Geometria Analitica
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Geometria Analitica


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os termos, y \u20323 +6y \u20322 +12y \u2032+8\u2212 x \u20322 +2x \u2032\u22121\u22126y \u20322\u221224y \u2032\u221224\u22122x \u2032+2+12y \u2032+24 = 9
e agrupando-os em ordem decrescente dos graus das variáveis, y \u20323 \u2212 x \u20322 = 0.
Exemplo 1.2. Transformar a equação x2 + y2 + 2x \u2212 6y + 6 = 0 para um novo sistema de coordenadas
com origem em (\u22121, 3).
Solução: Neste caso, como as coordenadas da origem do sistema transladado foram dadas, temos
então h = \u22121 e k = 3, e, as equações de translação são
¨
x = x \u2032 \u2212 1
y = y \u2032 + 3.
Substituindo as equações de translação, obtemos: (x \u2032 \u2212 1)2 + (y \u2032 + 3)2 + 2(x \u2032 \u2212 1) \u2212 6(y \u2032 + 3) + 6 = 0.
Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes, temos que x \u20322 + y \u20322 = 4.
Observe, nos exemplos anteriores, que a nova origem do sistema de coordenadas foi especificada.
Porém, a translação é muito utilizada na obtenção de equações mais simples em que a nova origem não
é, necessariamente, especificada. Vejamos, no exemplo seguinte, como encontrar essa nova origem.
Exemplo 1.3. Por uma translação de eixos coordenados transforme a equação 4x2 +y2 +8x\u22126y+1 = 0
em outra desprovida dos termos de grau um.
Solução: Substituindo as equações de translação obtemos:
4(x \u2032 + h)2 + (y \u2032 + k)2 + 8(x \u2032 + h)\u2212 6(y \u2032 + k) + 1 = 0.
Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes, temos que:
4x \u20322 + y \u20322 + (8h + 8)x \u2032 + (2k \u2212 6)y \u2032 + 4h2 + 8h + k2 \u2212 6k + 1 = 0.
Como devemos encontrar os valores de h e k que tornem a equação acima desprovida dos termos de grau
um, então igualaremos a zero os coeficientes das variáveis x \u2032 e y \u2032. Portanto,
¨
8h + 8 = 0
2k \u2212 6 = 0 \u21d2
¨
h = \u22121
k = 3.
Substituindo-se os valores de h e de k encontrados em 4h2 + 8h + k2 \u2212 6k + 1 obtemos \u221212, o termo
independente da equação transladada. Desta forma, a equação transladada fica 4x \u20322 + y \u20322 = 12.
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Exemplo 1.4. Por uma translação de eixos transforme a equação y2 + 6y = 8x \u2212 17 em outra mais
simples possível.
Solução: Substituindo as equações de translação, obtemos: (y \u2032 + k)2 + 6(y \u2032 + k) = 8(x \u2032 + h) \u2212 17.
Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes desta última equação, temos que: y \u20322 + (2k + 6)y \u2032 \u2212
8x \u2032 + k2 + 6k \u2212 8h + 17 = 0. Como devemos encontrar os valores de h e k que tornem a equação acima
o mais simples possível, e os únicos termos que aparecem nesta equação com as incógnitas h e k são os
coeficiente de y \u2032 e o termo independente, então os igualaremos a zero para transformar a equação dada
em uma outra com quantidade de termos menor. Portanto,
¨
2k + 6 = 0
k2 + 6k \u2212 8h + 17 = 0 \u21d2
¨
k = \u22123
h = 1
Desta forma, a equação transladada fica y \u20322 \u2212 8x \u2032 = 0.
Trabalharemos, logo, com equações de grau dois e, por ser de fácil aplicação, utilizaremos o método
do complemento de quadrados para encontrar a equação da cônica com os eixos transladados para uma
nova origem conveniente.
1.1.1 Método do Complemento de Quadrado
O complemento de quadrado consiste em obter, a partir do binômio x2+bx , o trinômio quadrado perfeito

x +
b
2
‹2
ao se adicionar o termo

b
2
‹2
ao binômio. De fato,
x2 + bx +

b
2
‹2
= x2 + 2
b
2
x +

b
2
‹2
=

x +
b
2
‹2
.
Observe que este método é empregado em um binômio ax2 + bx , onde a = 1. Se a 6= 1 devemos isolar o
coeficiente a antes de utilizar o método.
Exemplo 1.5. Transforme a expressão 4x2 + 2x em um trinômio quadrado perfeito.
Solução: Como o coeficiente do termo de grau 2 é diferente de 1, escrevamos 4

x2 +
1
2
x
‹
. Assim,

1
4
‹2
=
1
16
e a expressão 4

x2 +
1
2
x +
1
16
‹
= 4

x +
1
4
‹2
.
Podemos, ao adicionar ou multiplicar ambos os membros de uma equação por um número real e não
nulo, transformá-la em outra equação equivalente. Assim, dada uma equação, com uma ou mais variáveis
de grau dois, a transformação de um binômio em um trinômio quadrado perfeito pode ser utilizada para
determinar uma outra equação equivalente e mais simples que a original, sem termos necessariamente
que utilizar as equações de transformação de coordenadas. Este processo de transformação de uma
equação em outra equivalente chamaremos de método do complemento de quadrado.
Exemplo 1.6. Por complemento de quadrados, transforme a equação x2 \u2212 2y2 + 4x + 24y \u2212 69 = 0 em
outra equivalente e mais simples.
Solução: Agrupemos os termos semelhantes e os arrumemos de modo a transformar os binômios da
equação dada em trinômios quadrados perfeitos, ou seja, (x2 + 4x) \u2212 2(y2 \u2212 12y) = 69. Transformemos
esta em outra equação equivalente de modo que os binômios (x2 + 4x) e (y2 \u2212 12y) sejam transformados
em trinômios quadrados perfeitos. Desta forma, ao somarmos os números 4 ao binômio (x2 + 4x) e
36 ao binômio (y2 \u2212 12y) devemos somar 4 e \u221272 ao segundo membro já que queremos uma equação
equivalente, ou seja, (x2 + 4x + 4)\u2212 2(y2 \u2212 12y + 36) = 69 + 4\u2212 72. Segue que, (x + 2)2 \u2212 2(y \u2212 6)2 = 1.
Se fizermos x + 2 = x \u2032 e y \u2212 6 = y \u2032, podemos escrever: x \u20322 \u2212 2y \u20322 = 1.
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1.1.2 Exercícios Propostos
1.1. Complete os quadrados das seguintes expressões:
(a) y2 + 8y \u2212 x2 \u2212 2x = \u221211; (b) 4y2 + 18y + 9x2 \u2212 24x = \u22129; (c) \u22123x2 \u2212 y2 + 3x + 4y = 5.
1.2. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para a nova
origem indicada.
(a) x2 + y2 + 2x \u2212 6y + 6 = 0, O \u2032(\u22121; 3);
(b) xy \u2212 3x + 4y \u2212 13 = 0, O \u2032(\u22124; 3);
(c) x2 \u2212 4x + y2 \u2212 6y \u2212 12 = 0, O \u2032(1; 1);
(d) 4x2 \u2212 y2 \u2212 24x + 4y + 28 = 0, O \u2032(3; 2);
(e) x3 \u2212 3x2 \u2212 y2 + 3x + 4y = 5, O \u2032(1; 2).
1.3. Usando uma translação de eixos coordenados,
(a) simplifique a equação x2 +y2 +6x\u22122y+6 = 0 indicando qual a nova origem e quais são as equações
de transformação;
(b) utilizando a translação do ítem anterior, determine as coordenadas do ponto P(1;\u22122) em relação ao
sistema x \u2032O \u2032y \u2032 e as coordenadas de Qx\u2032y \u2032 (2; 1) no sistema xOy .
1.4. Usando uma translação de eixos coordenados,
(a) simplifique a equação y2\u2212x2\u22128y+2x\u22124 = 0 indicando qual a nova origem e quais são as equações
de transformação;
(b) utilizando a translação do ítem anterior, determine as coordenadas do ponto P(\u22122, 3) em relação ao
sistema x \u2032O \u2032y \u2032 e às coordenadas de Qx\u2032y \u2032 (1; 2) no sistema xOy .
1.5. Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que
reduzem à forma canônica a equação dos círculos:
(a) x2 + y2 \u2212 2x + 4y = 4; (b) x2 + y2 + 6x \u2212 8y = 0; (c) x2 + y2 + 2x \u2212 8y + 16 = 0.
1.6. Converta os pontos, como se pede, usando a translação indicada pela nova origem O \u2032.
(a) P(2; 3) xy para x \u2032y \u2032, com O \u2032(\u22121; 5);
(b) Q(4;\u22122) x \u2032y \u2032 para xy , com O \u2032(2;\u22123);
(c) R(1; 0) xy para x \u2032y \u2032, com O \u2032(0; 4);
(d) S(0;\u22124) x \u2032y \u2032 para xy , com O \u2032(\u22122; 0).
1.7. Por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação dada em outra desprovida de
termos do 1\u25e6 grau, se possível.
(a) x2 + y2 \u2212 2x + 4y \u2212 4 = 0;
(d) y2 \u2212 4x + 2y + 9 = 0;
(b) x2 + y2 + 6x \u2212 8y = 0;
(e) x2 \u2212 4y2 \u2212 4x \u2212 24y \u2212 36 = 0.
(c) 3x2 + 2y2 + 18x \u2212 8y + 29 = 0;
1.2 Rotação de Eixos
Rotacionar um eixo consiste em girarmos o eixo tomando como base para esse deslocamento radial
um ponto fixo. O sentido anti-horário da rotação é convencionado como o positivo.
Ao se rotacionar os eixos coordenados xOy , fixando-se a origem O, estamos criando um novo sis-
tema de coordenadas x \u2032Oy \u2032, com origem em O. A fim de simplificar uma equação por rotação de eixos
contaremos com o seguinte resultado:
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1.3 Teorema. Se girarmos os eixos coordenados de um ângulo \u3b8, fixando-se a origem O, e se as
coordenadas de qualquer ponto P do plano antes e depois da rotação de eixos são (x , y) e (x \u2032, y \u2032), respec-
tivamente, então as equações de rotação são dadas por:
¨
x = x \u2032 cos(\u3b8)\u2212 y \u2032 sen(\u3b8)
y = x \u2032 sen(\u3b8) + y \u2032 cos(\u3b8).
( 1.2)
Na forma matricial, temos:
–
x
y
™
=
–
cos(\u3b8) \u2212 sen(\u3b8)
sen(\u3b8) cos(\u3b8)
™
·
–
x \u2032
y \u2032
™
.
Prova: Consideremos o plano Oxy e seja \u3b8 o ângulo de rotação o
qual é obtido um novo sistema O \u2032x \u2032y \u2032 tal que os eixos O \u2032x \u2032 e O \u2032y \u2032
tenham a mesma unidade de medida de Ox e Oy . Seja P um ponto
qualquer do plano tal que suas coordenadas em relação ao sistema
Oxy são x e y e, em relação ao sistema O \u2032x \u2032y \u2032
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
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kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
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