calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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{(r, \u3b8, z)/r > 0, \u3b80 < \u3b8 < \u3b80 + 2\u3c0, z \u2208 (\u2212\u221e,+\u221e)}
Utilizando as coordenandas cilíndricas {r, \u3b8, z} obtemos que o vetor posição em R3 é dado
por:
R(r, \u3b8, z) = r cos(\u3b8)~i+ r sen(\u3b8)~j+ z ~k,
logo:
\u2202R
\u2202r
= cos(\u3b8)~i+ sen(\u3b8)~j
\u2202R
\u2202\u3b8
= \u2212r sen(\u3b8)~i+ r cos(\u3b8)~j
\u2202R
\u2202z
= ~k.
Por outro lado temos que hr = hz = 1 e h\u3b8 = r; logo, obtemos uma nova base ortonormal
{~er, ~e\u3b8, ~ez} definida por: \uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
~er = cos(\u3b8)~i+ sen(\u3b8)~j
~e\u3b8 = \u2212sen(\u3b8)~i+ cos(\u3b8)~j
~ez = ~k.
Equivalentemente: \uf8ee
\uf8f0 ~er~e\u3b8
~ez
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 cos(\u3b8) sen(\u3b8) 0\u2212sen(\u3b8) cos(\u3b8) 0
0 0 1
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
~i
~j
~k
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb.
A transformação inversa é: \uf8ee
\uf8ef\uf8f0
~i
~j
~k
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0cos(\u3b8) \u2212sen(\u3b8) 0sen(\u3b8) cos(\u3b8) 0
0 0 1
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 ~er~e\u3b8
~ez
\uf8f9
\uf8fb.
Exemplo 10.5.
[1] Escreva em coordenadas cilíndricas o vetor posição.
O vetor posição em coordenadas retangulares é F (x, y, z) = x~i+y~j+z ~k; utilizando a mudança
coordenadas cilíndricas, temos:
F (r, \u3b8, z) = r cos(\u3b8)
[
cos(\u3b8) ~ar \u2212 sen(\u3b8) ~a\u3b8
]
+ r sen(\u3b8)
[
sen(\u3b8) ~ar + cos(\u3b8) ~a\u3b8
]
+ z ~k = r ~ar + z ~k.
[2] Seja o campo de vetores F (r, \u3b8, z) =
1
r
~ar. Escreva F em coordenadas retangulares.
Da mudança de coordenadas cilíndricas, temos:
224 CAPÍTULO 10. COMPLEMENTOS DE CAMPOS DE VETORES
cos(\u3b8) =
x
r
, sen(\u3b8) =
y
r
, r2 = x2 + y2 e ~ar = cos(\u3b8)~i+ sen(\u3b8)~j, então:
F (x, y, z) =
1
r
~ar =
x
x2 + y2
~i+
y
x2 + y2
~j.
[3] Seja F (x, y, z) = y~i+ x~j+
x2\u221a
x2 + y2
~k. Escreva F em coordenadas cilíndricas
Utilizando a mudança de coordenadas cilíndricas, temos:
F (r, \u3b8, z) = r sen(\u3b8)
[
cos(\u3b8) ~ar \u2212 sen(\u3b8) ~a\u3b8
]
+ r cos(\u3b8)
[
sen(\u3b8) ~ar + cos(\u3b8) ~a\u3b8
]
+ r cos2(\u3b8)~k
= 2 rsen(\u3b8) cos(\u3b8) ~ar + r (cos
2(\u3b8)\u2212 sen2(\u3b8)) ~a\u3b8 + r cos2(\u3b8)~k.
10.4.1 Operadores
Considere a base {~er, ~e\u3b8, ~ez} de R3, então:
\u2207 = \u2202
\u2202r
~er +
1
r
\u2202
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
\u2202
\u2202z
~ez.
O Gradiente
O gradiente de f em coordenadas cilíndricas {r, \u3b8, z} é dado por:
\u2207 f(r, \u3b8, z) = \u2202f
\u2202r
~er +
1
r
\u2202f
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
\u2202f
\u2202z
~ez,
onde as derivadas são calculadas em (r, \u3b8, z).
A Divergência
A divergência de F em coordenadas cilíndricas {r, \u3b8, z} é dada por:
\u2207 · F (r, \u3b8, z) = 1
r
\u2202
\u2202r
[
r Fr
]
+
1
r
\u2202F\u3b8
\u2202\u3b8
+
\u2202Fz
\u2202z
,
onde F (r, \u3b8, z) = (Fr, F\u3b8, Fz) e as derivadas são calculadas em (r, \u3b8, z).
O Laplaciano
O Laplaciano de f em coordenadas cilíndricas {r, \u3b8, z} é dado por:
\u2206f(r, \u3b8, z) =
\u22022f
\u2202r2
+
1
r
\u2202f
\u2202r
+
1
r2
\u22022f
\u2202\u3b82
+
\u22022f
\u2202z2
,
onde as derivadas são calculadas em (r, \u3b8, z).
10.5. OPERADOR NABLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS 225
O Rotacional
O rotacional de F em coordenadas cilíndricas {r, \u3b8, z} é dada por:
\u2207× F = 1
r
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~er r ~e\u3b8 ~k
\u2202
\u2202r
\u2202
\u2202\u3b8
\u2202
\u2202z
Fr F\u3b8 Fz
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
=
[
1
r
\u2202Fz
\u2202\u3b8
\u2212 \u2202F\u3b8
\u2202z
]
~er +
[
\u2202Fr
\u2202z
\u2212 \u2202Fz
\u2202r
]
~e\u3b8 +
1
r
[
\u2202
\u2202r
[
r F\u3b8
]\u2212 \u2202Fr
\u2202\u3b8
]
~ez,
onde F (r, \u3b8, z) = (Fr, F\u3b8, Fz) e as derivadas são calculadas em (r, \u3b8, z).
Exemplo 10.6.
[1] Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Determine o gradiente e o laplaciano de f em coordenadas
cilíndricas:
Passando a coordenadas cilíndricas: f(r, \u3b8, z) = r2 + z2, então:
\u2207 f(r, \u3b8, z) = \u2202f
\u2202r
~er +
1
r
\u2202f
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
\u2202f
\u2202z
~ez = 2 r ~er + 2 z ~ez
\u2206f(r, \u3b8, z) =
\u22022f
\u2202r2
+
1
r
\u2202f
\u2202r
+
1
r2
\u22022f
\u2202\u3b82
+
\u22022f
\u2202z2
= 6.
[2] Considere o campo de vetores F (r, \u3b8, z) = ~er +
1
r2
~e\u3b8 + z
2 ~ez. Determine a divergência e o
rotacional de F .
Como Fr = 1, F\u3b8 =
1
r2
e Fz = z2, temos:
\u2207 · F (r, \u3b8, z) = 1
r
\u2202
\u2202r
[
r Fr
]
+
1
r
\u2202F\u3b8
\u2202\u3b8
+
\u2202Fz
\u2202z
=
1
r
+ 2 z
\u2207× F = 1
r
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~er r ~e\u3b8 ~k
\u2202
\u2202r
\u2202
\u2202\u3b8
\u2202
\u2202z
1 r\u22122 z2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
= \u2212 2
r3
~k.
10.5 Operador Nabla em Coordenadas Esféricas
Considere a mudança de coordenadas esféricas. Seja P = (x, y, z) um ponto no espaço xyz.
Suas coordenadas esféricas são (\u3c1, \u3b8, \u3c6) onde \u3c1 é a distância do ponto P à origem, \u3b8 é o ângulo
226 CAPÍTULO 10. COMPLEMENTOS DE CAMPOS DE VETORES
formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga (0, 0, 0) a (x, y, 0) e \u3c6 é o ângulo
formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P à origem:
\uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
x = \u3c1 sen(\u3c6) cos(\u3b8)
y = \u3c1 sen(\u3c6) sen(\u3b8)
z = \u3c1 cos(\u3c6),
onde \u3c1 =
\u221a
x2 + y2 + z2 > 0, 0 \u2264 \u3b8 < 2\u3c0 e 0 \u2264 \u3c6 \u2264 \u3c0, o que define uma região no espaço \u3c1\u3b8\u3c6.
Utilizando as coordenadas esféricas {\u3c1, \u3b8, \u3c6} obtemos que o vetor posição em R3 é dado por:
R(\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u3c1 cos(\u3b8) sen(\u3c6)~i+ \u3c1 sen(\u3b8) sen(\u3c6)~j+ \u3c1 cos(\u3c6)~k,
logo:
\u2202R
\u2202\u3c1
= cos(\u3b8) sen(\u3c6)~i+ sen(\u3b8) sen(\u3c6)~j+ cos(\u3c6)~k
\u2202R
\u2202\u3b8
= \u2212\u3c1 sen(\u3b8) sen(\u3c6)~i+ \u3c1 cos(\u3b8) sen(\u3c6)~j
\u2202R
\u2202\u3c6
= \u3c1 cos(\u3b8) cos(\u3c6)~i+ \u3c1 sen(\u3b8) cos(\u3c6)~j\u2212 \u3c1 sen(\u3c6)~k
Por outro lado, h\u3c1 = 1, h\u3b8 = \u3c1 sen(\u3c6) e h\u3c6 = \u3c1; logo, obtemos uma nova base ortogonal
{~e\u3c1, ~e\u3b8, ~e\u3c6} definida por:\uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
~e\u3c1 = cos(\u3b8) sen(\u3c6)~i+ sen(\u3b8) sen(\u3c6)~j+ cos(\u3c6)~k
~e\u3b8 = \u2212sen(\u3b8)~i+ cos(\u3b8)~j
~e\u3c6 = cos(\u3b8) cos(\u3c6)~i + sen(\u3b8) cos(\u3c6)~j\u2212 sen(\u3c6)~k.
Equivalentemente:
\uf8ee
\uf8f0 ~e\u3c1~e\u3b8
~e\u3c6
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0cos(\u3b8) sen(\u3c6) sen(\u3b8) sen(\u3c6) cos(\u3c6)\u2212sen(\u3b8) cos(\u3b8) 0
cos(\u3b8) cos(\u3c6) sen(\u3b8) cos(\u3c6) \u2212sen(\u3c6)
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
~i
~j
~k
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb.
A transformação inversa é:\uf8ee
\uf8ef\uf8f0
~i
~j
~k
\uf8f9
\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0cos(\u3b8) sen(\u3c6) \u2212sen(\u3b8) cos(\u3b8) cos(\u3c6)sen(\u3b8) sen(\u3c6) cos(\u3b8) sen(\u3b8) cos(\u3c6)
cos(\u3c6) 0 \u2212sen(\u3c6)
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 ~e\u3c1~e\u3b8
~e\u3c6
\uf8f9
\uf8fb.
Exemplo 10.7.
[1] Escreva em coordenas esféricas o vetor posição.
O vetor posição em coordenadas retangulares é F (x, y, z) = x~i+y~j+z ~k; utilizando a mudança
de coordenadas esféricas , temos:
F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u3c1 ~b\u3c1.
10.5. OPERADOR NABLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS 227
[2] Seja o campo de vetores F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
1
\u3c1 sen(\u3c6)
~b\u3b8. Escreva F em coordenadas retangulares.
Da mudança de coordenadas esféricas, temos:
cos(\u3b8) =
x
\u3c1 sen(\u3c6)
, sen(\u3b8) =
y
\u3c1 sen(\u3c6)
, x2 + y2 = \u3c12 sen2(\u3c6) e ~b\u3b8 = \u2212sen(\u3b8)~i+ cos(\u3b8)~j; então:
F (x, y, z) =
1
\u3c1 sen(\u3c6)
~b\u3b8 = \u2212 y
x2 + y2
~i+
x
x2 + y2
~j.
10.5.1 Operadores
Considere a base {~e\u3c1, ~e\u3b8, ~e\u3c6} de R3, então:
\u2207 = \u2202
\u2202\u3c1
~e\u3c1 +
1
\u3c1 sen(\u3c6)
\u2202
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
1
\u3c1
\u2202
\u2202\u3c6
~e\u3c6.
O Gradiente
O gradiente de f em coordenadas esféricas {\u3c1, \u3b8, \u3c6} é dado por:
\u2207 f(\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u2202f
\u2202\u3c1
~e\u3c1 +
1
\u3c1 sen(\u3c6)
\u2202f
\u2202\u3b8
~e\u3b8 +
1
\u3c1
\u2202f
\u2202\u3c6
~e\u3c6,
onde as derivadas são calculadas em (\u3c1, \u3b8, \u3c6)
A Divergência
A divergência de F em coordenadas esféricas {\u3c1, \u3b8, \u3c6} é dado por:
\u2207 · F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = 1
\u3c12
\u2202
\u2202\u3c1
[
\u3c12 F\u3c1
]
+
1
\u3c1 sen(\u3b8)
\u2202F\u3b8
\u2202\u3b8
+
1
\u3c1 sen(\u3b8)
\u2202
\u2202\u3c6
[
sen(\u3c6)F\u3c6
]
,
onde F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = (Fr, F\u3b8, F\u3c6) e as derivadas são calculadas em (\u3c1, \u3b8, \u3c6)
O Laplaciano
O Laplaciano de f em coordenadas esféricas {\u3c1, \u3b8, \u3c6} é dado por:
\u2206f(\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
\u22022f
\u2202\u3c12
+
2
\u3c1
\u2202f
\u2202\u3c1
+
1
\u3c12
\u22022f
\u2202\u3c62
+
cotg(\u3b8)
\u3c12
\u2202f
\u2202\u3c6
+
1
\u3c12 sen2(\u3c6)
\u22022f
\u2202\u3b82
,
onde as derivadas são calculadas em (\u3c1, \u3b8, \u3c6)
228 CAPÍTULO 10. COMPLEMENTOS DE CAMPOS DE VETORES
O Rotacional
O rotacional de F em coordenadas esféricas {\u3c1, \u3b8, \u3c6} é dado por:
\u2207× F = 1
\u3c12 sen(\u3c6)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~b\u3c1 \u3c1 sen(\u3c6) ~b\u3b8 \u3c1 ~b\u3c6
\u2202
\u2202\u3c1
\u2202
\u2202\u3b8
\u2202
\u2202\u3c6
F\u3c1 \u3c1 sen(\u3c6)F\u3b8 \u3c1F\u3c6
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
= A(\u3c1, \u3b8, \u3c6) ~b\u3c1 +B(\u3c1, \u3b8, \u3c6) ~b\u3b8 + C(\u3c1, \u3b8, \u3c6) ~b\u3c6,
tal que:
A(\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
1
\u3c12 sen(\u3c6)
[
\u2202
\u2202\u3b8
[
\u3c1F\u3c6
]\u2212 \u2202
\u2202\u3c6
[
\u3c1 sen(\u3c6)F\u3b8
]]
B(\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
1
\u3c1
[
\u2202F\u3c1
\u2202\u3c6
\u2212 \u2202
\u2202\u3c1
[
\u3c1F\u3c6
]]
C(\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
1
\u3c1 sen(\u3c6)
[
\u2202
\u2202\u3c1
[
\u3c1 sen(\u3c6)F\u3b8
]\u2212 \u2202F\u3c1
\u2202\u3b8
]
onde F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = (Fr, F\u3b8, F\u3c6) e as derivadas são calculadas em (\u3c1, \u3b8, \u3c6)
Exemplo 10.8.
[1] Seja f(x, y, z) =
\u221a
x2 + y2 + z2. Determine o gradiente e o laplaciano de f em coordenadas
esféricas.
Passando a coordenadas esféricas: f(\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u3c12, então:
\u2207 f(\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u2202f
\u2202\u3c1
~e\u3c1 = 2 \u3c1 ~e\u3c1
\u2206f(\u3c1, \u3b8, \u3c6) =
\u22022f
\u2202\u3c12
+
2
\u3c1
\u2202f
\u2202\u3c1
= 6.
[2] Considere o campo de vetores F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = \u3c12 ~e\u3c1 + \u3c1 cos(\u3b8) ~e\u3b8 + \u3c1 sen(\u3b8) ~e\u3c6. Determine a
divergência e o rotacional de F .
Como F\u3c1 = \u3c12, F\u3b8 = \u3c1 cos(\u3b8) e F\u3c6 = \u3c1 sen(\u3b8), então:
10.6. CAMPOS DE VETORES SOLEINOIDAIS 229
\u2207 · F (\u3c1, \u3b8, \u3c6) = 1
\u3c12
\u2202
\u2202\u3c1
[
\u3c12 F\u3c1
]
+
1
\u3c1 sen(\u3b8)
\u2202
\u2202\u3b8
[
sen(\u3b8)F\u3b8
]
+
1
\u3c1 sen(\u3b8)
\u22022F\u3c6
\u2202\u3c62
= 4 \u3c1+ cos(2 \u3b8) cosec(\u3b8)
\u2207× F = 1
\u3c12 sen(\u3c6)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~e\u3c1 \u3c1 sen(\u3c6) ~e\u3b8 \u3c1 ~e\u3c6
\u2202
\u2202\u3c1
\u2202
\u2202\u3b8
\u2202
\u2202\u3c6
\u3c1 \u3c12 sen(\u3c6) cos(\u3b8) \u3c12 sen(\u3b8)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
= 2 cos(\u3b8) ~b\u3c1 \u2212 2 sen(\u3b8) ~b\u3b8 + 2 cos(\u3b8) ~b\u3c6
10.6 Campos de Vetores Soleinoidais
10.6.1 Introdução
Lembremos que um campo de vetores de classe C1 é soleinoidal se sua divergência é nula; isto
é:
\u2207 · F = 0.
Os campos de vetores soleinoidais e/ou irrotacionais desempenham um papel fundamental
em algumas áreas aplicadas.