Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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resolver os sistemas:
¨
r = 3
r = 6 cos(2\u3b8)
e
¨
r = \u22123
r = 6 cos(2\u3b8)
Por substituição obtemos as equações cos(2\u3b8) = 1
2
e cos(2\u3b8) = \u22121
2
. Sendo assim, temos que 2\u3b8 =
±\u3c0
3
+ 2k\u3c0 e 2\u3b8 = ±2\u3c0
3
+ 2k\u3c0, com k \u2208 Z. Portanto, \u3b8 = ±\u3c0
6
+ 2k\u3c0 e \u3b8 = ±\u3c0
3
+ 2k\u3c0, com k \u2208 Z.
Vamos atribuir alguns valores inteiros para determinar os pontos de interseção.
Para n = 0 achamos os pontos P1
\ufffd
3,
\u3c0
6
\ufffd
, P2
\ufffd
3,\u2212\u3c0
6
\ufffd
, P3
\ufffd
\u22123, \u3c0
3
\ufffd
e P4
\ufffd
\u22123,\u2212\u3c0
3
\ufffd
.
50
Para n = 1 achamos os pontos P5

3,
7\u3c0
6
‹
, P6

3,\u22125\u3c0
3
‹
, P7

\u22123, 4\u3c0
3
‹
e P8

\u22123, 2\u3c0
3
‹
.
Para outros valores de n os pontos que serão obtidos se igualam a um dos Pi , i \u2208 {1, 2, . . . , 8}.
2.22. Determine as interseções das curvas C1 e C2, analiticamente:
(a)
(
C1 : r = 2(1 + cos(\u3b8))
C2 : \u3b8 =
\u3c0
4
(b)
¨
C1 : r = 6 sen(2\u3b8)
C2 : r = \u22123
(c)
¨
C1 : r = 2(1\u2212 cos(\u3b8))
C2 : r
2 = 16 cos(2\u3b8)
(d)
¨
C1 : r = 4\u2212 2 sen(\u3b8)
C2 : r = \u22122 + 2 sen(\u3b8)
Gabarito
2.1
45\u25e6
90\u25e6
135\u25e6
180\u25e6
225\u25e6
270\u25e6
315\u25e6
30\u25e6
60\u25e6
90\u25e6
120\u25e6
150\u25e6
180\u25e6
210\u25e6
240\u25e6
270\u25e6
300\u25e6
330\u25e6
A
B
C
D
EF
G
H
I
J
K
L
M
N
.
2.2 . 2.3 (b) P3(1, 120\u25e6), P3(1, 480\u25e6), P3(\u22121, 300\u25e6), P4(
\u221a
2, 45\u25e6),
P4(\u2212
\u221a
2,\u2212135\u25e6), P4(\u2212
\u221a
2, 225\u25e6) (c) P1
\ufffd
3
2
,\u22123
\u221a
3
2
\ufffd
; P5(0, 0);
P7(cos 3\u3b8, sen 3\u3b8); (d) P2 . 2.4 . 2.5 . 2.6 . 2.7
{(2\u221a3; 330\u25e6), (2\u221a3;\u221230\u25e6), (\u22122\u221a3; 150\u25e6), (\u22122\u221a3;\u2212210\u25e6)}. 2.8 . 2.9
(a) x = 2 (b) y2 = 4(1 \u2212 x) (c) x2 + y2 = 25. 2.10 . 2.11 . 2.12 . 2.13 .
2.14 . 2.15 . 2.16 . 2.17 . 2.18 . 2.19 (a) r = 4 cos(2\u3b8) (b) r = 3 + 2 sen(\u3b8)
(c) r2 = 16 sen(2\u3b8) (d) r = 3 sen(5\u3b8) (e) r2 = \u221216 sen(2\u3b8) (f) r = 1 + 4 cos(\u3b8).
2.21 . 2.22 (a) S = {(0, 0), (2 +\u221a2, \u3c0/4), (2\u2212\u221a2, 5\u3c0/4)} (b) S = { (3,\u3c0/12),
(3, 5\u3c0/12), (3, 13\u3c0/12), (3, 17\u3c0/12), (\u22123, 7\u3c0/12), (\u22123, 11\u3c0/12), (\u22123, 19\u3c0/12),
(3, 23\u3c0/12)} (c) S = { (0, 0),(4,\u3c0),(4/7, arccos(5/7)(I quadrante)),
(4/7,\u2212 arccos(5/7)(IV quadrante))} (d) S = {(\u22123,\u221211\u3c0/6), (\u22123, 7\u3c0/6)}.
Vetores, Retas, Planos e
Superfícies
Vetores, Retas e Planos
3.1 Vetores
Considere uma reta r e nela tomemos dois pontos não coincidentes A e B. A porção da reta limitada
por estes pontos chamamos de segmento de reta AB. Dois segmentos de reta têm a mesma direção se,
e somente se, estão sob a mesma reta suporte ou se estão em retas suportes paralelas. Ao segmento de
reta AB podemos associar um sentido: de A para B, por exemplo. Denotaremos por AB o segmento de
reta cuja orientação está associada ao sentido de A (origem) para B (extremidade). Ao segmento de reta
orientado com origem e extremidade num mesmo ponto A denotaremos por segmento nulo AA = 0.
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD de mesmo módulo (|AB | = |CD|), direção e sentido
são ditos equipolentes, AB \u223c CD.
3.1 Proposição. A equipolência é um a relação de equivalência, ou seja:
1. AB \u223c AB ;
(reflexiva)
2. AB \u223c CD \u21d2 CD \u223c AB ;
(simétrica)
3. AB \u223c CD e CD \u223c EF \u21d2 AB \u223c EF .
(transitiva)
51
Geometria Analítica
A demonstração desta proposição será omitida pois é imediata.
Nota 5.
\u22c4 Dois segmentos de reta orientados AB e CD equipolentes e não pertencentes à mesma reta
formam, necessariamente, um paralelogramo ABCD.
\u22c4 Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos de reta orientados se eles possuem a
mesma direção.
\u22c4 Dois segmentos de reta orientados opostos possuem sentidos contrários.
Todos os segmentos de reta equipolentes a um determinado segmento de reta orientado AB formam
um conjunto chamado classe de equipolência de AB.
Um vetor \u2212\u2192v é um representante de uma classe de equipolência num espaço euclidiano, ou seja, um
vetor é um conjunto determinado por todos os segmentos de reta orientados equipolentes a um determi-
nado segmento. Portanto, um vetor \u2212\u2192v é determinado por uma infinidade de segmentos de reta orientados,
chamados representantes desse vetor, todos equipolentes entre si. Indicaremos o conjunto de todos os
vetores por V n, onde n \u2208 N terá um significado que será visto posteriormente.
O ângulo entre dois vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v não-nulos é o ângulo \u3b8 formado por
suas retas suportes quando estes vetores estão unidos por suas origens.
Observe que, até aqui, não estamos interessados na orientação do ân-
gulo (sentido horário ou anti-horário). Portanto, 0 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3c0 (\u3b8 em radianos).
\u3b8
\u2212\u2192u
\u2212\u2192v
Dois vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v , não nulos, são coplanares, isto é, estão no mesmo plano, se possuem represen-
tantes em um mesmo plano, paralelos (\u2212\u2192u \u2016 \u2212\u2192v ) se seus representantes (segmentos de reta equipolentes)
também o são e perpendiculares (\u2212\u2192u \u22a5 \u2212\u2192v ) se estão no mesmo plano e o ângulo entre eles for de 90\u25e6.
Os vetores que formam ângulo reto, mas, não estão necessariamente no mesmo plano são ortogonais. O
vetor nulo \u2212\u21920 é paralelo e ortogonal a qualquer vetor. O vetor \u2212\u2212\u2192u = \u2212\u2192BA é o oposto de \u2212\u2192u = \u2212\u2192AB , ou seja,
possuem mesmo módulo, direção, porém, sentidos contrários.
Observe que dois vetores quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto
no espaço e, com origem nele, imaginar dois outros representantes destes pertencendo a um plano que
passa por este ponto. Entretanto, três vetores poderão ou não ser coplanares.
Restringiremos nosso estudo aos vetores do espaços euclidianos R2 e R3 que representam, respecti-
vamente, o plano e o espaço.
Exemplo 3.1. Dado o paralelepípedo abaixo, podemos julgar, facilmente, em verdadeiro (V) ou falso (F)
as seguintes sentenças, como faremos:
(a) ( V ) \u2212\u2212\u2192DH = \u2212\u2192BF
(b) ( F ) \u2212\u2192AB = \u2212\u2212\u2212\u2192HG
(c) ( V ) \u2212\u2192AB \u22a5 \u2212\u2192CG
(d) ( V ) \u2212\u2192AF \u22a5 \u2212\u2192BC
(e) ( F ) |\u2212\u2192AC | = |\u2212\u2192HF |
(f) ( V ) |\u2212\u2192AG | = |\u2212\u2192DF |
(g) ( F ) \u2212\u2192BG//\u2212\u2192ED
(h) ( V ) \u2212\u2192BF//\u2212\u2192FB
(i) ( V ) \u2212\u2192AB,\u2212\u2192AD e \u2212\u2192EG são coplanares
(j) ( V ) \u2212\u2192CB,\u2212\u2192EG e \u2212\u2192HF são coplanares
(k) ( V ) \u2212\u2192AC ,\u2212\u2192BD e \u2212\u2192FG são coplanares
(l) ( F ) \u2212\u2192AB ,\u2212\u2192BG e \u2212\u2192CF são coplanares
(m) ( F ) \u2212\u2192AB ,\u2212\u2212\u2192CD e \u2212\u2192CF são coplanares
(n) ( V ) \u2212\u2192AE é ortogonal ao plano ABC
(o) ( V ) \u2212\u2192AB é ortogonal ao plano BCG
(p) ( V ) \u2212\u2212\u2192CD é paralelo ao plano HEF
A B
CD
E F
GH
52
3.2 Tratamento Geométrico para Operações com Vetores
3.2.1 Adição entre Vetores
Considere dois vetores\u2212\u2192u e\u2212\u2192v unidos de maneira que a origem de um deles coincide com a extremidade
do outro. O vetor formado pela origem e extremidade não utilizadas nesta união e neste sentido, nos dará
o vetor resultante da adição \u2212\u2192u + \u2212\u2192v (vetor soma). No caso da subtração (\u2212\u2192u \u2212 \u2212\u2192v ) utilizamos o mesmo
processo da soma, porém, consideraremos o vetor oposto, ou seja, (\u2212\u2192u + (\u2212\u2212\u2192v )). Assim, a operação de
subtração nada mais é do que uma adição com o vetor oposto.
\u2212\u2192v
\u2212\u2192u
\u2212\u2192v
\u2212\u2192u
\u2212\u2192v +\u2212\u2192u
\u2212\u2212\u2192v
\u2212\u2192u
\u2212\u2192u \u2212\u2212\u2192v
Considere os vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v , e \u2212\u2192w em V . A operação de adição goza das seguintes propriedades:
1. Comutativa: \u2212\u2192u +\u2212\u2192v = \u2212\u2192v +\u2212\u2192u ;
2. Associativa: (\u2212\u2192u +\u2212\u2192v ) +\u2212\u2192w = \u2212\u2192u + (\u2212\u2192v +\u2212\u2192w );
3. Existência do elemento neutro: \u2212\u2192u +\u2212\u21920 = \u2212\u2192u ;
4. Existência do elemento oposto: \u2212\u2192u +(\u2212\u2212\u2192u ) = \u2212\u21920 .
Exemplo 3.2. Com base na figura do exemplo 3.1, temos:
(a) \u2212\u2192AB +\u2212\u2192CG = \u2212\u2192AF
(b) \u2212\u2192BC +\u2212\u2192DE = \u2212\u2192BF
(c) \u2212\u2192BF + \u2212\u2192EH = \u2212\u2192BG
(d) \u2212\u2192EG \u2212\u2212\u2192BC = \u2212\u2192EF
(e) \u2212\u2192CG +\u2212\u2192HF = \u2212\u2192DF
(f) \u2212\u2192EF \u2212\u2212\u2192FB = \u2212\u2192AF
(g) \u2212\u2192AB +\u2212\u2192AD +\u2212\u2192AE = \u2212\u2192AG
(h) \u2212\u2192EG +\u2212\u2192DA +\u2212\u2192FH = \u2212\u2192EH
(i) \u2212\u2192f G \u2212\u2212\u2192DA\u2212\u2212\u2192FH = \u2212\u2192AC
3.2.2 Produto entre um Vetor e um Escalar
Dado um vetor não nulo \u2212\u2192u e um escalar \u3b1 \u2208 R, o produto de \u3b1 por \u2212\u2192u é o vetor \u2212\u2192w = \u3b1\u2212\u2192u tal que:
1. |\u2212\u2192w | = |\u3b1\u2212\u2192u | = |\u3b1| · |\u2212\u2192u |;
2. \u2212\u2192w tem a mesma direção de \u2212\u2192u ;
3. \u2212\u2192w tem o mesmo sentido de \u2212\u2192u para \u3b1 > 0 e sentido contrário para \u3b1 < 0.
3.3 Dependência Linear
3.2 Definição. Considere os n vetores \u2212\u2192v 1,\u2212\u2192v 2, . . . ,\u2212\u2192v n e os n escalares \u3b11,\u3b12, . . . ,\u3b1n. Chamamos
\u2212\u2192v = \u3b11\u2212\u2192v 1 + \u3b12\u2212\u2192v 2 + . . . + \u3b1n\u2212\u2192v n
de combinação linear dos n vetores \u2212\u2192v i com n coeficientes \u3b1i , 1 \u2264 i \u2264 n, i \u2208 N.
Se\u2212\u2192v é combinação linear dos vetores\u2212\u2192v 1,\u2212\u2192v 2, . . . ,\u2212\u2192v n diz-se também que\u2212\u2192v é gerado por\u2212\u2192v 1,\u2212\u2192v 2, . . . ,\u2212\u2192v n.
3.3 Proposição. Dois vetores são paralelos se, e somente se, um deles pode ser escrito como combinação
linear do outro.
Prova: Suponha que \u2212\u2192u \u2016 \u2212\u2192v . Portanto, se \u2212\u21920 = \u2212\u2192u = \u2212\u2192v , então \u2212\u2192u = \u3b1\u2212\u2192v , \u2200\u3b1 \u2208 R. Se \u2212\u2192u = \u2212\u21920 e
\u2212\u2192v 6= \u2212\u21920 , então \u2212\u2192u = 0\u2212\u2192v . Se \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são dois vetores
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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