Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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número real h, pois, dessa igualdade, temos:
h(2, 2,\u22121) = (7, 4,\u22127)\u2212 (3, 0,\u22125)\u21d4 (2h, 2h,\u2212h) = (4, 4,\u22122) \u21d4 h = 2.
Observe que, assim como o vetor \u2212\u2192v r = (2, 2,\u22121) é um vetor diretor desta reta, qualquer vetor \u3b1\u2212\u2192v r ,\u3b1 6= 0,
também o é. Portanto, apenas para exemplificar, se \u3b1 = 2 e \u3b1 = 1, ainda representam a reta r as equações:
8
>
<
>
:
x = 3 + 2h
y = 2h
z = \u22125\u2212 h
, h \u2208 R e
8
>
<
>
:
x = 3 + 4h
y = 4h
z = \u22125\u2212 2h
, h \u2208 R
3.14 Equações Paramétricas da Reta
Considere um sistema de coordenadas cartesianas, P(x , y , z) e P0(x0, y0, z0) um ponto genérico e um
ponto dado, respectivamente, da reta r , e \u2212\u2192v r = (a, b, c) um vetor com a mesma direção de r . Da equação
( 3.42) temos que (x , y , z) = (x0, y0, z0) + h(a, b, c), h \u2208 R ou (x , y , z) = (x0 + ah, y0 + bh, z0 + ch), h \u2208 R.
Portanto,
8
>
<
>
:
x = x0 + ah
y = y0 + bh, h \u2208 R
z = z0 + ch
( 3.43)
64
As equações em ( 3.43), onde \u2212\u2192v r 6= \u2212\u21920 , são denominadas equações paramétricas da reta r , em relação
ao sistema de coordenadas fixado. A reta r é o conjunto de todos os pontos (x , y , z) determinados pelas
equações paramétricas quando h varia de \u2212\u221e a +\u221e.
Exemplo 3.16. Quais as equações paramétricas da reta r , que passa pelo ponto P0(3,\u22121, 2) e é paralela
ao vetor \u2212\u2192v r = (\u22123,\u22122, 1)? Obtenha um ponto qualquer desta e verifique se A(0, 3, 4) pertence a esta reta.
Solução: As equações paramétricas da reta r são x = 3\u2212 3h, y = \u22121\u2212 2h, z = 2 + h, h \u2208 R.
Para se obter um ponto desta reta, basta atribuirmos a h um valor particular. Por exemplo, para h = 3,
tem-se: x = \u22126, y = \u22127 e z = 5, isto é, o ponto (\u22126,\u22127, 5) é um ponto da reta r . Observe que o ponto
A(3,\u22121, 2) é obtido fazendo h = 0. Já o ponto (0, 3, 4) não pertence a esta reta, pois as equações não são
satisfeitas para o mesmo valor de h (h = 1 satisfaz a primeira equação mas não as outras duas).
3.15 Equações Simétricas da Reta
Se supusermos que abc 6= 0 nas equações em ( 3.43) e isolarmos o parâmetro h, obteremos:
h =
x \u2212 x0
a
=
y \u2212 y0
b
=
z \u2212 z0
c
, ou seja, x \u2212 x0
a
=
y \u2212 y0
b
=
z \u2212 z0
c
. ( 3.44)
As equações em ( 3.44) são denominadas equações simétricas, segmentárias ou normais de uma reta
r que passa por um ponto P0(x0, y0, z0) e tem a direção do vetor \u2212\u2192v r = (a, b, c) e poderiam ser obtidas se
observarmos o paralelismo existente entre os vetores \u2212\u2212\u2192P0P = (x\u2212x0, y\u2212y0, z\u2212z0) e \u2212\u2192v r = (a, b, c), abc 6= 0.
Exemplo 3.17. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0,\u22125) e tem a
direção do vetor \u2212\u2192v = 2\u2212\u2192\u131 + 2\u2212\u2192\uf6be \u2212\u2212\u2192\u3ba .
Solução: Primeiramente observe que a equação vetorial é (x , y , z) = (3, 0,\u22125) + h(2, 2,\u22121), \u2200 h \u2208 R.
Da igualdade entre pontos, podemos isolar h, e então escrevermos: x \u2212 3
2
=
y
2
= 5\u2212 z .
3.16 Equações Reduzidas da Reta
Podemos rearrumar as equações simétricas da reta em ( 3.44), isolando as variáveis y e z e as expres-
sando em funções de x , temos: y = b
a
(x \u2212 x0) + y0 e z = c
a
(x \u2212 x0) + z0. Fazendo m = b
a
, n = \u2212b
a
x0 + y0,
p =
c
a
e q = \u2212c
a
x0 + z0, obtemos:
¨
y = mx + n
z = px + q
( 3.45)
Estas são as equações reduzidas da reta na variável independente x ou, simplesmente, equações
reduzidas da reta na variável x .
Nota 10. Nas equações reduzidas em ( 3.45), a variável x figura como variável independente.
Se expressarmos as equações de forma que a variável independente seja y ou z, ainda assim as
equações são chamadas equações reduzidas.
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Geometria Analítica
Nota 11. Das equações reduzidas em ( 3.45) obtém-se x = y \u2212 n
m
=
z \u2212 q
p
. Comparando as
equações reduzidas com as simétricas:
x \u2212 x0
a
=
y \u2212 y0
b
=
z \u2212 z0
c
,
verifica-se que as equações reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N(0, n, q) e tem a
direção do vetor \u2212\u2192v = (1,m, p).
Exemplo 3.18. Estabelecer as equações reduzidas na variável x da reta r que passa pelos pontos
A(2, 1,\u22123) e B(4, 0,\u22122).
Solução: As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(2, 1,\u22123) e tem a direção do vetor
\u2212\u2192
AB = (2,\u22121, 1) são: x \u2212 2
2
=
y \u2212 1
\u22121 = z + 3. Dessas equações obtém-se:
¨
2(y \u2212 1) = \u22121(x \u2212 2)
2(z + 3) = (x \u2212 2) \u21d2
8
>
<
>
:
y =
\u22121
2
x + 2
z =
1
2
x \u2212 4.
Exemplo 3.19. As equações
¨
y = 2x \u2212 3
z = \u22124x + 5, representam a reta que passa pelo ponto N(0,\u22123, 5)
e tem a direção do vetor \u2212\u2192v = (1, 2,\u22124).
Observe que o ponto N é obtido fazendo x = 0 nas equações reduzidas. Se damos a x outro valor,
x = 1 por exemplo, teremos o ponto M(1,\u22121, 1) e um vetor diretor será \u2212\u2212\u2192NM = (1, 2,\u22124) ou qualquer
múltiplo dele.
Nota 12 (Retas Perpendiculares no R2). No Ensino Médio, sabe-se que duas retas r e s do plano,
são ortogonais se, e somente se, o coeficiente angular de uma for o inverso simétrico da outra, ou
seja, se mr é o coeficiente angular da reta r e ms o da reta s, então mr ·ms = \u22121. Provaremos esse
fato.
Sejam r e s duas retas ortogonais no plano de tal forma que
\u2212\u2192v r = (a1, b1) e \u2212\u2192v s = (a2, b2), respectivamente, são os vetores
diretores destas retas. Suponha que A(x1, y1) \u2208 r e B(x2, y2) \u2208 s.
Deste modo temos as seguintes equações simétricas:
r :
x \u2212 x1
a1
=
y \u2212 y1
b1
e s :
x \u2212 x2
a2
=
y \u2212 y2
b2 x
y
O
P
r
s
e as equações reduzidas são:
r : y =
b1
a1
x \u2212 b1
a1
x1 + y1 e s : y =
b2
a2
x \u2212 b2
a2
x2 + y2
em que mr =
b1
a1
e ms =
b2
a2
são, respectivamente, os coeficientes angulares de r e s.
Como as restas são ortogonais, o vetor \u2212\u2192v r é ortogonal ao vetor \u2212\u2192v s . Portanto, \u2212\u2192v r · \u2212\u2192v s = 0,
donde a1 · a2 + b1 · b2 = 0. Desta última igualdade temos a1
b1
= \u2212b2
a2
, como queríamos.
3.17 Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem a
direção do vetor \u2212\u2192v r = \u2212\u2192AB = (x2 \u2212 x1, y2 \u2212 y1, z2 \u2212 z1).
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Exemplo 3.20. A reta r , determinada pelos pontos A(1,\u22122,\u22123) e B(3, 1,\u22124), tem a direção do vetor
\u2212\u2192v = \u2212\u2192AB = (2, 3,\u22121) e as equações paramétricas
8
>
<
>
:
x = 1 + 2h
y = \u22122 + 3h
z = \u22124\u2212 h
representam esta reta r , passando pelo ponto A, com a direção do vetor \u2212\u2192v = \u2212\u2192AB.
Observemos que, embora estes sistemas sejam diferentes, eles permitem encontrar todos os pontos
da mesma reta, fazendo h variar de \u2212\u221e a +\u221e. Por exemplo, para h = 1, obtemos o ponto P1(3, 1,\u22124) no
primeiro sistema e o ponto P2(5, 4,\u22125) no segundo sistema e ambos são pontos da mesma reta. é fácil
ver que o ponto P1 pode ser obtido, no segundo sistema, fazendo h = 0 e o ponto P2, no primeiro sistema,
fazendo h = 2.
Exemplo 3.21. Obter as equações simétricas da reta determinada pelos pontos A(2, 1,\u22123) e B(4, 0,\u22122).
Solução: Um vetor diretor da reta é o vetor \u2212\u2192AB = B \u2212 A = (4, 0,\u22122)\u2212 (2, 1,\u22123) = (2,\u22121, 1). Logo, se
escolhermos A como sendo o ponto (x0, y0, z0), temos que as equações simétricas da reta são
x \u2212 2
2
=
y \u2212 1
\u22121 = z + 3 ou
x \u2212 2
2
= 1\u2212 y = z + 3.
Observe que poderíamos escolher o ponto B como sendo o ponto (x0, y0, z0) e, portanto, as equações
x \u2212 4
2
=
y
\u22121 = z + 2 ou
x \u2212 4
2
= \u2212y = z + 2
representam a mesma reta passando pelo ponto B e com a direção do vetor \u2212\u2192AB .
3.18 Exercícios Propostos
3.38. Determine uma equação da reta r que: (a) Passa pelos pontos P1(2, 1, 2) e P2(3,\u22121, 1); (b) Passa
pelo ponto P(4, 1, 0) e contém representantes do vetor \u2212\u2192u r = (2, 6,\u22122).
3.39. Verifique se o ponto P = (\u22121, 0, 2) pertence à reta: (a) r : (x , y , z) = (\u22127,\u22123,\u22127) + h(2, 1, 3), h \u2208 R;
(b) s : x = \u22123 + h, y = \u22121 + h e z = 2h, h \u2208 R; (c) h : x + 1
2
=
y
3
=
z \u2212 4
2
.
3.40. Seja r : x \u2212 1
2
=
2 + y
4
= z. Determine uma equação de r nas formas vetorial e paramétrica.
3.19 Esboço da Reta no Espaço R3
Dada uma das equações da reta, podemos construí-la marcando-se dois dos seus pontos ou um dos
pontos e sua direção dada pelo vetor diretor.
Exemplo 3.22. Esboce a reta de equação x
2
=
y
3
=
z \u2212 1
4
.
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Geometria Analítica
Planos
3.20 Equação Geral do Plano
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano \u3c0 e \u2212\u2192n = (a, b, c)
um vetor não nulo normal (ortogonal) ao plano. Definimos o plano \u3c0 como
sendo o conjunto de todos os pontos P(x , y , z) do espaço tais que o vetor\u2212\u2192
AP
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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