calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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DisciplinaÁlgebra Linear I20.281 materiais293.653 seguidores
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teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
1.
\u222e
\u3b3
\u221a
y dx+
\u221a
x dy, onde \u3b3 é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no
sentido anti-horário.
2.
\u222e
\u3b3
y dx+ x2 dy, onde \u3b3 é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e 2 y \u2212 x = 0, no sentido
anti-horário.
1. F1(x, y) =
\u221a
y e F2(x, y) =
\u221a
x; logo:
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
=
1
2
( 1\u221a
x
\u2212 1\u221a
y
)
; então,
\u222e
\u3b3
\u221a
y dx+
\u221a
x dy =
1
2
\u222b\u222b
D
( 1\u221a
x
\u2212 1\u221a
y
)
dx dy,
ondeD é a região de tipo I:D = {(x, y) \u2208 R2/ 0 \u2264 x \u2264 1, 0 \u2264 y \u2264 x2}.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 6.3: Exemplo [1].
1
2
\u222b\u222b
D
( 1\u221a
x
\u2212 1\u221a
y
)
dx dy =
1
2
\u222b 1
0
( \u222b x2
0
(
1\u221a
x
\u2212 1\u221a
y
) dy
)
dx =
1
2
\u222b 1
0
(
x
3
2 \u2212 2x) dx = \u2212 3
10
.
Logo:
\u222e
\u3b3
\u221a
y dx+
\u221a
x dy = \u2212 3
10
.
2. F1(x, y) = y e F2(x, y) = x2; logo:
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
= 2x\u2212 1; então,
\u222e
\u3b3
y dx+ x2 dy =
\u222b\u222b
D
(2x\u2212 1) dx dy,
ondeD é a região de tipo I:D = {(x, y) \u2208 R2/ 0 \u2264 x \u2264 2, 0 \u2264 y \u2264 x
2
}.
146 CAPÍTULO 6. TEOREMADE GREEN
0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 6.4: Exemplo [2].
Logo,\u222e
\u3b3
y dx+ x2 dy =
\u222b\u222b
D
(2x\u2212 1) dx dy =
\u222b 2
0
( \u222b x2
0
(2x\u2212 1) dy) dx = \u222b 2
0
(x2 \u2212 x
2
) dx =
5
3
.
[2] Calcule
\u222b
\u3b3
ex sen(y) dx+ (ex cos(y) + x) dy, onde \u3b3 é o círculo de raio 1 centrado na origem,
no primeiro e segundo quadrantes.
1
\u3b3
Figura 6.5: Exemplo [2]
O teorema de Green não pode ser aplicado, pois a curva não é fronteira de uma região fechada.
Para poder aplicar o teorema de Green, consideramos a seguinte curva \u3b2 = \u3b3\u222a\u3b31, diferenciável
por partes, orientada no sentido anti-hórario, como no seguinte desenho:
Figura 6.6:
147
A regiãoD é tal que \u2202D = \u3b2. Aplicamos o teorema de Green considerando a curva \u3b2.
Sejam F1(x, y) = ex sen(y) e F2(x, y) = ex cos(y) + x; logo,
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
= 1; então:
\u222e
\u3b2
ex sen(y) dx+ (ex cos(y) + x) dy =
\u222b\u222b
D
dx dy = A(D),
onde A(D) =
\u3c0
2
é a área do semi-círculo de raio 1. Por outro lado:
\u222e
\u3b2
F =
\u222b
\u3b3
F +
\u222b
\u3b31
F ;
logo, \u222b
\u3b3
F =
\u3c0
2
\u2212
\u222b
\u3b31
F.
Só falta calcular
\u222b
\u3b31
ex sen(y) dx+ (ex cos(y) + x) dy , onde \u3b31 é o segmento de reta entre os
pontos (\u22121, 0) e (1, 0). Uma parametrização de \u3b31 é:{
x(t) = 2 t\u2212 1 dx = 2 dt
y(t) = 0, t \u2208 [0, 1], dy = 0 dt.
\u222b
\u3b31
ex sen(y) dx+ (ex cos(y) + x) dy =
\u222b 1
0
(2 t\u2212 1 + e2t\u22121) 0 dt = 0.
Então:
\u222b
\u3b3
ex sen(y) dx+ (ex cos(y) + x) dy =
\u3c0
2
.
[3] Calcule
\u222b
C
(y ex y + 2x y cos(x2 y)) dx+ (x ex y + x2 cos(x2 y)) dy, onde C é a curva formada
pelos arcos das seguintes curvas y = x3 \u2212 x e y = x\u2212 x3, \u22121 \u2264 x \u2264 1.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Figura 6.7: Exemplo [3].
148 CAPÍTULO 6. TEOREMADE GREEN
C é uma curva fechada e F (x, y) = (y ex y + 2x y cos(x2 y), x ex y + x2 cos(x2 y)) é um campo
conservativo, com potencial f(x, y) = ex y + sen(x2 y) + c; logo:\u222e
C
(y ex y + 2x y cos(x2 y)) dx+ (x ex y + x2 cos(x2 y)) dy = 0.
[4] Determine a área da região limitada pelas curvas 4x2 + y2 = 4 e
x2
9
+
y2
4
= 1.
Pela simetria da região, calculamos a área da região no primeiro quadrante e multiplicamos o
resultado por 4.
1-1 2-3
-1
1
1-1 2-3
-1
1
Figura 6.8:
A nova região é uma região fechada simples D tal que \u2202D = \u3b31 \u222a \u3b32 \u222a \u3b33, onde \u3b31 é o arco da
elipse 4x2 + y2 = 4, \u3b32 é o segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 0) e \u3b33 é o arco da
elipse
x2
9
+
y2
4
= 1.
1 3
2
Figura 6.9:
A(D) =
\u222e
\u2202D
x dy =
\u222b
\u3b31
x dy +
\u222b
\u3b32
x dy +
\u222b
\u3b33
x dy.
Parametrizações:
i) 4x2 + y2 = 4 é parametrizada por \u3b3\u22121 (t) = (cos(t), 2 sen(t)), t \u2208 [0,
\u3c0
2
].
ii) O segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 0) é parametrizado por \u3b32(t) = (t, 0),
t \u2208 [1, 3].
6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 149
iii)
x2
9
+
y2
4
= 1 é parametrizada por \u3b3\u22123 (t) = (3 cos
(\u3c0
2
\u2212 t), 2 sen(\u3c0
2
\u2212 t)), t \u2208 [0, \u3c0
2
]. Então:
i)
\u222b
\u3b31
x dy =
\u222b
\u3b3\u2212
1
x dy = \u2212
\u222b pi
2
0
2 cos2(t) dt = \u2212
\u222b pi
2
0
(cos(2 t) + 1) dt = \u2212\u3c0
2
ii)
\u222b
\u3b32
x dy = 0.
iii)
\u222b
\u3b33
x dy = \u2212
\u222b pi
2
0
\u22126 sen2(t) dt =
\u222b pi
2
0
(3\u2212 3 cos(2 t)) dt = 3\u3c0
2
.
Logo, a área total é 4\u3c0 u.a.
6.1 Extensão do Teorema de Green
O teorema de Green ainda é válido para regiões mais gerais de que as estudadas no parágrafo
anterior.
Teorema 6.4. Seja D uma região no plano tal que \u2202D = C1 \u222a C2 \u222a ............ \u222a Cn. Cada curva da
fronteira deD é orientada de forma queD tenha orientação positiva. Sejam U \u2282 R2 um conjunto aberto
tal que D \u2282 U e F : U \u2212\u2192 R2 um campo de vetores de classe C1, com funções coordenadas (F1, F2).
Então:
n\u2211
i=1
\u222b
C+
i
F =
\u222b\u222b
D
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy.
A seguinte região é tal que \u2202D+ = C+1 \u222a C\u22122 \u222a C\u22123 \u222a C\u22124
D
C
C
C
C 1
4
3
2
Figura 6.10:
Por exemplo consideremos a seguinte região D:
150 CAPÍTULO 6. TEOREMADE GREEN
DC
C
1
2
Figura 6.11:
\u2202D+ = C+1 \u222a C\u22122 . Subdividamos a região D em 4 subregiõesD = D1 \u222aD2 \u222aD3 \u222aD4:
D 4
D3
D1
D2
C1
C2
Figura 6.12:
i) Seja D1 tal que \u2202D+1 = C
+
11 \u222a L+4 \u222a C\u221221 \u222a L+1 ; onde Ci1 é o arco da curva Ci, (1 \u2264 i \u2264 2) na
região D1.
ii) Seja D2 tal que \u2202D+2 = C
+
12 \u222a L+2 \u222a C\u221222 \u222a L\u22121 ; onde Ci1 é o arco da curva Ci, (1 \u2264 i \u2264 2) na
região D2.
iii) Seja D3 tal que \u2202D+3 = C
+
13 \u222a L\u22122 \u222a C\u221223 \u222a L+3 ; onde Ci1 é o arco da curva Ci, (1 \u2264 i \u2264 2) na
região D3.
iv) Seja D4 tal que \u2202D+4 = C
+
14 \u222a L\u22123 \u222a C\u221224 \u222a L\u22124 ; onde Ci1 é o arco da curva Ci, (1 \u2264 i \u2264 2) na
região D4.
6.1. EXTENSÃODO TEOREMADE GREEN 151
D
D
DD
1
23
4
C 1 1
C1 2
C2 1
C2 2
L1
L 4
L2
L3
C2 4
C2 3
C
C1 4
1 3
Figura 6.13:
i) Aplicando o teorema de Green em D1:
\u222b\u222b
D1
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222e
\u2202D+
1
F =
\u222b
C+
11
F +
\u222b
L+
4
F +
\u222b
C\u2212
21
F +
\u222b
L+
1
F.
ii) Aplicando o teorema de Green emD2:
\u222b\u222b
D2
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222e
\u2202D+
2
F =
\u222b
C+
12
F +
\u222b
L+
2
F +
\u222b
C\u2212
22
F +
\u222b
L\u2212
1
F.
iii) Aplicando o teorema de Green em D3:
\u222b\u222b
D3
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222e
\u2202D+
3
F =
\u222b
C+
13
F +
\u222b
L\u2212
2
F +
\u222b
C\u2212
23
F +
\u222b
L+
3
F.
iv) Aplicando o teorema de Green emD4:
\u222b\u222b
D4
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222e
\u2202D+
4
F =
\u222b
C+
14
F +
\u222b
L\u2212
3
F +
\u222b
C\u2212
24
F +
\u222b
L\u2212
4
F.
Então, de i), ii), iii) e iv):
4\u2211
i=1
\u222b\u222b
Di
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222b
C+
1
F +
\u222b
C\u2212
2
F.
Exemplo 6.2.
[1] Seja D a região limitada pela curva x2 + y2 = 9 externa ao retângulo de vértices (1,\u22121),
(2,\u22121), (2, 1) e (1, 1), orientada positivamente. Calcule
\u222b
\u2202D+
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy.
152 CAPÍTULO 6. TEOREMADE GREEN
C
C
1
2
D
Figura 6.14: Exemplo [1].
\u2202D+ = C+1 \u222a C\u22122 ; então:\u222b
\u2202D+
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy =
\u222b
\u2202C+
1
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy \u2212
\u222b
\u2202C+
2
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy.
i) Seja D1 a região limitada pela curva x2 + y2 = 9; \u2202D+1 = C
+
1 . Seja F1(x, y) = 2x \u2212 y3 e
F2(x, y) = \u2212x y. Aplicando o teorema de Green a D1, utilizando a parametrização usual do
círculo: \u222b
\u2202C+
1
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy =
\u222b\u222b
D1
(3 y2 \u2212 y) dx dy
=
\u222b 2\u3c0
0
( \u222b 3
0
(3 r2 sen2(t)\u2212 r sen(t)) r dr) dt = 243\u3c0
4
.
ii) Seja D2 a região limitada pelo retângulo; \u2202D+2 = C
+
2 . Seja F1(x, y) = 2x \u2212 y3 e F2(x, y) =
\u2212x y. Aplicando o teorema de Green aD2:
\u222b
\u2202C+
2
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy =
\u222b\u222b
D2
(3 y2 \u2212 y) dx dy =
\u222b 1
\u22121
( \u222b 2
1
(3 y2 \u2212 y) dx) dy = 2.
De i) e ii): \u222b
\u2202D+
(2x\u2212 y3) dx\u2212 x y dy = 243\u3c0
4
\u2212 2.
[2] Calcule
\u222e
C
F , onde F (x, y) =
( \u2212y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
+ 2x
)
e C é a curva
x2
4
+
y2
9
= 1 no sentido
anti-hórario.
Não podemos aplicar o teorema de Green, pois F não é definido na origem. Seja D a região
limitada pela curva
x2
4
+
y2
9
= 1, externa ao círculo de raio 1, centrado na origem:
6.2. CARACTERIZAÇÃODOS CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO 153
-2 -1 1 2
-3
-1
1
3
Figura 6.15: Exemplo [2].
\u2202D+ = C+1 \u222a C\u22122 . Sejam F1(x, y) =
\u2212y
x2 + y2
e F2(x, y) =
x
x2 + y2
+ 2x; então, aplicando o
teorema anterior:
\u222b
C+
1
F +
\u222b
C\u2212
2
F =
\u222b\u222b
D
[
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
]
dx dy =
\u222b\u222b
D
2 dx dy = 2A(D) = 10\u3c0.
Logo: \u222b
C+
1
F = 10\u3c0 \u2212
\u222b
C\u2212
2
F = 10\u3c0 +
\u222b
C+
2
F .
Usando a parametrização usual do círculo:
\u222b
C+
2
F =
\u222b 2\u3c0
0
(sen2(t) + 3 cos2(t)) dt =
\u222b 2\u3c0
0
(1 + 2 cos2(t)) dt = 4\u3c0;
então:
\u222b
C+
1
F = (10 + 4)\u3c0 = 14\u3c0.
6.2 Caracterização dos Campos Conservativos no Plano
Definição 6.3. Seja A \u2282 R2 um conjunto