calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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S não limita um sólido. Para
aplicar o teorema de Gauss, "tamparemos"o parabolóide com um disco de raio 1.
204 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS
Figura 9.18:
SejaW o sólido com normal (0, 0,\u22121) tal que \u2202W = S\u222aS1, ondeS1 e a superfície parametrizada
por \u3a61(x, y) = (x, y, 1) tal que x2 + y2 \u2264 1. Pelo teorema de Gauss:\u222b\u222b\u222b
W
div(F ) dx dy dz =
\u222b\u222b
S
F dS +
\u222b\u222b
S1
F dS1.
Note que div(F ) = 0; logo,
\u222b\u222b
S
F dS = \u2212
\u222b\u222b
S1
F dS1 e:
\u222b\u222b
S1
F dS1 = \u2212
\u222b\u222b
x2+y2\u22641
(x2 + y2) dx dy = \u2212
\u222b 2\u3c0
0
\u222b 1
0
r3 dr d\u3b8 = \u2212\u3c0
2
;
então, \u222b\u222b
S
F dS =
\u3c0
2
.
[3] Verificaremos que o fluxo do campo de quadrado inverso através de qualquer superfície
fechada e limitada, bordo de um sólido que contém a origem é 4 k \u3c0. Veja o capítulo 4.
Notemos que o campo de quadrado inverso F não é de classe C1 emW , onde S = \u2202W .
Seja B\u3b5 uma bola aberta centrada na origem de raio \u3b5 > 0 contida em W , denotemos por
S\u3b5 = \u2202B\u3b5. O campo F é de classe C1 emW\u3b5 = W \u2212 B\u3b5; aplicando o teorema da divergência,
onde \u2202W\u3b5 = S \u222a S\u3b5 e div(F ) = 0:
0 =
\u222b\u222b\u222b
W
div(F ) dx dy dz =
\u222b\u222b
S
F dS +
\u222b\u222b
S\u3b5
F dS\u3b5;
então, \u222b\u222b
S
F dS = \u2212
\u222b\u222b
S\u3b5
F dS\u3b5.
O vetor normal a S\u3b5 é ~n = \u2212 P (x, y, z)\u2016P (x, y, z)\u2016 = \u2212
1
\u3b5
P (x, y, z), onde P é o vetor posição, logo:
\u222b\u222b
S
F dS = \u2212
\u222b\u222b
S\u3b5
F dS\u3b5 =
\u222b\u222b
S\u3b5
[
k P (x, y, z)
\u2016P (x, y, z)\u20163
]
·
[
1
\u3b5
P (x, y, z)
]
dS\u3b5
=
k
\u3b52
\u222b\u222b
S\u3b5
dS\u3b5 = 4 k \u3c0.
9.6. INTERPRETAÇÃODO TEOREMADE GAUSS 205
Se (0, 0, 0) /\u2208 W , então o campo de vetores de quadrado inverso F é de classe C1 emW ; como
div(F ) = 0, pelo teorema de Gauss:\u222b\u222b
S
F dS =
\u222b\u222b\u222b
W
div(F ) dx dy dz = 0.
9.6 Interpretação do Teorema de Gauss
Sejam F um campo de classe C1 definido em A \u2282 R3, P \u2208 A, para \u3b5 pequeno, denotamos por
B\u3b5 = B\u3b5(P ) = {R \u2208 A/ \u2016R \u2212 P\u2016 \u2264 \u3b5} e S\u3b5 = \u2202B\u3b5. Suponha que F representa a velocidade de
escoamento de um fluido no ponto (x, y, z) \u2208 A. Logo,\u222b\u222b
S\u3b5
F dS =
\u222b\u222b\u222b
B\u3b5
div(F ) dx dy dz.
Pelo teorema do valor médio, existe P\u3b5 \u2208 B\u3b5 tal que:\u222b\u222b\u222b
B\u3b5
div(F ) dx dy dz = div(~F )(P\u3b5) vol(B\u3b5);
então:
div(~F )(P\u3b5) =
1
vol(B\u3b5)
\u222b\u222b
S\u3b5
F dS.
Aplicando limite:
div(~F )(P ) = lim
\u3b5\u21920
1
vol(B\u3b5)
\u222e
\u2202B\u3b5
~F .
div(~F )(P ) é o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de centro P . Se
div(~F )(P ) > 0, então P é dito fonte pois o fluido &quot;sai&quot;de P e se div(~F )(P ) < 0, então P é dito
poço, pois o fluido &quot;entra&quot;por P . (Veja a próxima aplicação).
9.7 Aplicação
Seja \u2126 \u2282 R3 região de tipo IV , como nas hipóteses do teorema de Gauss.
Consideremos x = (x, y, z) \u2208 \u2126, H = H(t,x) e \u3c1 = \u3c1(t,x) tais que para cada t, H seja um
campo de vetores de classe C1 em \u2126 e \u3c1 uma função com valores reais de classe C1 em \u2126.
Dizemos queH e \u3c1 possuem uma lei de conservação da massa quando:
(1)
d
dt
\u222b\u222b\u222b
\u2126
\u3c1 dx dy dz = \u2212
\u222b\u222b
\u2202\u2126
J,
para toda região \u2126 \u2282 R3 de tipo IV , onde J = \u3c1H . Se \u3c1 é uma densidade de massa ou carga e
H o campo de velocidade de um fluido, a definição expressa que a variação da massa total em
\u2126 é igual a razão com que a massa flui para o interior de \u2126. Note que:
d
dt
\u222b\u222b\u222b
\u2126
\u3c1 dx dy dz =
\u222b\u222b\u222b
\u2126
\u2202\u3c1
\u2202t
dx dy dz.
206 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS
Se denotamos por div(J) a divergência de J calculada para cada t fixo, pelo teorema de Gauss:
\u222b\u222b
\u2202\u2126
J =
\u222b\u222b\u222b
\u2126
div(J);
logo, (1) é equivalente a: \u222b\u222b\u222b
\u2126
[
div(J) +
\u2202\u3c1
\u2202t
]
dx dy dz = 0
para toda região \u2126 \u2282 R3; então, (1) é equivalente a:
(2) div(J) +
\u2202\u3c1
\u2202t
= 0.
A equação (2) é chamada de continuidade. No caso em que a densidade seja constante; de (2)
temos que div(J) = 0.
Seja T = T (t,x) uma função de classeC2 que representa a temperatura de um corpo no instante
t; então F = \u2212\u2207T é o fluxo do calor. A densidade de energia, isto é, a energia por unidade de
volume é c \u3c10 T , onde c é uma constante chamada calor específico e \u3c10 a densidade de massa,
que consideraremos constante. Definamos o campo de vetores:
J = \u3c4 F,
onde \u3c4 é a constante de conductividade. O campo J é chamado fluxo de energia.
Afirmação: A energia se conserva, isto é, satisfaz (1) ou, equivalentemente (2).
De fato:
div(J) = div(\u2212\u3c4 \u2207T ) = \u2212\u3c4 \u2206(T );
por outro lado:
\u2202\u3c1
\u2202t
=
\u2202
\u2202t
(
c \u3c10 T
)
= c \u3c10
\u2202T
\u2202t
.
Logo (2) é equivalente a:
(3)
\u2202T
\u2202t
= \u3c32\u2206(T ).
Onde \u3c32 = \u3c4c \u3c10 é a constante de difusividade térmica.
A equação (3) é chamada equação do calor, a qual determina completamente a evolução da
condução do calor num sólido.
Se T é estacionária, isto é, não depende de t, então, temos a equação de Laplace:
\u2206(T ) = 0.
9.8. INTERPRETAÇÃODA DIVERGÊNCIA 207
9.8 Interpretação da Divergência
Da equção (2), temos:
\u2202\u3c1
\u2202t
= \u2212div(J);
logo, a divergência é a taxa de variação da densidade do fluido num ponto.
Se div(J) > 0 num ponto, sua densidade diminui, ou seja, o fluido está se expandindo.
Se div(J) < 0 num ponto, sua densidade aumenta, ou seja, o fluido está se contraindo.
Se div(J) = 0 em todos os pontos, a densidade é constante, ou seja, o fluido permanece em
equilíbrio.
9.9 Exercícios
Teorema de Stokes
1. Determine o campo de vetores F (x, y, z) tal que rot(F )(x, y, z) = (2, 1, 3). Determine a
circulação de F ao longo do círculo de raio 1 no plano xy, centrado na origem, no sentido
que preferir:
(a) Diretamente.
(b) Utilizando o teorema de Stokes.
2. Considere o cilindro C = {(x, y, z), x2 + y2 = 2, 0 < z < 2}. Utilizando o teorema
de Stokes calcule o fluxo do campo de vetores F (x, y, z) = (x, y,\u22122 z) através de C no
sentido da normal exterior.
3. Calcule a circulação do campo de vetores F (x, y, z) = (2 y z, 0, x y) ao longo de \u2202W onde
W = {(x, y, z) /x2 + y2 \u2212 2 z2 = 0, 0 \u2264 z < 1}, no sentido que preferir.
4. Utilize o teorema de Stokes para calcular:\u222e
C
(z + y + ex
2
) dx+ (x\u2212 z + ln(1 + y2)) dy + sen(2 z) dz,
onde C é parametrizada por \u3b3(t) = (cos(t), sen(t), sen(2 t)), t \u2208 [0, 2\u3c0].
5. Calcule o fluxo do rotacional do campo F (x, y, z) = (x2, y2, z2) através do parabolóide
z = x2 + y2 limitado por z = 1 e z = 2, com normal exterior.
6. Calcule:
(a)
\u222e
C
x dx+ (x+ y) dy + (x+ y + z) dz, onde C é a curva de equações paramétricas:
x = a sen(t), y = a cos(t), z = a
(
sen(t) + cos(t)
)
, 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0.
208 CAPÍTULO 9. TEOREMAS DE STOKES E GAUSS
(b)
\u222e
C
y2 dx+ z2 dy + x2 dz, onde C é o contorno do triângulo de vértices (a, 0, 0),
(0, a, 0) e (0, 0, a).
(c)
\u222e
C
(y \u2212 z) dx+ (z \u2212 x) dy + (x\u2212 y) dz, onde C é a curva de interseção do cilindro
circular x2 + y2 = 1 com o plano x+ z = 1.
(d)
\u222b\u222b
S
rot(F ) dS, onde S é a porção do parabolóide z = 4 \u2212 x2 \u2212 y2 intersectada pelo
plano xy.
7. Sejam P , Q e R funções de classe C1 definidas num aberto de R3. Em que caso:
\u222e
C
P (x, y, z) dx +Q(x, y, z) dy +R(x, y, z) dz = 0,
para toda curva fechada C?
8. Considere a superfície S = {(x, y, z) \u2208 R3 / z =
\u221a
x2 + y2; 1 \u2264 z \u2264 3}. Calcule:
\u222b\u222b
S
rot(F ) dS,
onde F (x, y, z) = (y z,\u2212x z, z3).
9. SejaW o sólido limitado pelos parabolóides z = x2+2 y2 e z = 12\u22122x2\u2212y2, seF (x, y, z) =
(x, y, z). Calcule o fluxo para fora do campo F através da fronteira deW .
Teorema de Gauss
1. SejaW o sólido limitado por x2 + y2 = 4, z = 0 e z = 3. Calcule o fluxo de F através da
superfície S = \u2202W , com campo de vetores normais exterior a S, se:
(a) F (x, y, z) = (x, y, z)
(b) F (x, y, z) = (\u2212y, x, 0)
(c) F (x, y, z) = (x2, 0, z)
(d) F (x, y, z) = (y2, x, z x)
2. Suponha que \u2202W = S nas hipóteses do teorema de Gauss e que f é uma função de classe
C2, harmônica sobreW . Verifique que:
\u222b\u222b
S
(
f grad(f)) dS =
\u222b\u222b\u222b
W
\u2016grad(f)\u20162 dx dy dz.
9.9. EXERCÍCIOS 209
3. ] Calcule o fluxo do campo de vetores:
F (x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
(
x, y, z
)
através da superfície do sólidoW limitado pelas esferas x2+y2+z2 = 9 e x2+y2+z2 = 16,
orientadas com sentidos opostos.
4. Calcule o fluxo do campo de vetores F (x, y, z) = (2x,\u22121, z) através da superfície do
tetraedro determinado pelo plano 2x+ y + 3 z = 6 e pelos planos coordenados.
5. Calcule: \u222b\u222b
S
F dS,
ondeF (x, y, z) = (x2, y2, z2) e S é o bordo do cuboQ definido por [\u22121, 1]×[\u22121, 1]×[\u22121, 1].
6. Calcule o fluxo de F (x, y, z) = (2x y + z, y2,\u2212x \u2212 3 z) através da superfície do sólidoW
limitado pelos planos coordenados e por 2 + 2 y + z = 3.