametrização das Roletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Ciclóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.2 Epitrocóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.3 Hipotrocóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Curvas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.1 Hélice Circular Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Eliminação do Parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.8 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.9 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.10 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.11 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.12 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 97
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Fronteira de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 CAMPOS DE VETORES 103
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Campos Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 O Rotacional de um Campo de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Divergência de um Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Determinação do Potencial de um Campo Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.1 Campos Conservativos no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.2 Campos Conservativos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 INTEGRAIS 123
5.1 Integrais sobre Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Integrais de Linha de Campos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Integrais de Linha e Reparametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
CONTEÚDO 7
5.4 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 TEOREMADE GREEN 143
6.1 Extensão do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 Caracterização dos Campos Conservativos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7 SUPERFÍCIES 161
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .