Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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positivos e negativos na equação ( 4.57) temos que:
1. Se os três coeficientes são negativos então não existe lugar geométrico;
2. Se os três coeficientes são positivos então o lugar geométrico é um elipsóide;
3. Se dois coeficientes são positivos e um negativo então o lugar geométrico é um hiperbolóide de uma
folha;
4. Se dois coeficientes são negativos e um positivo então o lugar geométrico é um hiperbolóide de duas
folhas;
Superfície Esférica
4.8 Definição. Dados um ponto C \u2208 R3 e um número real r positivo e não nulo, a superfície esférica S de
centro em C e raio r é o lugar geométrico dos pontos do espaço que distam r de C .
Assim, para P(x , y , z) e C (x0, y0, z0), temos que: P \u2208 S se, e somente se, d(P ,C ) = r , ou seja,
(x \u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 = r2, ( 4.58)
a equação reduzida da esfera.
Desenvolvendo-se os quadrados na equação ( 4.58), temos:
x2 + y2 + z2 \u2212 2x0x \u2212 2y0y \u2212 2z0z + x20 + y20 + z20 \u2212 r2 = 0
que podemos escrever: x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0, {a, b, c , d} \u2208 R, a equação geral da esfera.
Observe que as equações gerais de duas esferas concêntricas diferem apenas no termo independente
e que os coeficientes na equação ( 4.58) são todos iguais a 1.
Exemplo 4.5. Determine a equação da superfície esférica cujo um dos diâmetros possui extremidades
nos pontos A(1,\u22123, 2) e B(3,\u22121, 2).
Solução: O centro da superfície é o ponto médio do segmento AB, ou seja, C (2,\u22122, 2) e o raio a
metade da distância entre os pontos A e B, ou seja, r =
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
AB
2
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
= |(1, 1, 0)| = 2. Assim, a equação de S é
(x \u2212 2)2 + (y + 2)2 + (z \u2212 2)2 = 2.
Exemplo 4.6. Determine a equação da superfície esférica cujo centro pertence à reta s : x \u2212 2 = 2y = z
e é tangente aos planos \u3c01 : \u2212x + 2z + 1 = 0 e \u3c02 : x + 2y \u2212 2 = 0.
Solução: Como o centro da superfície pertence à reta s, podemos escrever C (z+2, z/2, z), para algum
z \u2208 R. A medida do raio e as coordenadas do centro são obtidas resolvendo-se as seguintes equações
r = d(C ,\u3c01) = d(C ,\u3c02). O conjunto solução das coordenadas do centro é {(7/3, 1/6, 1/3), (1,\u22121/2,\u22121)},
enquanto que a medida do raio é
¨
2
\u221a
5
15
,
2
\u221a
5
5
«
. Logo, as equações das superfícies esféricas são:
S1 : (x \u2212 7/3)2 + (y \u2212 1/6)2 + (z \u2212 1/3)2 = 4/45 e S2 : (x \u2212 1)2 + (y + 1/2)2 + (z + 1)2 = 4/5.
Exemplo 4.7. Determine as coordenadas do centro e o raio da superfície esférica de equação: \u22122x2 \u2212
2y2 \u2212 2z2 + 8x + 12y \u2212 4z + 22 = 0.
Solução: Dividindo-se a equação por \u22122 obtemos: x2 + y2 + z2\u22124x+\u22126y +2z = 11. Completando-se
o quadrado, obteremos: (x\u22122)2 +(y \u22123)2 +(z+1)2 = 25. Logo (2, 3,\u22121) é o centro das superfície esférica
e 5 é o comprimento do raio.
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Geometria Analítica
Plano Tangente à Superfície Esférica. Seja S uma superfície esférica e \u3c0 um plano tal que S \u2229\u3c0 = {T},
onde T é um ponto de tangência. Devemos notar que CT é normal a \u3c0 e que d(C ,T ) = r = |\u2212\u2212\u2192CT |.
Plano Secante à Superfície Esférica. Seja S : x2 + y2 + z2 + ax +by + cz +d = 0 uma superfície esférica
de centro em C e raio r e \u3c0 : mx+ny+pz+q = 0 um plano tal que S\u2229\u3c0 = {\u3be}, onde \u3be é uma circunferência
de centro em C \u2032 e raio r \u2032. Devemos notar que
1. \u3be :
¨
x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0
mx + ny + pz + q = 0
2. a reta s, que passa pelos pontos C e C \u2032,
é uma reta normal ao plano \u3c0;
3. C \u2032 = s \u2229 \u3c0;
4. r \u20322 = r2\u2212 (d(C ,C \u2032))2 ou r \u20322 = r2\u2212 (d(C ,\u3c0))2;
Elipsóide
Uma elipsóide é um conjunto de pontos cujas coordenadas,
em algum sistema, satisfaz à equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, ( 4.59)
nos quais a, b e c representam números reais positivos e não
nulos.
A elipsóide de equação ( 4.59) é simétrica em relação à
origem, aos eixos coordenados x , y e z e aos planos coorde-
nados xy , xz e yz do sistema cartesiano tridimensional. Este
fato se deve a que os pontos (x , y , z), (x ,\u2212y ,\u2212z), (\u2212x , y ,\u2212z),
(\u2212x ,\u2212y , z), (x , y ,\u2212z), (x ,\u2212y , z) e (\u2212x , y , z) satisfazem, respec-
tivamente, esta equação.
x
y
z
As interseções da elipsóide de equação ( 4.59) com o plano
\u22c4 z = k , tal que |k | < c , é uma elipse de equação x
2
a2
\ufffd
1\u2212 k
2
c2
\ufffd +
y2
b2
\ufffd
1\u2212 k
2
c2
\ufffd = 1, z = k .
\u22c4 y = k , tal que |k | < b, é uma elipse de equação x
2
a2
\ufffd
1\u2212 k
2
b2
\ufffd +
z2
c2
\ufffd
1\u2212 k
2
b2
\ufffd = 1, y = k .
\u22c4 x = k , tal que |k | < a, é uma elipse de equação y
2
b2
\ufffd
1\u2212 k
2
a2
\ufffd +
z2
c2
\ufffd
1\u2212 k
2
a2
\ufffd = 1, x = k .
Observe que os comprimentos dos eixos da elipse diminuem à medida que os valores de |k | aumentam
e que, se a = b = c , o elipsóide é uma esfera de raio r = a.
Hiperbolóide
Classificamos os hiperbolóides em hiperbolóide de uma folha e de duas folhas.
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Hiperbolóide de uma folha
x
y
z
O hiperbolóide de uma folha é um conjunto de pontos que satisfaz a uma
das seguintes equações
x2
a2
+
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1, ( 4.60)
x2
a2
\u2212 y
2
b2
+
z2
c2
= 1, ( 4.61)
\u2212x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, ( 4.62)
em que a, b e c são números reais positivos.
Observe que o hiperbolóide de uma folha de equação ( 4.61) é simétrico em relação aos eixos e aos
planos coordenados e à origem (verifique!).
O plano z = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação ( 4.61) segundo a elipse de equação
x2
a2
\ufffd
1 +
k2
c2
\ufffd +
y2
b2
\ufffd
1 +
k2
c2
\ufffd = 1, z = k .
Observe que os eixos da elipse crescem à medida que o valor absoluto |k | aumenta.
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação ( 4.61) segundo a elipse de equação
x2
a2
\u2212 z
2
c2
= 1\u2212
\ufffd
1 +
k2
b2
\ufffd
, y = k .
Se
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
k
b
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
6= 1, então a interseção é uma hipérbole, caso contrário, é um par de retas concorrentes.
O plano x = k intercepta o hiperbolóide de uma folha de equação ( 4.61) segundo a elipse de equação
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1\u2212
\ufffd
1 +
k2
a2
\ufffd
, x = k .
Hiperbolóide de Duas Folhas
x
y
z
O hiperbolóide de duas folhas é um conjunto de pontos que satisfaz a
uma das seguintes equações
\u2212x
2
a2
\u2212 y
2
b2
+
z2
c2
= 1, ( 4.63)
x2
a2
\u2212 y
2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1, ( 4.64)
\u2212x
2
a2
+
y2
b2
\u2212 z
2
c2
= 1, ( 4.65)
em que a, b e c são números reais positivos.
Observe que o hiperbolóide de duas folhas de equação ( 4.64) é simétrico em relação aos eixos e aos
planos coordenados e à origem (verifique!).
O plano z = k , para |k | > c , intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação ( 4.64) segundo a
elipse de equação
x2
a2
\ufffd
k2
c2
\u2212 1
\ufffd +
y2
b2
\ufffd
k2
c2
\u2212 1
\ufffd = 1, z = k .
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Geometria Analítica
O plano y = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação ( 4.64) segundo uma hipérbole de
equação
\u2212 x
2
a2
\ufffd
k2
b2
+ 1
\ufffd +
z2
c2
\ufffd
k2
b2
+ 1
\ufffd = 1, y = k .
Se
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
k
b
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
6= 1, então a interseção é uma hipérbole, caso contrário, a interseção é um par de retas concorrentes
O plano x = k intercepta o hiperbolóide de duas folhas de equação ( 4.64) segundo uma elipse de
equação
\u2212 y
2
b2
\ufffd
k2
a2
+ 1
\ufffd +
z2
c2
\ufffd
k2
a2
+ 1
\ufffd = 1, y = k .
Exercícios Propostos
4.3. Determinar o centro e o raio das circunferências
\u3be1 :
¨
x2 + y2 + z2 \u2212 2x \u2212 2y + 4z \u2212 3 = 0
6x \u2212 5y + 2z + 3 = 0 \u3be2 :
¨
x2 + y2 + z2 \u2212 6x + 4y \u2212 2z \u2212 86 = 0
2x \u2212 2y \u2212 z + 9 = 0
4.4. Determine as equações dos planos tangentes à superfície esférica (x \u2212 1)2 + (y \u2212 2)2 + z2 = 1 que
são paralelos ao plano 2x + y \u2212 z = 0.
4.5. Seja S uma superfície esférica de equação x2 + y2 + z2 + 3x \u2212 7y + 4z \u2212 3 = 0. Verifique a posição
relativa dos pontos O(0, 0, 0), P(1, 5, 2), Q(1, 1, 1) e R(0, 2, 1) em relação a S (interior, exterior ou sobre S).
4.6. Determinar o raio e as coordenadas do centro do círculo que se obtém seccionando a superfície
esférica x2 + y2 + z2 = 16 com um plano \u3c0 : x + y + z \u2212 1 = 0.
4.7. Dada a esfera S : x2 + y2 + z2 \u2212 4x \u2212 2y \u2212 11 = 0. Encontre o seu centro e seu raio.
4.8. Verifique se as equações dadas são equações de superfícies esféricas. Caso afirmativo, dê o centro
e o raio.
(a) x2 + y2 + z2 \u2212 2x + 2y = 0 (b) 2x2 + 2y2 + 2z2 \u2212 6x + 2y \u2212 4z + 7 = 0
4.9. Determine as equações das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:
(a) Centro no ponto C (\u22124, 2, 3) e é tangente ao plano \u3c0 : 2x \u2212
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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