Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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3.10.1 Característica do Produto Vetorial de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.10.2 Comprimento do Vetor Obtido Através do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.10.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial de Dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.10.4 Área de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.11 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.11.1 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.12 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Retas 64
3.13 Equação Vetorial da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.14 Equações Paramétricas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.15 Equações Simétricas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16 Equações Reduzidas da Reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.17 Reta Definida por Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.18 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.19 Esboço da Reta no Espaço R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Planos 68
3.20 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.21 Equações Paramétricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.22 Esboço do Plano no Espaço R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.22.1 Planos Paralelos aos Eixos e aos Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.22.2 Plano que Passa pela Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.22.3 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.22.4 Planos Paralelos aos Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Posições Relativas 72
3.23 Colinearidade entre Três Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.24 Condição de Paralelismo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.25 Condição de Ortogonalidade entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.26 Paralelismo entre Retas e Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.26.1 Somente uma das Componentes do Vetor Diretor é Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.26.2 Duas das Componentes do Vetor Diretor São Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.27 Paralelismo e Perpendicularismo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.28 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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Geometria Analítica
3.28.1 Condições para que uma Reta Esteja Contida num Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ângulos 77
3.29 Ângulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.30 Ângulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.31 Ângulo entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.32 Interseção entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.33 Interseção de Reta com Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.33.1 Interseção entre Plano e os Eixos e Planos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Distâncias 80
3.34 Distância entre Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.35 Distância entre Ponto e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.36 Distância entre Ponto e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.37 Distância entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Superfícies 83
4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Curvas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Discussão e Esboço de uma Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Translação de Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1 Quádricas com Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Superfície Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Plano Tangente à Superfície Esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Plano Secante à Superfície Esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Elipsóide
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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