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```14, 1), P2 = (2,\u22122, 6)
(l) P1 = (3, 3, 1), P2 = (6,\u22129, 3)
(m) P1 = (6,\u22124, 6), P2 = (4, 2, 6)
(n) P1 = (11, 23, 2), P2 = (3, 0, 3)
(o) P1 = (2, 2,\u22126), P2 = (1,\u22124,\u22122)
1.13. EXERCÍCIOS 41
2. Determine ~v · ~w e os vetores unitários nas direções de ~v e ~w, se:
(a) ~v = (1, 2, 1), ~w = (\u22125, 3, 1)
(b) ~v = (\u22123, 2,\u22121), ~w = (1, 2,\u22126)
(c) ~v = (2,\u22122, 2), ~w = (\u22122, 2, 1)
(d) ~v = (4, 1, 8), ~w = (\u22122,\u221223,\u22121)
(e) ~v = (
\u221a
5,\u22123, 6), ~w = (\u22129,\u22123, 2)
(f) ~v = (0, 1,\u22121), ~w = (3, 2, 6)
(g) ~v = (1, 1, 1), ~w = (0, 3, 0)
(h) ~v = (\u22121,\u22121,\u22121), ~w = (7,\u22123, 2)
(i) ~v = (4,\u22122, 11), ~w = (\u22121, 0,\u22121)
(j) ~v = (\u22126,\u22124, 1), ~w = (\u22122, 2,\u22126)
(k) ~v = (4/3,\u22121, 1), ~w = (\u22122/5, 5,\u22121)
(l) ~v = (4/5, 4, 1/6), ~w = (2/3,\u22121, 3/4)
3. Determine o ângulo formado pelos vetores ~v e ~w, se:
(a) ~v = (\u22121, 2,\u22121), ~w = (\u22125, 3, 1)
(b) ~v = (\u22121,\u22122,\u22121), ~w = (1,\u22122,\u22126)
(c) ~v = (2,\u22122,\u22122), ~w = (\u22121, 2, 1)
(d) ~v = (1, 1,\u22128), ~w = (\u22122,\u22123,\u22121)
(e) ~v = (5,\u22122,\u22126), ~w = (\u22128, 3,\u22122)
(f) ~v = (0, 1,\u22121), ~w = (3, 2, 6)
(g) ~v = (1, 1, 1), ~w = (0, 3, 0)
(h) ~v = (\u22121,\u22121,\u22121), ~w = (7,\u22123, 2)
(i) ~v = (4,\u22122,\u22121), ~w = (1, 0, 1)
(j) ~v = (\u22126,\u22124, 1), ~w = (\u22122, 2, 0)
4. Determine o valor k tal que os seguintes vetores sejam ortogonais:
(a) ~v = (3,\u22122 k, 4), ~w = (1, 2, 5)
(b) ~v = (\u22121, 1, k), ~w = (1,\u22121, 1)
(c) ~v = (\u2212k,\u22121,\u22121), ~w = (3, 0, 1)
(d) ~v = (k, 1, k), ~w = (\u22122, k,\u2212k)
5. Determine ~v× ~w, se:
(a) ~v = (\u22121, 2,\u22121), ~w = (\u22125, 3, 1)
(b) ~v = (\u22121,\u22122,\u22121), ~w = (1,\u22122,\u22126)
(c) ~v = (2,\u22122,\u22122), ~w = (\u22121, 2, 1)
(d) ~v = (1, 1,\u22128), ~w = (\u22122,\u22123,\u22121)
(e) ~v = (5,\u22122,\u22126), ~w = (\u22128, 3,\u22122)
(f) ~v = (0, 1,\u22121), ~w = (3, 2, 6)
(g) ~v = (1, 1, 1), ~w = (0, 3, 0)
(h) ~v = (\u22121,\u22121,\u22121), ~w = (7,\u22123, 2)
(i) ~v = (4,\u22122,\u22121), ~w = (1, 0, 1)
(j) ~v = (\u22126,\u22124, 1), ~w = (\u22122, 2, 0)
(k) ~v = (0, 1,\u22121), ~w = (2, 0, 1)
(l) ~v = (1, 0, 1), ~w = (3, 2, 1)
(m) ~v = (3, 1, 2), ~w = (\u22126, 2,\u22121)
(n) ~v = (1, 4, 2), ~w = (\u22121, 2,\u22121)
(o) ~v = (1/3, 2, 1), ~w = (4, 2/4, 3)
(p) ~v = (1/2, 1, 3/5), ~w = (4/3, 2,\u22121/5)
6. Determine o valor de k tais que os seguintes vetores sejam coplanares:
42 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
(a) ~u = (1, 2,\u22123), ~v = (1, k, 1),
~w = (3, 2, 1)
(b) ~u = (\u22121, k, 2), ~v = (3, 2, 5),
~w = (\u22121, 0, 1)
(c) ~u = (1, k, 0), ~v = (1, 2, 1),
~w = (1, 0, k)
(d) ~u = (0, 1,\u22121), ~v = (k, 0, 1),
~w = (1, 1, 2 k)
7. Determine a área do triângulo PQR, se:
(a) P = (1,\u22121, 2), Q = (0, 3,\u22121), R = (3,\u22124, 1)
(b) P = (\u22123, 0, 5), Q = (2,\u22121,\u22123), R = (4, 1,\u22121)
(c) P = (4, 0, 0), Q = (0, 5, 0), R = (0, 0, 2)
(d) P = (\u22121, 2, 0), Q = (0, 2,\u22123), R = (5, 0, 1)
8. Determine o volume do paralelepípedo formado por
\u2212\u2212\u2192
PQ,
\u2212\u2192
PR e
\u2212\u2192
PT :
(a) P = (0, 0, 0), Q = (1,\u22121, 2), R = (0, 3,\u22121), T = (3,\u22124, 1)
(b) P = (2, 1,\u22121), Q = (3, 0, 2), R = (4,\u22122, 1), T = (5,\u22123, 0)
9. Determine d(P1P2), se:
(a) P1 = (1, 2, 1), P2 = (\u22125, 3, 1)
(b) P1 = (\u22123, 2,\u22121), P2 = (15, 2, 6)
(c) P1 = (12, 222, 1), P2 = (5, 23, 11)
(d) P1 = (4, 24, 18), P2 = (\u221225, 23, 11)
(e) P1 = (9, 3, 1), P2 = (9,\u22123, 2)
(f) P1 = (0, 12,\u221211), P2 = (5, 2, 16)
(g) P1 = (1, 1, 1), P2 = (5, 3, 0)
(h) P1 = (1, 1,\u22121), P2 = (7, 3, 1)
(i) P1 = (14,\u221212, 11), P2 = (\u22121, 9,\u22121)
(j) P1 = (\u22126,\u22124, 1), P2 = (\u22122, 2,\u22126)
(k) P1 = (4,\u22122,\u22126), P2 = (4,\u22129, 4)
(l) P1 = (2,\u22124, 5), P2 = (2,\u22122,\u22124)
(m) P1 = (9,\u22123, 2), P2 = (6, 9, 1)
(n) P1 = (9, 0, 5), P2 = (\u22125, 2, 1)
10. Verifique que para todo ~v e ~w \u2208 Rn; tem-se:
(a) |~v · ~w| \u2264 \u2016~v\u2016 \u2016~w\u2016
(b) \u2016~v + ~w\u2016 \u2264 \u2016~v\u2016+ \u2016~w\u2016
(c) 2 \u2016~u\u20162 + 2 \u2016~v\u20162 = \u2016~u+ ~v\u20162 + \u2016~u\u2212 ~v\u20162
(d) \u2016~u+ ~v\u2016 \u2016~u \u2212 ~v\u2016 = \u2016~u\u20162 + \u2016~v\u20162
(e) 4~u · ~v = \u2016~u+ ~v\u20162 \u2212 \u2016~u\u2212 ~v\u20162
11. Sejam P1 = (2, 9, 8), P2 = (6, 4,\u22122) e P3 = (7, 15, 7). Verifique que \u2212\u2212\u2212\u2192P1P2 e \u2212\u2212\u2212\u2192P1P3 são
ortogonais e determine um ponto P tal que P1, P2, P e P3 formem um retângulo.
1.13. EXERCÍCIOS 43
12. Sejam P1 = (5, 0, 7) e P2 = (2,\u22123, 6). Determine o ponto P sobre a reta que liga P1 a P2
tal que
\u2212\u2212\u2192
P1P = 3
\u2212\u2212\u2192
PP2.
13. Determine a equação do plano passando pelos pontos P1, P2 e P3, sendo:
(a) P1 = (\u22123, 0, 2), P2 = (6, 1, 4), P3 = (\u22125, 1, 0)
(b) P1 = (2, 1, 4), P2 = (1,\u22121, 2), P3 = (4,\u22121, 1)
(c) P1 = (1, 1, 1), P2 = (0,\u22121, 1), P3 = (2,\u22121,\u22121)
(d) P1 = (1,\u22121, 1), P2 = (1,\u22121,\u22121), P3 = (3,\u22121, 1)
(e) P1 = (3,\u22124, 2), P2 = (3, 3,\u22123), P3 = (2,\u22125, 2)
(f) P1 = (2, 3, 1), P2 = (\u22123, 2, 6), P3 = (\u22124, 2, 5)
(g) P1 = (1/2, 1/3,\u22122), P2 = (1, 1, 1), P3 = (1/4, 2,\u22121/5)
(h) P1 = (1, 1, 2), P2 = (1/2,\u22121, 1/3), P3 = (4/5, 0, 1/5)
14. Determine a equação do plano passando pelo ponto P = (3,\u22121, 2), perpendicular à reta
determinada por P1 = (2, 1, 4) e P2 = (\u22123,\u22121, 7). Ache a distância do ponto P ao plano.
15. Verifique que a interseção dos planos x+ y \u2212 2 z = 1 e x+ 3 y \u2212 x = 4 é uma reta. Ache a
distância do ponto P = (1, 0, 1) a essa reta.
16. Determine a equação do plano paralelo ao plano 2x+3 y\u22126 z = 3 e que passa pelo ponto
P = (1, 1, 1).
17. Determine o plano perpendicular à reta x2 =
y\u22122
2 = z + 1 e que passa pelo ponto P =
(1, 3,\u22121).
18. Determine a equação do plano perpendicular aos planos x+ 2 y \u2212 7 z = 0 e x\u2212 y \u2212 z = 5
e que passa pela origem.
19. Determine a equação do plano ortogonal ao vetor (2, 3, 6) e que passa pelo ponto (1, 5, 3).
20. Determine a distância do plano do exercício [17] à origem e ao ponto (10, 15, 20).
Quádricas
1. Determine a natureza das seguintes quádricas:
(a) 4x2 + 9y2 + z2 = 36
(b) z \u2212 4(x2 + y2) = 0
(c) 4x2 + 9y2 \u2212 z2 = 36
(d) x2 \u2212 y2 + z2 = 0
(e) x
2
36 +
z2
25 \u2212 4y = 0
(f) x
2
36 \u2212 z
2
25 \u2212 9y = 0
(g) x2+16z2\u22124y2+16 = 0
(h) x2 \u2212 2x+ y2 + z2 = 0
(i) x2 + y2 = 2 y
(j) x2 + y2 = 4x
44 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANALÍTICA
2. Utilizando a técnica dos traços, esboce o gráfico de cada quádrica do exercício [1].
3. Determine a natureza da curva obtida pela projeção no plano xy da interseção de :
(a) z + x2 = 1 e z \u2212 x2 \u2212 y2 = 0.
(b) x = 2 e x = y2 + z2.
(c) z = 8\u2212 5x2 \u2212 3y2 e z = 3x2 + 5y2.
4. Determine os valores de k tais que a interseção do plano x + k y = 0 com a quádrica
y2 \u2212 x2 \u2212 z2 = 1 seja uma elipse e uma hipérbole, respectivamente.
5. Verifique que 2x \u2212 2z \u2212 y = 10 intersecta 2z = x29 + y
2
4 num único ponto e determine o
ponto.
6. Determine a, b, c e d de modo que os pontos dados pertençam à quádrica:
ax2 + b y2 + c z2 + d = 0,
onde:
(a) (1, 1,\u22121), (2, 1, 0), (5,\u22125, 3).
(b) (2,\u22121, 1), (\u22123, 0, 0), (1,\u22121,\u22122).
(c) (1, 2,\u22121), (0, 1, 0), (2, 1,\u22122).
7. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) tais
que a distância de P ao eixo dos x é o dobro da distância de P ao plano yz. Identifique a
superfície.
8. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) tais
que a distância de P ao eixo dos y é 34 da distância de P ao plano xz. Identifique a
superfície.
9. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) tais
que a distância deP ao ponto (0, 0, 1) é igual à distância deP ao plano y = \u22121. Identifique
a superfície.
10. Verifique que o ponto P = (1, 3,\u22121) pertence ao parabolóide hiperbólico 4x2 \u2212 z2 = y e
determine as equações das duas retas que passam por P e estão contidas no parabolóide.
Capítulo 2
CURVAS
2.1 Introdução
Definição 2.1. Sejam > 1. Uma função
F : A \u2282 Rn \u2212\u2192 Rm
é uma regra que associa a cada u \u2208 A um único vetor F (u) \u2208 Rm.
O conjunto A \u2282 Rn onde F é definida é chamado domínio de F e é denotado por Dom(F ). O
conjunto {F (u) /u \u2208 Dom(F )} \u2282 Rm é chamado imagem de F e é denotado por F (A).
Uma função F : A \u2282 Rn \u2212\u2192 Rm definem funções reais
Fi : A \u2282 Rn \u2212\u2192 R
chamadas funções coordenadas de F ; logo, F = (F1, F2, ........, Fm) e:
F (x) = F1(x) e1 + F2(x) e2 + ........ + Fn(x) en,
onde {e1, e2, ....., en} é a base canônica de Rn.
Seja A \u2282 Rn um conjunto aberto. A função F : A \u2282 Rn \u2212\u2192 Rm é contínua, diferenciável ou de
classe Ck em u \u2208 A se cada uma de suas componentes Fi, é função contínua, diferenciável ou
de classe Ck em u \u2208 A, respectivamente.
Exemplo 2.1.
[1] Para descrever a velocidade do ar numa certa região do espaço, utilizamos uma função
F : A \u2282 R4 \u2212\u2192 R3 tal que (x, y, z, t) \u2208 A, onde (x, y, z) é a posição do ponto no espaço e t o
tempo; logo, F (A) corresponde a velocidade```