Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Hiperbolóide de Duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.2 Quádricas sem Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Parabolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Parabolóide Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Parabolóide Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Superfícies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.1 Equação da Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Atividade Orientada 97
5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
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Apresentação da Disciplina
Caro aluno,
A Geometria Analítica é um ramo da Matemática que estuda o lugar geométrico dos
pontos do plano ou do espaço utilizando os princípios da Álgebra.
Os sistemas de coordenadas se constituem no princípio fundamental para o trata-
mento das equações que descrevem lugares geométricos. Comumente, o de coorde-
nadas cartesianas é utilizado para estabelecer a relação entre as equações e os gráfi-
cos de uma reta, de um plano, ou de lugares geométricos notáveis como, por exemplo,
a parábola ou o cilindro. Entretanto, utilizaremos outros sistemas de coordenadas que
porventura venham a simplificar ou acrescentar o estudo desta relação.
\u201cA geometria Analítica é o resultado de uma frutuosa ligação de dois ramos da
Matemática: a Geometria: que trata de pontos, conjunto de pontos e propriedades a
eles relativos; e a Análise: que estuda os números e as relações entre eles.\u201d (Marques,
1.991)
René Descartes criou, em 1.637, as alicerces da geometria analítica no livro inti-
tulado GEOMETRIA. Este, e os seus princípios filosóficos, serviram de base para o
estudo do Cálculo e que foi, mais tarde, introduzido independentemente por Isaac New-
ton e Gottfried Wilhelm von Leibniz. Alguns pensam que o surgimento da geometria
analítica constituiu o início da matemática moderna.
Este material foi elaborado para servir como referência aos estudos dos alunos do
curso de Geometria Analítica da FTC-EaD.
No Bloco Temático 1, veremos, no Tema 1, As transformações de coordenadas e
as cônicas. No Tema 2, trataremos do Sistema de Coordenadas Polares. Já no Bloco
Temático 2, trataremos, no Tema 3, do estudo dos Vetores, da Retas e dos Planos. Por
fim, no Tema 4, veremos o estudo das Superfícies.
Encontra-se disponível neste material, além dos exercícios resolvidos, questões
propostas, ao final de cada seção. No final, uma atividade orientada foi elaborada para
que seja resolvida individualmente e faça parte de sua de avaliação.
Este trabalho foi preparado com bastante entusiasmo. Cada exemplo, cada exercí-
cio, bem como a distribuição da teoria, foram cuidadosamente pensados com o objetivo
de maximizar o seu aprendizado. Os erros são previsíveis. Portanto, para que pos-
samos melhorar este material a sua contribuição será necessária.
Prof. Ricardo Luiz Queiroz Freitas.
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Geometria Analítica
Transformações, Cônicas e
Coordenadas Polares
As Transformações e as Cônicas
Transformações de Coordenadas
Apresentação
A relação equação algébrica versus representação gráfica se constitui em um dos principais fatores
estudados em geometria analítica. Sabemos, até aqui, quais equações determinam, em um sistema de
coordenadas cartesianas, uma reta e uma circunferência. Entretanto, existem outras curvas importantes
que necessitamos caracterizar. Estas curvas muitas vezes não possuem uma equação que as identifique
facilmente e, por isso, precisamos de ferramentas (transformações) que as simplifique. As transformações
são relações que quando utilizadas modificam outras relações, expressões ou figuras. Por exemplo, as
transformações trigonométricas vistas no estudo de Trigonometria.
1.1 Definição. Duas equações são equivalentes se, e somente se, o conjunto de pontos que satisfazem a
uma das equações, também satisfaz a outra. Por exemplo, as equações (y\u22121)2 = 2x e y2\u22122y\u22122x+1 = 0
são equivalentes.
As transformações de coordenadas das seções 1.1 e 1.2 transformam uma equação em outra
equivalente através de uma modificação na expressão da equação que a representa.
1.1 Translação de Eixos
Transladar um eixo é deslocá-lo ou movimentá-lo paralelamente à posição inicial. Observar-se-á que
ao transladarmos os eixos coordenados de um plano cartesiano, com origem em O, estamos criando um
novo sistema de coordenadas, com origem em O \u2032. A fim de simplificar uma equação por translação de
eixos, contaremos com o seguinte resultado:
1.2 Teorema. Se os eixos coordenados são transladados para uma nova
origem O \u2032(h, k) e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano, antes e
depois da translação de eixos são (x , y) e (x \u2032, y \u2032), respectivamente, então
as equações de translação de coordenadas são dadas por:
¨
x = x \u2032 + h
y = y \u2032 + k .
( 1.1)
x
y
x \u2032
y \u2032
O(0,0)
O\u2032(h,k)
A
B
C
D
E P
Prova: Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O \u2032(h, k), arbitrário, e introduzamos um novo
sistema x \u2032O \u2032y \u2032 tal que os eixos O \u2032x \u2032 e O \u2032y \u2032 tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o
mesmo sentido dos eixos Ox e Oy . Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas em
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relação ao sistema xOy sejam x e y e, em relação ao sistema x \u2032O \u2032y \u2032, sejam x \u2032 e y \u2032. Desta forma, e de
acordo com a figura, temos:
¨
x = OC = OA + AC = x \u2032 + h
y = OD = OB + BD = y \u2032 + k .2
Estas equações de translação nos permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
Exemplo 1.1. Transforme a equação y3\u2212x2\u22126y2\u22122x+12y = 9 por uma translação de eixos coordenados
à nova origem (\u22121, 2).
Solução: Como a origem do sistema x \u2032O \u2032y \u2032 é (\u22121, 2), as equações de translação são
¨
x = x \u2032 \u2212 1
y = y \u2032 + 2
Substituindo os valores de x e de y na equação, temos (y \u2032+2)3\u2212(x \u2032\u22121)2\u22126(y \u2032+2)2\u22122(x \u2032\u22121)+12(y \u2032+2) = 9.
Desenvolvendo-se
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
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