calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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um arco de círculo de raio 3, do ponto
(3, 0) até
(3\u221a3
2
,
3
2
)
.
Resolvamos os sistemas:
{
3 cos(t) = 3
3 sen(t) = 0
e
\uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
3 cos(t) =
3
\u221a
3
2
3 sen(t) =
3
2
.
5.2. INTEGRAIS DE LINHADE CAMPOS DE VETORES 129
Logo, t = 0 e t =
\u3c0
6
. Então, a parametrização da curva é: \u3b3(t) = (3 cos(t), 3 sen(t)), 0 \u2264 t \u2264 \u3c0
6
:
x
y
Figura 5.6: Exemplo [2].
O vetor tangente a \u3b3 é \u3b3\u2032(t) = 3 (\u2212sen(t), cos(t)), F (\u3b3(t)) = 1
3
(\u2212sen(t), cos(t)); logo temos que
F (\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t) = 1; então: \u222b
C
F =
\u222b pi
6
0
dt =
\u3c0
6
.
[3] Calcule
\u222b
C
cos(z) dx+ ex dy + ey dz, se C é dada por:
\u3b3(t) = (1, t, et), 0 \u2264 t \u2264 2.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2
4
6
Figura 5.7: \u3b3 do exemplo [3].
Temos
dx
dt
= 0,
dy
dt
= 1 e
dz
dt
= et, logo:
\u222b
C
cos(z) dx+ ex dy + ey dz =
\u222b 2
0
(0 + e+ e2 t)dt = 2 e+
e4
2
\u2212 1
2
.
130 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
[4] Calcule
\u222b
C
sen(z) dx+ cos(z) dy \u2212 3\u221ax y dz, onde C é a curva parametrizada por:
\u3b3(t) = (cos3(t), sen3(t), t), 0 \u2264 t \u2264 7\u3c0
2
.
Figura 5.8: \u3b3 do exemplo [4].
Temos
dx
dt
= \u22123 cos2(t) sen(t), dy
dt
= 3 sen2(t) cos(t) e
dz
dt
= 1, logo:
\u222b
C
sen(z) dx+ cos(z) dy \u2212 3\u221ax y dz = \u2212
\u222b 7pi
2
0
(
cos(t) sen(t)
)
dt = \u22121
2
.
[5] Calcule
\u222b
C
x2 dx+ x y dx+ dz, se C é dada por \u3b3(t) = (t, t2, 1), 0 \u2264 t \u2264 1.
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 5.9: \u3b3 do exemplo [5].
F (x, y, z) = (x2, x y, 1), F (\u3b3(t)) = F (t, t2, 1) = (t2, t3, 1) e \u3b3\u2032(t) = (1, 2 t, 0); então:
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 131
\u222b
C
x2 dx+ x y dx+ dz =
\u222b 1
0
(t2 + 2 t4) dt =
11
15
.
5.3 Integrais de Linha e Reparametrizações
Seja C uma curva com parametrização \u3b3 : [a, b] \u2212\u2192 Rn de classe C1 e \u3b2 : [c, d] \u2212\u2192 Rn uma
reparametrização de classe C1 da curva C . Então, existe h : [c, d] \u2212\u2192 [a, b] de classe C1, bijetiva
tal que:
\u3b2 = \u3b3 \u25e6 h
Onde, h pode ser crescente, h(c) = a e h(d) = b ou h pode ser decrescente, h(d) = a e h(c) = b.
a
b
dc
a
b
c d
Figura 5.10: h crescente e decrescente, respectivamente.
Definição 5.3.
Se h é crescente, então dizemos que \u3b2 preserva a orientação, isto é, uma partícula que percorre uma
trajetória com a parametrização \u3b3, move-se na mesma direção que a partícula que percorre a trajetória
com a parametrização \u3b2.
Se h é decrescente, então dizemos que \u3b2 inverte a orientação, isto é, uma partícula que percorre uma
trajetória com a parametrização \u3b3, move-se na direção contrária à da partícula que percorre a trajetória
com a parametrização \u3b2.
Sejam \u3b3 : [a, b] \u2212\u2192 Rn uma parametrização diferenciável da curva C ligando o ponto \u3b3(a) ao
ponto \u3b3(b) e h : [a, b] \u2212\u2192 [a, b] tal que h(t) = a+b\u2212t; definamos a curvaC\u2212 pela parametrização
\u3b3\u2212 : [a, b] \u2212\u2192 Rn tal que:
\u3b3\u2212(t) = \u3b3(a+ b\u2212 t)
C\u2212 é a curva que liga \u3b3(b) a \u3b3(a). \u3b3 e \u3b3\u2212 têm o mesmo traço, mas são percorridas em sentidos
opostos.
No plano:
132 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
Figura 5.11: Gráficos de C+ e C\u2212, respectivamente.
No espaço:
Figura 5.12: Gráficos de C+ e C\u2212, respectivamente.
Exemplo 5.3.
[1] SejaC o segmento de reta ligando a origem e o ponto (1, 1); entãoC pode ser parametrizado
por:
\u3b3 : [0, 1] \u2212\u2192 R2 tal que \u3b3(t) = (t, t).
Fazendo h(t) = 1\u2212 t, então \u3b3\u2212(t) = \u3b3(h(t)) = (1\u2212 t, 1\u2212 t), \u3b3\u2212(0) = (1, 1) e \u3b3\u2212(1) = (0, 0)
1
1
1
1
Figura 5.13: Gráficos de C+ e C\u2212, respectivamente.
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 133
[2] Seja C o círculo unitário; então C pode ser parametrizado por:
\u3b3(t) = (cos(t), sen(t)), t \u2208 [0, 2\u3c0];
fazendo h(t) = 2\u3c0 \u2212 t, então:
\u3b3\u2212(t) = \u3b3(h(t)) = (cos(2\u3c0 \u2212 t), sen(2\u3c0 \u2212 t)) = (cos(t),\u2212sen(t)).
Note que \u3b3\u2032(t) = (\u2212sen(t), cos(t)) e \u3b3\u2032\u2212(t) = (\u2212sen(t),\u2212cos(t)).
Figura 5.14: Gráficos de C+ e C\u2212, respectivamente.
A escolha de um sentido para o vetor tangente a uma curva é chamada orientação da curva;
logo, toda curva diferenciável tem duas possíveis orientações. De fato, Seja C uma curva dife-
renciável parametrizada por \u3b3 = \u3b3(t), t \u2208 [a, b]. Podemos definir o campo (contínuo) tangente
unitário, por:
T (p) =
\u3b3\u2032(t)
\u2016\u3b3\u2032(t)\u2016 ,
onde \u3b3(t) = p, t \u2208 (a, b) e tal que lim
t\u2192a+
T (p) e lim
t\u2192b\u2212
T (p) existem. No caso de uma curva fechada,
estes limites devem ser iguais.
\u2212T também é uma orientação de C ; por continuidade, temos que uma curva possui duas ori-
entações possíveis. As mudanças de orientação são refletidas na integral de linha.
Teorema 5.1. Sejam F um campo de vetores, C uma curva de classe C1 com parametrização \u3b3 tal que
F \u25e6 \u3b3 é contínua e \u3c3 uma reparametrização de C .
1. Se \u3c3 preserva orientação e \u3c3(I) = L, então:
\u222b
C
F =
\u222b
L
F
2. Se \u3c3 inverte orientação, então: \u222b
C
F = \u2212
\u222b
L
F
134 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
Em particular: \u222b
C
F = \u2212
\u222b
C\u2212
F
Prova: Por hipotese, existe h tal que \u3b3 = \u3c3 \u25e6 h; então \u3b3\u2032(t) = \u3c3\u2032(h(t)) · h\u2032(t). Logo:\u222b
C
F =
\u222b b
a
F (\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t) dt =
\u222b b
a
(F (\u3c3(h(t))) · \u3c3\u2032(h(t)))h\u2032(t) dt;
fazendo a mudança de variáveis s = h(t), temos:\u222b
C
F =
\u222b h(b)
h(a)
(F (\u3c3(s)) · \u3c3\u2032(s)) ds.
Dependendo de h preservar ou inverter a orientação, provamos o teorema.
Logo, a integral de linha depende do campo e da parametrização da curva.
Proposição 5.1.
1. Linearidade: Sejam a, b \u2208 R, F, G campos de vetores e C uma curva de classe C1; então:
\u222b
C
aF + bG = a
\u222b
C
F + b
\u222b
C
G
2. Aditividade: Se C admite uma decomposição em n curvas Ci, i = 1....n, então:
\u222b
C
F =
n\u2211
i=1
\u222b
Ci
F
As provas destas propriedades seguem da definição de integral de linha.
Proposição 5.2. Seja F um campo gradiente com potencial f , de classe C1 e C uma curva de classe C1
que liga os pontos P e Q; então: \u222b
C
F = f(Q)\u2212 f(P )
A integral dos campos gradientes não depende da curva que liga os pontos P e Q, somente depende dos
pontos. Em particular: \u222e
C
F = 0
Prova: Seja \u3b3 uma parametrização de classe C1 de C tal que \u3b3(a) = P , \u3b3(b) = Q e H(t) =
f(\u3b3(t)); pela regra da cadeia, H \u2032(t) = \u2207f(\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t). Utilizando o teorema fundamental do
cálculo: \u222b
C
F =
\u222b b
a
\u2207f(\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t) dt =
\u222b b
a
H \u2032(t) dt = H(b)\u2212H(a) = f(Q)\u2212 f(P ).
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 135
Exemplo 5.4.
[1] Calcule
\u222b
C
F , onde F é o campo de quadrado inverso e C é parametrizada por:
\u3b3(t) =
(t4
4
, sen3
(
\u3c0 t
)
, 0
)
, t \u2208 [1, 2].
Sabemos que F é um campo gradiente com potencial f(x, y, z) =
\u2212k\u221a
x2 + y2 + z2
; por outro
lado P = \u3b3(1) =
(1
4
, 0, 0
)
e Q = \u3b3(2) = (4, 0, 0); logo:
\u222b
C
F = f(4, 0, 0) \u2212 f(1
4
, 0, 0
)
=
15 k
4
.
[2] Sejam F (x, y) = (x2, x y) e C a curva formada pelo arco de parábola y = x2, 0 \u2264 x \u2264 1 e
pelo segmento de reta que liga (1, 1) e (0, 0). Calcule
\u222b
C
F .
1
1
Figura 5.15: Exemplo [2].
A curva C admite uma decomposição em 2 curvas C1 e C2, com parametrizações dadas por
\u3b31(t) = (t, t
2) e \u3b32(t) = (1\u2212 t, 1\u2212 t), 0 \u2264 t \u2264 1, então:\u222b
C
F =
\u222b
C1
F +
\u222b
C2
F =
\u222b
C1
F \u2212
\u222b
C\u2212
2
F =
\u222b
C
F =
\u222b 1
0
(\u2212t2 + 2t4) dt = 1
15
,
onde \u3b3\u22122 (t) = (t, t), 0 \u2264 t \u2264 1.
[3] Seja F o campo radial de quadrado inverso, para k = \u22121. Calcule:
\u222b
C
F , onde C é a curva
obtida pela interseção das superfícies x2 + y2 = 1 e z = 4.
A superfície x2 + y2 = 1 é um cilindro circular reto; logo a interseção do cilindro com o plano
z = 4 é um círculo de raio 1, que pode ser parametrizado por
\u3b3(t) = (cos(t), sen(t), 4), t \u2208 [0, 2\u3c0].
136 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
-1
0
1
-1
0
1
0
2
4
6
Figura 5.16: Exemplo [3].
\u3b3\u2032(t) = (\u2212sen(t), cos(t), 0) e F (\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t) = 0; então
\u222e
C
F = 0.
[4] Seja F (x, y) = (x y, x2). Calcule
\u222b
C
F , onde C é a seguinte curva:
1
-1
1
Figura 5.17: Exemplo [4].
Parametrizamos a curva por 5 segmentos de reta:
\u3b3+1 (t) = (0, 2 t \u2212 1), \u3b3+2 (t) = (t, 1) \u3b3+3 (t) = (1\u2212 t, 1\u2212 t), \u3b3+4 (t) = (t,\u2212t) e
\u3b3+5 (t) = (1\u2212 t,\u22121), t \u2208 [0, 1].
Então: \u222b
C
F =
\u222b
C+
1
F +
\u222b
C+
2
F +
\u222b
C+
3
F +
\u222b
C+
4
F +
\u222b
C+
5
F,
donde obtemos:\u222b
C
F =
\u222b 1
0
0 dt +
\u222b 1
0
t dt\u2212 2
\u222b 1
0
(1\u2212 t)2 dt\u2212 2
\u222b 1
0
t2 dt+
\u222b 1
0
(1\u2212 t) dt = \u22121
3
.
[5] Determine o trabalho realizado pela força F (x, y) =
( 1
x+ 2
,
1
y + 3
)
para deslocar uma par-
tícula ao longo da trajetória C dada por:
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 137
1
-1
1
Figura 5.18: Exemplo [5].
Devemos calcular:
\u222b
C
F =
\u222b
C+
1