Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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dessa parábola.
5.2 Etapa 2
5.2.1. Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio vetor
permanece constante e igual a 1. Identifique graficamente o lugar geométrico de P .
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5.2.2. Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial
permanece constante e igual a 60\u25e6. Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico de P .
5.2.3. Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto A(\u22126, 0). Determinar as coorde-
nadas do outro vértice (Dois casos).
5.2.4. Um quadrado com centro na pólo tem como um dos vértices o ponto A(3, \u3c0
3
). Determinar as
medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices.
5.2.5. Verifique se o ponto P(\u22121, \u3c0
6
) pertence à curva C : r2 \u2212 2 cos(2\u3b8) = 0.
5.2.6. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P
\ufffd
4, 4
\u3c0
3
\ufffd
.
5.2.7. Determine a equação polar da reta r que passa ponto P(\u22122, 330\u25e6) e que é perpendicular à reta
t :
1
r
=
\u221a
2
2
· (cos(\u3b8) + sen(\u3b8)). Sugestão: Transforme em coordenadas cartesianas
5.2.8. Determine uma equação polar da circunferência concêntrica com o circunferência C1 : r2 \u2212
4
\u221a
3r cos(\u3b8) + 4r sen(\u3b8) + 7 = 0 e cujo raio é o triplo do raio de C1.
5.2.9. Marque verdadeiro ou falso nas afirmativas a seguir justificando sua resposta.
(a) ( ) A curva r = 3\u2212 4\u221a2 cos \u3b8 é uma limaçon com laço;
(b) ( ) A curva r2 = 3\u2212 2 sen(\u3b8) é simétrica em relação aos eixos polar e a 90\u25e6;
(c) ( ) A curva r = 3\u2212 2 sen(\u3b8) intersecta o eixo a 90\u25e6 nos pontos (1, 90\u25e6) e (5, 270\u25e6);
(d) ( ) As curvas C1 : r = 2
\u221a
5 cos(\u3b8) e C2 : r = 4 sen(3\u3b8) representam rosáceas;
(e) ( ) A quantidade de pétalas numa rosácea depende do coeficiente da variável \u3b8;
(f) ( ) A curva r = 4\u3b8 possui extensão limitada;
(g) ( ) As limaçons de equações r = a ± b cos(\u3b8); a \u2208 R\u2217 e b \u2208 R\u2217+, apresentam simetria em relação ao
eixo polar devido a y = cos(\u3b8) ser uma função par.
5.2.10. Identifique e esboce o gráfico de cada uma das curvas cujas equações polares são:
(a) r2 = \u22122 sen(2\u3b8)
(b) r = 3\u2212 4 cos(\u3b8)
(c) r = 4 sen(\u3b8)
(d) r2 = 8 cos(2\u3b8)
(e) r = 2 sen(3\u3b8)
(f) r = 2\u3b8
(g) r = 4 + 2 sen(\u3b8)
(h) r = 4 cos(2\u3b8)
5.2.11. Determine as intersecções das curvas C1 : r = 2 + 2 cos(\u3b8) e C2 : \u3b8 =
\u3c0
4
.
5.3 Etapa 3
5.3.1. Determine o produto escalar \u2212\u2192a · \u2212\u2192b , o produto vetorial \u2212\u2192a ×\u2212\u2192b e o módulo do vetor projeção de b
sobre a, sabendo-se que \u2212\u2192a = \u2212\u2192\u131 +\u2212\u2192\u3ba e \u2212\u2192b = \u2212\u2192\u131 \u2212\u2212\u2192\uf6be .
5.3.2. Qual o volume do tetraedro formado pelos vetores \u2212\u2192a = (1, 0, 6), \u2212\u2192b = (2, 3,\u22128), \u2212\u2192c = (8,\u22125, 6)?
5.3.3. Qual a distância da origem à reta r : 2x + 3y \u2212 5z = 30; x \u2212 y + z = 10
5.3.4. Determinar a equação do plano mediador do segmento de extremos A(5,\u22121, 4) e B(\u22121,\u22127, 1).
5.3.5. Determine qual a posição relativa entre (a) r : (x , y , z) = (5t, 2 + t, 8) e \u3c0 : 2x + y \u2212 3z = 0; (b)
\u3c0 : 2x + 3y \u2212 5z = 30 e r : (x , y , z) = (2 + t,\u22127, t); (c) \u3c0 : x +4y \u2212 z = 10 e r : (x , y , z) = (7 +2t,\u2212t, 3\u2212 2t).
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5.3.6. Apresente, se possível, o vetor unitário, perpendicular a \u3c0 : (x , y , z) = (2 \u2212 t, 5 \u2212 s + t, 5t + s) e
que forma um ângulo agudo com o semi-eixo positivo Oz.
5.3.7. Qual a equação do plano perpendicular à reta r : (x , y , z) = (2 \u2212 t, 4t, t \u2212 3), passando pela
origem?
5.3.8. Como a reta r : (x , y , z) = (2, 4 + t, 3t) está posicionada em relação ao plano yz?
5.3.9. Pelos pontos A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) e C (3,\u22122, 1) passa um plano \u3b1 e pelos pontos O(0, 0, 0), P(4, 4, 4)
e Q(\u22122, 2, 5) passa um plano \u3b2. Determine a posição relativa entre estes planos.
5.3.10. Quais as equações paramétricas da reta paralela ao plano 2x \u2212 3y + z = 4, perpendicular ao
eixo x e que passa pelo ponto (1, 2,\u22123).
5.3.11. Qual a equação vetorial da reta que passa pela origem, é perpendicular ao eixo z e é ortogonal
à reta AB, sendo A(\u22121, 1, 1) e B(0,\u22123, 4)?
5.3.12. Calcule o ângulo entre os planos \u3c01 : x + y \u2212 2z = 0 e \u3c02 : (x , y , z) = (\u22124 + h, 0, 2 + t), h, t \u2208 R.
5.3.13. Determinar os valores de m e n para que o plano \u3c01 : mx \u2212ny +4z\u22123 = 0 seja paralelo ao plano
\u3c02 : 2x + 4y \u2212 z + 2 = 0.
5.3.14. Determinar o ângulo que a reta r : x \u2212 2
3
=
y
\u22124 =
z + 1
5
forma com o plano \u3c0 : 2x\u2212y+7z\u22121 = 0.
5.3.15. Reduzir as equações de forma a identificar a quádrica que ela representa. Esboce o seu gráfico.
(a) 4x2 \u2212 2y2 + z2 = 1;
(b) 3x2 + 4y2 + z2 \u2212 12x \u2212 8y \u2212 2z + 16 = 0;
5.3.16. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que eqüidistam do plano \u3c0 : x = 2 e do
ponto P(\u22122, 0, 0). Que conjunto é este?
5.3.17. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que eqüidistam das retas r : y = z = 0 e
s : x = y \u2212 1 = 0. Descreva o lugar geométrico.
5.3.18. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos tais que a soma das distâncias de P aos
dois pontos (2, 0, 0) e (\u22122, 0, 0) é igual a 6. Que lugar geométrico é este?
5.3.19. Dê as equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10x \u2212 2y + 4z \u2212 1 = 0 e que
contém um diâmetro da superfície esférica x2 + y2 + z2 + 2x \u2212 6y + z \u2212 11 = 0.
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Referências Bibliográficas
[1] BOULOS, Paulo; Geometria Analítica: Um tratamento Vetorial. 3a edição. São Paulo: Makron
Books, 2.005.
[2] WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 1a edição. São Paulo: Makron Books, 2.000.
[3] WINTERLE, Paulo. STEIMBRUCH, Alfredo; Vetores e Geometria Analítica. 2a edição. São Paulo:
Makron Books, 2.000.
[4] LEHMANN, Charles H.. Geometria Analítica. 7a edição. São Paulo: Globo S.A., 1.991.
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Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
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