calculointegralediferencial31-111008165153-phpapp01
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de duas folhas.
Interseções com os eixos coordenados: (0, 0,±c).
Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x, y, z) por (\u2212x,\u2212y,\u2212z); logo, o hiperbo-
lóide de duas folhas tem simetria em relação à origem.
Traços do hiperbolóide de duas folhas:
No plano xy: nenhuma.
No plano yz é a hipérbole: \u2212y
2
b2
+
z2
c2
= 1.
No plano xz é a hipérbole: \u2212x
2
a2
+
z2
c2
= 1
Figura 1.26: Hiperbolóide de duas folhas e seus traços.
As equações:
x2
a2
\u2212 y
2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1 e \u2212 x
2
a2
+
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1,
representam também hiperbolóides de duas folhas. No primeiro caso o eixo do hiperbolóide
é o eixo dos x e no segundo caso o eixo dos y. O termo positivo na equação indica o eixo do
1.12. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 33
hiperbolóide.
Figura 1.27: Outros hiperbolóides de duas folhas.
1.12.4 Parabolóide elítico
A equação que representa o parabolóide elítico de centro na origem é:
x2
a2
+
y2
b2
\u2212 z
c
= 0
onde a, b, c \u2208 R não são nulos. Para c > 0, as parábolas tem a concavidade voltada para
cima. Para c > 0, o parabolóide &quot;abre&quot;para cima. De forma análoga, se c < 0, o parabolóide
&quot;abre&quot;para baixo.
Figura 1.28: Parabolóides elíticos.
Interseções com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
Simetrias: a equação não se altera se substituimos x e y por \u2212x e \u2212y; logo, o parabolóide tem
simetria em relação aos planos yz e xz.
Traços do parabolóide elítico:
No plano xy: o ponto (0, 0, 0).
No plano yz é a parábola:
y2
b2
\u2212 z
c
= 0.
34 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
No plano xz é a parábola:
x2
a2
\u2212 z
c
= 0.
Figura 1.29: Parabolóide elítico e seus traços.
1.12.5 Parabolóide hiperbólico
A equação que representa o parabolóide hiperbólico de centro na origem é:
x2
a2
\u2212 y
2
b2
\u2212 z
c
= 0
onde a, b, c \u2208 R não são nulos. Para c < 0, as parábolas (traços no plano yz e xz) tem a
concavidade voltada para baixo.
Figura 1.30: Parabolóide hiperbólico.
Interseções com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
Simetrias: a equação não se altera se substituimos x e y por \u2212x e \u2212y; logo, o parabolóide
hiperbólico tem simetria em relação aos planos yz e xz.
Traços do parabolóide hiperbólico:
1.12. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 35
No plano xy: é um par de retas que se intersectam na origem.
No plano yz é a parábola:
y2
b2
+
z
c
= 0.
No plano xz é a parábola:
x2
a2
\u2212 z
c
= 0.
Figura 1.31: Parabolóide hiperbólico e seus traços.
1.12.6 Cone elítico
A equação que representa o cone elítico de centro na origem é:
x2
a2
+
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 0
onde a, b, c \u2208 R não são nulos.
Figura 1.32: Cone elítico.
Interseções com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
36 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x, y, z) por (\u2212x,\u2212y,\u2212z); logo, o cone elítico
tem simetria em relação à origem.
Traços do cone elítico:
No plano xy é a origem.
No plano yz:
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 0, duas retas que se intersectam na origem.
No plano xz:
x2
a2
\u2212 z
2
c2
= 0, duas retas que se intersectam na origem.
Figura 1.33: Cone elítico e seus traços.
O traço em um plano z = k paralelo ao plano xy tem a equação:
x2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
,
que representa uma elipse.
1.12.7 Cilindros
Se C é uma curva plana e L é uma reta não situada no mesmo plano da curva, então o conjunto
de todas as retas paralelas aL e que intersectamC é chamado cilindro. A curva C é dita diretriz
do cilindro e cada reta que passa por C paralela a L é chamada geratriz do cilindro. De acordo
com a observação, o cilindro de geratrizes paralelas ao eixo dos z e tendo como diretriz uma
elipse no plano xy centrada na origem, tem equação:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
e é chamado cilindro elítico. ( a, b não são nulos).
1.12. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 37
Figura 1.34: Cilindro elítico.
Se por exemplo a equação é:
y2
b2
\u2212 z
c
= 0
obtemos o chamado cilindro parabólico. ( b, c não são nulos). Desenho à esquerda. Se por
exemplo a equação é:
y3
b2
\u2212 z
c
= 0
obtemos o chamado cilindro cúbico. ( a, c não são nulos). Desenho à direita.
Figura 1.35: Cilindro parabólico e cúbico, respectivamente.
Em geral, se na equação que descreve uma quádrica falta uma variável, ela representa um
cilindro, com geratrizes paralelas à variável que falta.
Exemplo 1.14.
[1] Ache a natureza da quádrica 9x2 \u2212 18x + 9 y2 + 4 z2 + 16 z \u2212 11 = 0. Completando os
quadrados:
9x2 \u2212 18x+ 9 y2 + 4 z2 + 16 z \u2212 11 = (x\u2212 1)
2
4
+
y2
4
+
(z + 2)2
9
\u2212 1;
38 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
a equação representa um elipsóide centrado no ponto (1, 0,\u22122).
[2] Determine a equação da esfera concêntrica à esfera x2+y2+z2+4x+2y\u22126z+10 = 0 e que
passa pelo ponto (\u22124, 2, 5). Como as esferas são concêntricas, completamos os quadrados para
determinar o centro da esfera dada: x2+y2+z2+4x+2y\u22126z+10 = (x+2)2+(y+1)2+(z\u22123)2\u22124;
então, o centro é (\u22122,\u22121, 3) e a equação é (x+ 2)2 + (y + 1)2 + (z \u2212 3)2 = a2. Para determinar
a usamos o fato de que o ponto (\u22124, 2, 5) pertence à esfera; logo a2 = 17. A equação é:
(x+ 2)2 + (y + 1)2 + (z \u2212 3)2 = 17.
[3] Verifique que a interseção do parabolóide hiperbólico y
2
b2
\u2212 x2
a2
= zc com o plano z = b x+a y é
formada por duas retas. Para determinar a interseção, devemos resolver o sistema de equações
: {
y2
b2 \u2212 x
2
a2 =
z
c
b x+ a y = z.
Igualando as equações por z:
(y2
b2
\u2212 a yc
)\u2212 (x2
a2
+ b xc
)
= 0; completando os quadrados:
1
b2
[
y \u2212 ab
2
2c
]2 \u2212 1
a2
[
x+
a2b
2c
]2
=
1
b2
[[
y \u2212 a b
2
2 c
]2 \u2212 [b x
a
+
a b2
2 c
]2]
= 0;
Figura 1.36: Exemplo [3].
logo: y \u2212 a b
2
2 c
= ±[b x
a
+
a b2
2 c
]
.
[4] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) equidis-
tantes do plano x\u2212 2 = 0 e do ponto (\u22122, 0, 0). Identifique a superfície. Sejam d2 a distância do
ponto P ao plano x\u2212 2 = 0 e d0 a distância do ponto P ao ponto (\u22122, 0, 0); logo, d2 = |x\u2212 2| e
d0 =
\u221a
(x+ 2)2 + y2 + z2. Como d0 = d2, temos: x = \u2212 (y
2+z2)
8 . A superfície é um parabolóide
elítico.
1.12. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 39
Figura 1.37: Exemplo [4].
[5] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) equidis-
tantes das retas L1, que passa pela origem na direção (1, 0, 0) e, L2 que passa pelo ponto (0, 1, 0)
na direção (0, 0, 1). Identifique a superfície.
Sejam d1(P,Li) as distâncias do ponto P às retas Li (i = 1, 2); como d1(P,L1) = d1(P,L2),
temos: y = (x
2\u2212z2)
2 . A superfície é um parabolóide hiperbólico.
Figura 1.38: Exemplo [5].
[6] Mostre que se o ponto P0 = (x0, y0, z0) pertence ao parabolóide hiperbólico z = y2 \u2212 x2,
então, as retas L1 que passa pelo ponto P0 na direção (1, 1, 2 (y0\u2212x0)) e L2 que passa pelo ponto
P0 na direção (\u22121,\u22121,\u22122 (y0 \u2212 x0)) estão contidas no parabolóide hiperbólico. Consideremos
a reta L1. Temos: \uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
x(t) = x0 + t
y(t) = y0 + t
z(t) = z0 + 2 t (y0 \u2212 x0);
logo, y(t)2\u2212 x(t)2 = (y20 \u2212x20)+ 2 t (y0\u2212 x0) = z0+2 t (y0\u2212x0) = z(t). Para L2 o procedimento
é análogo.
Os objetos sólidos do R3 que utilizaremos neste texto são definidos através de inequações.
40 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
Exemplo 1.15.
[1] R = {(x, y, z) \u2208 R3/a \u2264 x \u2264 b, c \u2264 y \u2264 d, p \u2264 z \u2264 q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]. O conjunto R
representa um paralelepípedo retangular.
[2] B = {(x, y, z) \u2208 R3/x2 + y2 + z2 \u2264 r2, r > 0}. O conjunto B representa uma bola sólida de
centro na origem e raio r ou o conjunto de todos os vetores de norma menor ou igual a r.
[3] C = {(x, y, z) \u2208 R3/x2+ y2 \u2264 r2, 0 \u2264 z \u2264 h, h > 0}. O conjunto C é uma porção do cilindro
circular reto de altura h e raio r.
[4] F é o sólido obtido pela revolução de uma região do plano fechada e limitada por uma
curva:
Figura 1.39: Sólido em R3.
Note que todos estes conjuntos possuem volume.
1.13 Exercícios
1. Determine ~v =
\u2212\u2212\u2212\u2192
P1P2, se:
(a) P1 = (1, 2, 1), P2 = (\u22125, 3, 1)
(b) P1 = (\u22123, 2,\u22121), P2 = (15, 2, 6)
(c) P1 = (12, 222, 1), P2 = (5, 23, 11)
(d) P1 = (4, 24, 18), P2 = (\u221225, 23, 11)
(e) P1 = (9, 3, 1), P2 = (9,\u22123, 2)
(f) P1 = (0, 12,\u221211), P2 = (5, 2, 16)
(g) P1 = (1, 1, 1), P2 = (5, 3, 0)
(h) P1 = (14,\u221212, 11), P2 = (\u22121, 9,\u22121)
(i) P1 = (\u22126,\u22124, 1), P2 = (\u22122, 2,\u22126)
(j) P1 = (4,\u22122, 20), P2 = (3, 9, 9)
(k) P1 = (\u221216,