Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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chamaremos de eixo a 90\u25e6 ou eixo normal.
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Qualquer ponto P do plano será localizado no sistema de coordenadas polares
pelo par (r , \u3b8) denominado coordenadas polares, onde r indica a distância do ponto
P ao pólo O e é denominado raio vetor ou raio polar , e o ângulo \u3b8 obtido da rotação
do eixo polar até o segmento OP , o qual chamaremos de ângulo vetorial ou ângulo
polar de P .
r
O
A
P(r , \u3b8)
\u3b8
Consideraremos o ângulo polar positivo quando a rotação do eixo polar for feita no sentido anti-horário
e, o negativo, no sentido horário, tal como fazemos no estudo de trigonometria. Se P(r , \u3b8) possui raio vetor
negativo (r < 0) devemos rotacionar o eixo polar em \u3c0 + \u3b8 e marcar |r | unidades a partir do pólo O.
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, \u3b8), em que \u3b8 representa um ângulo qualquer.
2.1.1 Exercício Proposto
2.1. Utilizando o papel de coordenadas polares, posicione
os pontos no plano dadas suas coordenadas polares: A
\ufffd
2,
\u3c0
3
\ufffd
,
B
\ufffd
\u22123, \u3c0
2
\ufffd
,4C
\ufffd
\u22125, 3\u3c0
4
\ufffd
, D
\ufffd
6, 7
\u3c0
3
\ufffd
, E

3
2
,\u22124\u3c0
3
‹
, F (\u22122, 315\u25e6), G
\ufffd
4,\u2212\u3c0
3
\ufffd
,
H
\ufffd
\u2212\u221a2,\u2212\u3c0
6
\ufffd
, I (\u22123, 15\u25e6), J
\ufffd
4,
\u3c0
6
\ufffd
, K

5,
7\u3c0
4
‹
, L

\u22124, 11\u3c0
6
‹
, M(1, 1),
N(6, 2).
45\u25e6
90\u25e6
135\u25e6
180\u25e6
225\u25e6
\u25e6
315\u25e6
30\u25e6
60\u25e6
90\u25e6
120\u25e6
150\u25e6
180\u25e6
210\u25e6
240\u25e6
\u25e6
300\u25e6
330\u25e6
2.2 Igualdade entre Dois Pontos em Coordenadas Polares
Observe que um ponto P(r , \u3b8) em coordenadas polares determina um único ponto no plano. Entretanto,
a recíproca não é verdadeira, pois um ponto P(r , \u3b8) do plano pode ser representado por (r , \u3b8 + 2k\u3c0) ou
(\u2212r , \u3b8 + (2k + 1)\u3c0), onde r \u2208 R, \u3b8 em radianos e k \u2208 Z. De forma resumida, temos:
(r ; \u3b8) = ((\u22121)k · r ; \u3b8 + k\u3c0), k \u2208 Z. ( 2.25)
2.2.1 Exercícios Propostos
2.2. Verifique quais dos seguintes pares de coordenadas polares representa o ponto P
\ufffd
2,
\u3c0
3
\ufffd
.
A

2,
5\u3c0
3
‹
, B

\u22122, 13\u3c0
3
‹
, C
\ufffd
1,
\u3c0
3
\ufffd
, D

2,
25\u3c0
3
‹
, E

2,
11\u3c0
3
‹
, F

\u22122, 37\u3c0
3
‹
.
2.3. Dados os pontos P1(3, 5
\u3c0
3
),P2(\u22123, 330\u25e6),P3(\u22121,\u2212\u3c0
3
),P4(2,\u2212315\u25e6),P5(0, 53\u25e6),P6(0, e\u3c0) e P7(1, 3), de-
termine:
(a) A representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar;
(b) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4;
(c) As coordenadas retangulares dos pontos P1, P5 e P7;
(d) Quais desses pontos coincidem com o ponto P(3, 2310\u25e6);
2.4. Determine os valores de x e y sabendo que os pontos (x \u2212 3, 30\u25e6) e (2, y \u2212 60\u25e6) são iguais.
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Geometria Analítica
2.3 Determinação Principal de um Ponto
Um ponto (r , \u3b8) em coordenadas polares se encontra em sua determinação principal se, e somente se,
¨
r \u2265 0
\u3b8 \u2208 [0, 2\u3c0).
Adota-se a determinação principal do pólo como sendo o par (0, 0). Observemos que, por definição, o
pólo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal.
2.3.1 Exercício Proposto
2.5. Encontre a determinação principal dos seguintes pontos: P1
\ufffd
\u22123, 51\u3c0
3
\ufffd
, P2(\u22123, 3320\u25e6), P3

\u22121,\u221217\u3c0
3
‹
,
P4(2,\u2212715\u25e6) e P5(4, 530\u25e6).
2.4 Transformações entre Coordenadas Polares e Retangulares
Façamos coincidir as origens e os eixos Ox e polar dos sistemas de coordenadas cartesiano e polar,
respectivamente. Seja P um ponto cujas coordenadas cartesianas são (x , y) e (r , \u3b8) as suas coordenadas
polares. De acordo com a figura abaixo temos
X
Y
r
x
y
O
P(r , \u3b8)
\u3b8
Logo,
¨
x = r · cos(\u3b8),
y = r · sen(\u3b8).
Como x2 + y2 = r2, temos que
r = ±px2 + y2, cos(\u3b8) = ± xp
x2 + y2
,
\u3b8 = arctg
\ufffdy
x
\ufffd
, sen(\u3b8) = ± yp
x2 + y2
.
2.4.1 Exercícios Propostos
2.6. Determinar as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas polares são:
(a)

2, arctg

1
2
‹‹
; (b)

4,
2\u3c0
3
‹
.
2.7. Quais as coordenadas polares do ponto P(3,\u2212\u221a3) do sistema de coordenadas cartesianas?
2.8. Determinar a equação polar do lugar geométrico cuja equação retangular é:
(a) y = 1\u2212 2x ; (b) x2 \u2212 y \u2212 8x + 1 = 0; (c) x2 + y2 \u2212 4x \u2212 2y + 1 = 0.
2.9. Determinar a equação retangular do lugar geométrico cuja equação polar é:
(a) 2 = r cos(\u3b8); (b) r(1 + cos(\u3b8)) = 2; (c) r = 5.
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2.5 Distância entre Dois Pontos em Coordenadas Polares
Sejam P1(r1, \u3b81) e P2(r2, \u3b82) dois pontos do plano ex-
presso em coordenadas polares. Observe, na figura ao
lado, que a distância entre eles é conseqüência imediata
da lei dos cossenos. De fato, no triângulo \u25b3OP1P2, temos
que
\u3b42 = r21 + r
2
2 \u2212 2r1r2 cos(\u3b81 \u2212 \u3b82)
\u21d4
d(P1,P2) =
È
r21 + r
2
2 \u2212 2r1r2 cos(\u3b81 \u2212 \u3b82).
r1
r2
O
P1(r1, \u3b81)
P2(r2, \u3b82)
\u3b81
\u3b82
\u3b81 \u2212 \u3b82
\u3b4
2.5.1 Exercício Proposto
2.10. Classifique, quanto aos lados, o triângulo de vértices P1
\ufffd
3,
\u3c0
6
\ufffd
, P2
\ufffd
7,
\u3c0
3
\ufffd
e P3
\ufffd
3,
\u3c0
2
\ufffd
.
2.6 Equação Polar
Uma equação polar é qualquer equação do tipo
f (r , \u3b8) = 0. ( 2.26)
A relação dada em ( 2.26) representa um lugar geométrico. Veremos, por exemplo, que C : r = 3 é a
equação que descreve uma circunferência de centro no pólo e raio 3 u. Observe que o ponto P
\ufffd
\u22123, \u3c0
2
\ufffd
\u2208
C , pois,
\ufffd
3,
\u3c0
2
\ufffd
satisfaz a equação de C . Assim, vemos que é possível termos um ponto que pertença ao
lugar geométrico definido por f (r , \u3b8) = 0 sem que esta igualdade seja verificada. Além disso, equações
polares distintas podem representar o mesmo lugar geométrico como, por exemplo, r = 3 e r = \u22123.
2.1 Definição. Duas equações polares f (r , \u3b8) = 0 e g(r , \u3b8) = 0 são equivalentes se representam o mesmo
lugar geométrico.
Temos ainda que equações equivalentes se classificam em triviais e não triviais, respectivamente,
equações equivalentes que possuem ou não o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, as equações C1 : r = 3 e C2 : 2r = 6 representam uma circunferência
de centro no pólo e raio 3 e apresentam o mesmo conjunto solução (S = {(3, \u3b8), \u3b8 \u2208 R}),
portanto, são equações equivalentes triviais. Já as equações polares C1 : r = 3 e C2 :
r = \u22123 representam também uma circunferência de centro no pólo e raio 3, porém, não
apresentam o mesmo conjunto solução (S1 = {(3, \u3b8), \u3b8 \u2208 R} e S2 = {(\u22123, \u3b8), \u3b8 \u2208 R}),
portanto, são equações equivalentes não triviais.
O
P
3
2.7 Conjunto Abrangente
2.2 Definição. Abrangente é o conjunto de todas as equações equivalentes a de uma curva C : f (r , \u3b8) = 0.
2.3 Teorema. Seja C uma curva definida pela equação f (r , \u3b8) = 0. Então as equações polares da forma
f [(\u22121)k · r , \u3b8 + k\u3c0] = 0, k \u2208 Z, são equivalentes à equação f (r , \u3b8) = 0.
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Geometria Analítica
A prova deste teorema é direta e é deixada para o leitor.
Desta forma, se C uma curva definida pela equação f (r , \u3b8) = 0, o conjunto abrangente da curva C
associada à equação f (r , \u3b8) = 0 ou o conjunto abrangente da curva C : f (r , \u3b8) = 0, é dado por
E (C ) = {f [(\u22121)k · r , \u3b8 + k\u3c0)] = 0; k \u2208 Z}. ( 2.27)
Uma equação polar é chamada de abrangente se o seu conjunto abrangente é unitário.
Nota 1.
1. Se um ponto, diferente do pólo, pertence a uma curva C , então todo par de coordenadas
polares de P satisfaz a pelo menos uma equação do conjunto abrangente da curva C . Em
outras palavras, E (C ) é abrangente se qualquer um dos pontos de C , distinto do pólo, satisfaz
a uma das equações de E (C ).
2. O pólo pertence a uma curva C , definida pela equação f (r , \u3b8) = 0 se, e somente se, a
equação em \u3b8, f (0, \u3b8) = 0, possuir conjunto solução nos reais não vazio.
Exemplo 2.1. Determine um conjunto abrangente para as seguintes curvas: C1 : r = 2 e C2 : r ·cos(\u3b8) = 2.
Solução: (a) f (r , \u3b8) = r \u2212 2 = 0. Portanto, f [(\u22121)k · r , \u3b8 + k\u3c0) = (\u22121)k · r \u2212 2 = 0. Se k é par, ou seja,
k = 2n, n \u2208 Z, temos que (\u22121)2n · r \u2212 2 = 0. Assim, r = 2. Para k ímpar (k = 2n + 1, n \u2208 Z) temos que
(\u22121)2n+1 · r \u2212 2 = 0. Assim, r = \u22122. Logo, E (C1) = {r = \u22122, r = 2}.
(b) f (r , \u3b8) = r · cos(\u3b8) \u2212 2 = 0. Portanto, f [(\u22121)k · r , \u3b8 + k\u3c0) =
(\u22121)k · r · cos(\u3b8 + k\u3c0)\u2212 2 = 0. Observemos a tabela ao lado:
k = 2n k = 2n + 1
(\u22121)k · r r \u2212r
cos(\u3b8 + k\u3c0) cos(\u3b8) \u2212 cos(\u3b8)
Segue que, E (C2) = {r cos(\u3b8) = 2}.
2.7.1 Exercícios Propostos
2.11. Mostre que a equação C : r2 = a cos(2\u3b8), a \u2208 R\u2217, é abrangente.
2.12. Verifique, em cada item, se o ponto P pertence à curva C :
(a) P(4,\u3c0) e C : r(1 + 2 cos(\u3b8)) = 4;
(b) P é o pólo
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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