calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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são objetos de dimensão 2 em R3 ou,
equivalentemente, os que possuem área, mas tem espessura irrelevante.
Vários conceitos técnicos que serão vistos mais adiante, tem definições rigorosas que estão fora
do contexto destas notas e por isso ficaremos apenas com idéias geométricas.
Do Cálculo de uma variável, conhecemos os sólidos de revolução; por outro lado, do Cálculo
em várias variáveis, os planos e as quádricas são exemplos de superfícies.
Figura 7.1:
161
162 CAPÍTULO 7. SUPERFÍCIES
7.2 Superfícies Parametrizadas
Definição 7.1. Uma parametrização de uma superfície S \u2282 R3 é uma função:
\u3a6 : A \u2282 R2 \u2212\u2192 R3 tal que \u3a6(A) = S.
S
\u3a6
A
v
u
Figura 7.2: Parametrização de uma superfície.
Em tal caso a superfície S é dita parametrizada e denotamos a parametrização de S por:
\u3a6(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
onde x, y, z : A \u2282 R2 \u2212\u2192 R são as funções coordenadas de \u3a6.
Intuitivamente, a superfície S é obtida deformando a região A no espaço, através da função \u3a6.
A definição de parametrização é muito geral e permite todo tipo de função, como por exemplo:
\u3a6 função constante, ou \u3a6(u, v) = (u, v, g(u, v)) tal que g : R2 \u2212\u2192 R e
g(u, v) =
{
\u22121 se u \u2208 Q
1 se u /\u2208 Q,
ou superfícies com auto-interseções. Mais adiante adicionaremos hipóteses suplementares para
evitar estes tipos de situações.
7.3. EXEMPLOS 163
Figura 7.3: Cilindro com auto-interseções.
7.3 Exemplos
A seguir apresentaremos algumas parametrizações das superfícies mais utilizadas:
7.3.1 Superfícies definidas pelo gráfico de uma função
Seja f : A \u2282 R2 \u2212\u2192 R uma função. O gráfico de f é o seguinte subconjunto do espaço:
G(f) = {(x, y, f(x, y)) \u2208 R3 / (x, y) \u2208 A}.
G(f) é, em geral, uma superfície que possui uma parametrização natural.
Parametrização
A cada ponto de G(f) corresponde um ponto em A determinado pela projeção sobre o plano
coordenado xy; logo,
\u3a6(x, y) = (x, y, f(x, y))
para todo (x, y) \u2208 A = Dom(f). Então \u3a6(A) = G(f).
Exemplo 7.1.
[1] Seja a função z = f(x, y) = x2 + y2; entãoG(f) é um parabolóide circular com parametriza-
ção \u3a8(x, y) = (x, y, x2 + y2) tal que (x, y) \u2208 R2.
164 CAPÍTULO 7. SUPERFÍCIES
Figura 7.4: Exemplo [1].
[2] Os gráficos das funções f(x, y) = sen(2x) sen(2 y), tal que (x, y) \u2208 [\u2212\u3c0, \u3c0] × [\u2212\u3c0, \u3c0] e
g(x, y) = x2 \u2212 y2 tal que (x, y) \u2208 [\u22122, 2]× [\u22122, 2], são respectivamente:
Figura 7.5: Gráficos de f e g, respectivamente.
[3] A esfera unitária em R3: S2 = {(x, y, z) /x2 + y2 + z2 = 1} não é gráfico de uma função de
duas variáveis; logo, não podemos definir uma parametrização global de S2 como gráfico.
Parametrização: SejaD = {(x, y) /x2 + y2 < 1}; definimos:
\u3a61(x, y) = (x, y,
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2);
logo, \u3a61(D) = {(x, y, z) /x2 + y2 + z2 = 1, z > 0} e \u3a61(D) = S2+ é a calota superior da esfera.
Também podemos definir:
\u3a62(x, y) = (x, y,\u2212
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2);
logo, \u3a62(D) = {(x, y, z) /x2 + y2 + z2 = 1, z < 0}. \u3a62(D) = S2\u2212 é a calota inferior da esfera.
Note que S2 = S2+ \u222a S2\u2212.
7.3. EXEMPLOS 165
D
(x,y)
(x,y)
\u3a62(x,y)
\u3a61
S2+
S2
-
Figura 7.6: Exemplo [3].
7.3.2 Superfícies de Revolução
Seja S a superfície gerada pela rotação da curva \u3b3(t) = (x(t), y(t)), t \u2208 [a, b] no semi-plano
superior {(x, y) \u2208 R2 / y > 0}, em torno do eixo dos x.
Parametrização
S pode ser parametrizada por:
\u3a6(t, \u3b8) = (x(t), y(t) cos(\u3b8), y(t) sen(\u3b8))
onde x, y : [a, b] \u2212\u2192 R são funções contínuas, y(t) \u2265 0 para todo t \u2208 [a, b] e \u3b8 \u2208 [0, 2\u3c0).
\u3b3
S
\u3b8
x
(t, \u3b8)\u3a6
Figura 7.7: Superfície de revolução.
Exemplo 7.2.
[1] Seja a parábola \u3b3(t) = (t, t2), t \u2208 [1, 2]; a superfície de revolução S gerada por \u3b3, girando-a
ao redor do eixo dos x é parametrizada por:
\u3a6(t, \u3b8) = (t, t2 cos(\u3b8), t2 sen(\u3b8)), (t, \u3b8) \u2208 [1, 2] × [0, 2\u3c0).
166 CAPÍTULO 7. SUPERFÍCIES
1 2
1
4
1 2
1
4
Figura 7.8: Exemplo [1].
[2] Seja a curva \u3b3(t) = (t, 2 sen(t) + 4)), t \u2208 [\u3c0
8
, 2\u3c0]; a superfície de revolução S gerada por \u3b3
girando-a ao redor do eixo dos x é parametrizada por:
\u3a6(t, \u3b8) = (t, (2 sen(t) + 4) cos(\u3b8), (2 sen(t) + 4) sen(\u3b8)),
(t, \u3b8) \u2208 [\u3c0
8
, 2\u3c0]× [0, 2\u3c0):
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Figura 7.9: Exemplo [2].
7.4 Esferas
A esfera de centro na origem e raio a em R3 é denotada e definida por:
S2 = {(x, y, z) /x2 + y2 + z2 = a2, a > 0}.
Parametrização
S pode ser parametrizada utilizando coordenadas esféricas. De fato, seja A = [0, \u3c0] × [0, 2\u3c0];
definimos:
\u3a6(u, v) = (a sen(u) cos(v), a sen(u) sen(v), a cos(u)), (u, v) \u2208 A .
7.4. ESFERAS 167
Não é difícil ver que a cada ponto da esfera corresponde um único par (u, v) \u2208 A, exceto os polo
norte (0, 0, a) e sul (0, 0,\u2212a) aos quais correspondem os segmentos {0}× [0, 2\u3c0] e {\u3c0}× [0, 2\u3c0],
respectivamente. O ângulo u indica a latitude e o ângulo v indica a longitude na esfera. Veja os
desenhos.
D
\u3a6(u,v)
S
u
v
pi
2pi
\u3a6
u
v
Figura 7.10: Parametrização da esfera.
Figura 7.11: A esfera.
A esfera centrada na origem de raio a também pode ser parametrizada por:
\u3a8(u, v) = (a cos(u) cos(v), a sen(u) cos(v), a sen(v)),
tal que (u, v) \u2208 [0, 2\u3c0] × [\u2212 \u3c0
2
,
\u3c0
2
]
.
168 CAPÍTULO 7. SUPERFÍCIES
Figura 7.12: Calotas da esfera para (u, v) \u2208 [\u3c0, 2\u3c0] × [\u2212 \u3c02 , \u3c02 ] e [0, \u3c0]× [\u2212 \u3c02 , \u3c02 ], respectiva-
mente.
7.5 Cilindros
Seja C uma curva plana e L é uma reta não situada no mesmo plano da curva. O conjunto de
todas as retas paralelas a L e que intersectam C é chamado cilindro. A curva C é dita diretriz
do cilindro e cada reta que passa por C paralela a L é chamada geratriz do cilindro.
Parametrização
Se a curva C é parametrizada como \u3b3(t) = (x(t), y(t)), t \u2208 I \u2282 R, então parametrizamos o
cilindro por:
\u3a6(t, z) = (x(t), y(t), z), (t, z) \u2208 I × R
Exemplo 7.3.
[1] O cilindro de geratrizes paralelas ao eixo dos z e tendo como diretriz uma elipse no plano
xy centrada na origem, tem equação cartesiana:
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
a, b não são nulos.
Parametrizamos a elipse como \u3b3(t) = (a cos(t), b sen(t)), t \u2208 [0, 2\u3c0]; logo a parametrização do
cilindro é:
\u3a6(t, z) = (a cos(t), b sen(t), z), (t, z) \u2208 [0, 2\u3c0] × R.
No caso da diretriz ser um círculo, o cilindro pode ser parametrizado utilizando coordenadas
cilíndricas. Em geral, se na equação que descreve uma quádrica falta uma variável, ela repre-
senta um cilindro com geratrizes paralelas à variável que falta.
[2] Se a equação é y = ax2, obtemos o cilindro parabólico parametrizado por:
\u3a6(t, z) = (t, a t2, z), (t, z) \u2208 I × R.
7.6. SUPERFÍCIES REGULARES 169
[3] Se a equação é y = a sen(x), obtemos o cilindro senoidal parametrizado por:
\u3a6(t, z) = (t, a sen(t), z), (t, z) \u2208 I × R.
Figura 7.13: Exemplos [1], [2] e [3], respectivamente.
Seja A \u2282 R3 um conjunto aberto. A superfície S é contínua, diferenciável ou de classe Ck se
\u3a6 : A \u2282 R2 \u2212\u2192 R3 é contínua, diferenciável ou de classe Ck; equivalentemente, se cada uma
de suas funções coordenadas é contínua, diferenciável ou de classe Ck, respectivamente.
Como notamos através dos exemplos, a parametrização de uma superfície não é única.
Outra forma de definir superfícies é através do Teorema da Função Implícita.
Seja f : A \u2282 R3 \u2212\u2192 R de classe Ck; se c é um valor regular de f , então S = f\u22121(c) é uma
superfície em R3 de classe Ck. Em tal caso S é dita definida implícitamente.
A recíproca desta afirmação é falsa, isto é, se S = f\u22121(c) é uma superfície, isto não implica
necessariamente, que c não seja ponto crítico. (Veja exemplo [2])).
Exemplo 7.4.
A esfera S2 pode ser definida de forma implícita.
[1] Seja F (x, y, z) = x2 + y2 + z2; como 1 é valor regular de f , F\u22121(1) = S2 .
[2] Seja G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 \u2212 1; então S2 = G\u22121(0); observe que zero é ponto crítico de G.
7.6 Superfícies Regulares
Sejam \u3a6 : A \u2282 R2 \u2212\u2192 R3 tal que \u3a6(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) uma superfície parametri-
zada S, (u0, v0) um ponto fixado em A. Definamos as seguinte curvas sobre S:
Definição 7.2. Sejam \u3a6u0(v) = \u3a6(u0, v) e \u3a6v0(u) = \u3a6(u, v0); estas curvas são chamadas curvas
coordenadas.
170 CAPÍTULO 7. SUPERFÍCIES
u
v (u,v)
\u3a6
\u3a6
v
u
\u3a6
S
Figura 7.14: Curvas cooedenadas.
Exemplo 7.5.
[1] No caso da superfície ser o gráfico de uma função f , as curvas coordenadas