calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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P1P2 é:
~v = P2 \u2212 P1 = (x2 \u2212 x1, y2 \u2212 y1, z2 \u2212 z1)
O vetor ~v =
\u2212\u2212\u2192
OP é o vetor posição do ponto P .
Exemplo 1.1.
[1] Se P1 = (3, 2, 1) e P2 = (\u22122, 1,\u22125), determine \u2212\u2212\u2212\u2192P1P2.
Da definição: \u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2 = (\u22122, 1,\u22125) \u2212 (3, 2, 1) = (\u22125,\u22121,\u22126).
[2] Se P1 = (
\u221a
2, 1, \u3c0) e P2 = (2, 1, 2\u3c0), determine
\u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2.
Da definição: \u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2 = (2, 1, 2\u3c0) \u2212 (
\u221a
2, 1, \u3c0) = (2\u2212
\u221a
2, 0, \u3c0).
12 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
1.4 Produto Escalar
Definição 1.2. Sejam ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) vetores em R3. O produto escalar de ~u e ~v,
denotado por ~u · ~v (ou < ~u, ~v >) é definido por:
~u · ~v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Analogamente se define o produto escalar de vetores em R2.
Proposição 1.2. Sejam ~v, ~u, ~w \u2208 R3 e \u3b2 \u2208 R, então:
1. ~v · ~v \u2265 0
2. ~v · ~v = 0 se e somente se, ~v = ~0.
3. ~v · ~u = ~u · ~v.
4. ~v ·~0 = 0.
5. (\u3b2 ~u) · ~v = ~u · (\u3b2 ~v) = \u3b2 (~u · ~v).
6. ~w · (~u+ ~v) = (~w · ~u) + (~w · ~v).
As propriedades podem ser provadas diretamente da definição.
Definição 1.3. O vetor ~v é ortogonal a ~w se e somente se
~v · ~w = 0
O vetor ~0 é o único vetor ortogonal a todos os vetores de R3. Se ~w \u2208 R2 e ~w = (x, y), então os
vetores (\u2212y, x) e (y,\u2212x) são ortogonais a ~w.
1.5 Norma Euclidiana de um Vetor
Definição 1.4. Seja ~v = (v1, v2, v3) \u2208 R3. A norma euclidiana de ~v é denotada por \u2016~v\u2016 e definida por:
\u2016~v\u2016 =
\u221a
~v · ~v =
\u221a
v21 + v
2
2 + v
2
3
O vetor ~v é dito unitário se \u2016~v\u2016 = 1.
Proposição 1.3.
1. Se ~w 6= ~0 não é unitário, então o vetor definido por ~v = ~w\u2016~w\u2016 , é unitário e tem a mesma direção
de ~w.
2. Se \u3b8 é o ângulo formado pelos vetores ~v e ~u, então:
~v · ~u = \u2016~v\u2016 \u2016~u\u2016 cos(\u3b8).
1.5. NORMA EUCLIDIANADE UM VETOR 13
A propriedade 1, pode ser provada diretamente da definição. A segunda, aplicamos a lei dos
co-senos ao triângulo da figura, temos: \u2016~u\u2212 ~v\u20162 = \u2016~u\u20162 + \u2016~v\u20162 \u2212 2 \u2016~u\u2016 \u2016~v\u2016 cos(\u3b8).
v
u-v
O
u
\u3b8
Figura 1.3:
\u2016~u\u20162 = ~u · ~u; temos: (~u\u2212 ~v) · (~u\u2212 ~v) = ~u · ~u+ ~v · ~v \u2212 2 \u2016~u\u2016 \u2016~v\u2016 cos(\u3b8); logo,
~u · ~u\u2212 ~u · ~v \u2212 ~v · ~u+ ~v · ~v = ~u · ~u+ ~v · ~v\u2212 2 \u2016~u\u2016 \u2016~v\u2016 cos(\u3b8);
então, ~u · ~v = \u2016~u\u2016 \u2016~v\u2016 cos(\u3b8).
Três vetores de R3 tem um destaque especial, a saber:
~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).
0
k
j
i
Figura 1.4: Os vetores~i,~j e ~k.
Os vetores ~i, ~j e ~k são unitários e mutuamente ortogonais. O conjunto {~i, ~j, ~k} é dito a base
canônica do R3. Para todo ~v = (v1, v2, v3) \u2208 R3 temos:
~v = v1~i+ v2~j+ v3 ~k
1.5.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores
Os ângulos diretores de um vetor não nulo ~v = (v1, v2, v3) são os ângulos \u3b1, \u3b2 e \u3b3, no intervalo
[0, \u3c0] que ~v forma com os eixos coordenados.
14 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
\u3b3
\u3b1
\u3b2
y
z
x
Figura 1.5:
Os co-senos desses ângulos diretores, cos(\u3b1), cos(\u3b2) e cos(\u3b3) são chamados co-senos diretores
do vetor ~v. Pelas propriedades do produto escalar, temos:
cos(\u3b1) =
~v ·~i
\u2016~v\u2016 \u2016~i\u2016
=
v1
\u2016~v\u2016 =
v1\u221a
v21 + v
2
2 + v
2
3
, cos(\u3b2) =
~v ·~j
\u2016~v\u2016 \u2016~j\u2016
=
v2
\u2016~v\u2016 =
v2\u221a
v21 + v
2
2 + v
2
3
e
cos(\u3b3) =
~v · ~k
\u2016~v\u2016 \u2016~k\u2016
=
v3
\u2016~v\u2016 =
v3\u221a
v21 + v
2
2 + v
2
3
.
O vetor ~v fica univocamente determinado conhecendo seu comprimento e seus ângulos dire-
tores. De fato:
v1 = \u2016~v\u2016 cos(\u3b1), v2 = \u2016~v\u2016 cos(\u3b2) e v3 = \u2016~v\u2016 cos(\u3b3).
Note que cos2(\u3b1) + cos2(\u3b2) + cos2(\u3b3) = 1.
Exemplo 1.2.
[1] Sejam ~v = (1, 2, 3) e ~w = (\u22122, 1, 3). Determine ~v · ~w e os vetores unitários nas direções de ~v
e ~w, respectivamente.
Primeiramente calculamos ~v · ~w = \u22122 + 2 + 9 = 9. Agora devemos determinar ~v\u2016~v\u2016 e ~w\u2016~w\u2016 :
\u2016~v\u2016 = \u221a1 + 4 + 9 = \u221a14 e \u2016~w\u2016 = \u221a4 + 1 + 9 = \u221a14; logo,
( 1\u221a
14
,
2\u221a
14
,
3\u221a
14
)
e
(\u2212 2\u221a
14
,
1\u221a
14
,
3\u221a
14
)
,
são os vetores unitários nas direções de ~v e ~w, respectivamente.
[2] Sejam ~v = (x,\u22122, 3) e ~u = (x, x,\u22125). Determine o valor de x para que ~v e ~u sejam ortogo-
nais.
Da definição ~v e ~u são ortogonais se ~v · ~u = 0; então, ~v · ~u = x2\u2212 2x\u2212 15 = 0, equação que tem
soluções x = 5 e x = \u22123; logo: ~v = (5,\u22122, 3) e ~u = (5, 5,\u22125) são ortogonais e ~v = (\u22123,\u22122, 3) e
~u = (\u22123,\u22123,\u22125) são ortogonais.
1.6. PRODUTO VETORIAL 15
[3] Sejam P1 = (3,\u22122,\u22121), P2 = (1, 4, 1), P3 = (0, 0, 1) e P4 = (\u22121, 1,\u22121). Determine o ângulo
formado pelos vetores
\u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2 e
\u2212\u2212\u2212\u2192
P3P4.
Sejam ~v =
\u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2 = (1\u2212 3, 4+2, 1+1) = (\u22122, 6, 2) e ~w = \u2212\u2212\u2212\u2192P3P4 = (\u22121, 1,\u22122). O ângulo formado
por ~v e ~w é:
cos(\u3b8) =
~v · ~w
\u2016~v\u2016 \u2016~w\u2016 =
\u221a
2
33
.
[4] Calcule os co-senos diretores de ~u = (\u22122, 1, 2).
Como \u2016~u\u2016 = 3, cos(\u3b1) = \u22122
3
, cos(\u3b2) =
1
3
e cos(\u3b3) =
2
3
.
1.5.2 Trabalho
Suponha que uma força constante ~F move uma partícula de um ponto P até um ponto Q. O
trabalho realizado pela partícula é dado por:
W = ~F · \u2212\u2212\u2192PQ
Se a unidade de comprimento é dada em metros e a força é dada em Newtons, o trabalho é
dado em Joules (J).
Exemplo 1.3.
Uma força dada por ~F = (1, 2, 3) move uma partícula do ponto (1, 1, 1) ao ponto (4, 2, 3); logo:
W = (1, 2, 3) · (3, 1, 2) = 3 + 2 + 6 = 11J .
1.6 Produto Vetorial
Definição 1.5. Dados ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) vetores em R3, o produto vetorial de ~v e ~w,
denotado por ~v × ~w é definido por:
~v × ~w =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223v2 v3w2 w3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223~i\u2212
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223v1 v3w1 w3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223~j+
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223v1 v2w1 w2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223~k
Logo, da definição segue:
~v × ~w = (v2 w3 \u2212 v3 w2)~i+ (v3 w1 \u2212 v1 w3)~j+ (v1 w2 \u2212 v2 w1)~k.
Proposição 1.4. Sejam ~v, ~w e ~u vetores do R3 e \u3b2 \u2208 R. Então:
1. ~v× ~v = ~0.
2. ~0× ~v = ~v ×~0 = ~0.
3. ~v× ~w = \u2212~w× ~v.
4. ~v × (~w + ~u) = ~v × ~w + ~v × ~u.
5. \u3b2 ~v× ~w = ~v× \u3b2 ~w = \u3b2 (~v × ~w).
6. \u2016~v × ~w\u2016 = \u2016~v\u2016 \u2016~w\u2016 sen(\u3b8), onde \u3b8 é o ângulo formado por ~v e ~w.
16 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
7. Os vetores ~v e ~w são paralelos se e somente se ~v × ~w = ~0.
8. O vetor ~v × ~w é ortogonal aos vetores ~v e ~w.
9. A área do paralelogramo determinado por ~v e ~w é \u2016~v × ~w\u2016.
v
w
\u3b8
Figura 1.6:
10. Identidade de Lagrange: \u2016~v × ~w\u20162 = \u2016~v\u20162 \u2016~w\u20162 \u2212 (~v · ~w)2.
11. ~u · (~v × ~w) =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223.
12. O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ~u, ~v e ~w é dado por
V = |~u · (~v × ~w)|.
Prova: As provas seguem diretamente das definições. Por exemplo:
7. Se ~v × ~w = ~0 o ângulo formado pelos vetores é zero ou \u3c0; logo, os vetores são paralelos.
9. A base do paralelogramo é \u2016~v\u2016 e sua altura é \u2016~w\u2016 sen(\u3b8), onde \u3b8 é o ângulo entre ~v e ~w.
10. \u2016~v × ~w\u20162 = \u2016~v\u20162 \u2016~w\u20162 sen2(\u3b8) = \u2016~v\u20162 \u2016~w\u20162 (1\u2212 cos2(\u3b8)) = |~v\u20162 \u2016~w\u20162 \u2212 (~v · ~w)2.
12. A área da base é A = \u2016~v × ~w\u2016; seja \u3b8 o ângulo formado por ~u e ~v × ~w; logo, a altura do
paralelepípedo é h = \u2016~u\u2016 |cos(\u3b8)|; então, V = |~u · (~v × ~w)|.
Exemplo 1.4.
[1] Sejam ~v = (\u22123,\u22122, 2) e ~w = (\u22121, 1, 2). Calcule ~v × ~w, (~w × ~v)× ~v e (~w × ~v)× ~u.
Da definição e das propriedades temos: ~v × ~w = (\u22126, 4,\u22125) e (~w × ~v) × ~v = (2,\u221227,\u221224) e
(~w × ~v)× ~w = (\u221213,\u221218, 2).
[2] Calcule~i×~j,~i× ~k,~j× ~k e (~i×~j)× (~j× ~k).
Da definição temos: ~i × ~j = (0, 0, 1) = ~k, ~i × ~k = (0,\u22121, 0) = \u2212~j, ~j × ~k = (1, 0, 0) = ~i e
(~i×~j)× (~j× ~k) = ~k×~i =~j.
[3] Calcule a área do triângulo determinado por P = (2, 2, 0), Q = (\u22121, 0, 2) e R = (0, 4, 3).
A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado por ~u =
\u2212\u2212\u2192
PQ e ~v =
\u2212\u2192
PR;
logo:
A =
\u2016~u× ~v\u2016
2
=
\u2016(\u221210, 5,\u221210)\u2016
2
=
15
2
.
1.6. PRODUTO VETORIAL 17
[4] Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ~u = (2,\u22123, 4), ~v = (1, 2,\u22121)
e ~w = (3,\u22121, 2).
Como ~v × ~w = (3,\u22125,\u22127), temos V = |~u · (~v × ~w)| = | \u2212 7| = 7.
[5] Determine o valor de k tal que ~u = (2,\u22121, 1), ~v = (1, 2,\u22123) e ~w = (3, k, 5) sejam coplanares.
Se ~u, ~v e ~w são coplanares, então, ~u · (~v × ~w) = ~0; caso contrário, determinariam um paralele-
pípedo e, portanto, os vetores não poderiam ser coplanares.
~v × ~w = (10 + 3 k,\u221214, k \u2212 6);
logo, ~u · (~v × ~w) = 7 k + 28; resolvendo 7 k + 28 = 0, temos k = \u22124.
1.6.1 Torque
Se uma força ~F age num ponto de um corpo rígido, de vetor posição ~r, então essa força tende
a girar o corpo em torno de um eixo que passa pela origem do vetor posição e é perpendicular
ao plano de ~r e ~F . O vetor torque (relativo à origem) é dado por ~\u3c4 =