Geometria Analitica
102 pág.

Geometria Analitica


DisciplinaCálculo Vetorial e Geometria Analítica3.247 materiais76.466 seguidores
Pré-visualização32 páginas
são x \u2032 e y \u2032. Desta
forma, e de acordo com a figura, temos: x
y
x \u2032
y \u2032
O A
A\u2032
P
r
\u3b8
\u3c6
¨
x \u2032 = OA\u2032 = r cos(\u3c6)
y \u2032 = A\u2032P = r sen(\u3c6)
( 1.3) e
¨
x = OA = r cos(\u3b8 + \u3c6) = r cos(\u3b8) cos(\u3c6) \u2212 r sen(\u3b8) sen(\u3c6)
y = AP = r sen(\u3b8 + \u3c6) = r sen(\u3b8) cos(\u3c6) + r sen(\u3b8) cos(\u3c6)
( 1.4)
Portanto, substituindo-se ( 1.3) em ( 1.4), temos:
¨
x = x \u2032 cos(\u3b8)\u2212 y \u2032 sen(\u3b8)
y = x \u2032 sen(\u3b8) + y \u2032 cos(\u3b8).2
Exemplo 1.7. Determinar as novas coordenadas do ponto (3;\u22124) quando os eixos coordenados são
girados de 45\u25e6.
Solução: Pelo teorema acima, as equações de transformação são
3 = x \u2032 cos(45\u25e6)\u2212 y \u2032 sen(45\u25e6) =
\u221a
2
2
(x \u2032 \u2212 y \u2032)
\u22124 = x \u2032 sen(45\u25e6) + y \u2032 cos(45\u25e6) =
\u221a
2
2
(x \u2032 + y \u2032)
Resolvendo o sistema, obtemos x \u2032 = \u2212
\u221a
2
2
e y \u2032 = \u22127
\u221a
2
2
.
Exemplo 1.8. Por meio de uma rotação de 30\u25e6 dos eixos coordenados, transforme a equação
2x2 +
\u221a
3xy + y2 = 4.
Solução:
–
x
y
™
=
–
cos(30\u25e6) \u2212 sen(30\u25e6)
sen(30\u25e6) cos(30\u25e6)
™
·
–
x \u2032
y \u2032
™
=
2
6
4
\u221a
3
2
\u22121
2
1
2
\u221a
3
2
3
7
5
·
–
x \u2032
y \u2032
™
\u21d4
8
>
<
>
:
x =
\u221a
3
2
x \u2032 \u2212 1
2
y \u2032
y =
1
2
x \u2032 +
\u221a
3
2
y \u2032
Substituindo-se na equação da curva:
2
‚\u221a
3
2
x \u2032 \u2212 1
2
y \u2032
Œ2
+
\u221a
3
‚\u221a
3
2
x \u2032 \u2212 1
2
y \u2032
Œ‚
1
2
x \u2032 +
\u221a
3
2
Œ
+
‚
1
2
x \u2032 +
\u221a
3
2
Œ2
= 4.
Simplificando-a, encontramos:
5
2
x \u20322 +
1
2
y \u20322 = 4.
12
Exemplo 1.9. Por meio de uma rotação dos eixos coordenados, transforme a equação (3x \u2212 4y)2 \u2212
10(4x \u2212 3y) = 0 em outra equação desprovida do termo em x \u2032y \u2032.
Solução: (3x \u2212 4y)2 \u2212 10(4x \u2212 3y) = 0 \u21d4 9x2 \u2212 24xy + 16y2 \u2212 40x \u2212 30y = 0. Sendo assim,
\u221224xy = \u221224[x \u2032 cos(\u3b8)\u2212 y \u2032 sen(\u3b8)][x \u2032 sen(\u3b8) + y \u2032 cos(\u3b8)]
= \u221224[x \u20322 sen(\u3b8) cos(\u3b8) + x \u2032y \u2032 cos2(\u3b8)\u2212 x \u2032y \u2032 sen2(\u3b8) \u2212 y \u20322 sen(\u3b8) cos(\u3b8)]
= \u221224{(x \u20322 \u2212 y \u20322) sen(\u3b8) cos(\u3b8) + x \u2032y \u2032[cos2(\u3b8)\u2212 sen2(\u3b8)]}
Como queremos uma equação desprovida do termo x \u2032y \u2032, devemos encontrar o valor de \u3b8 tal que seu
coeficiente seja nulo.
cos2(\u3b8)\u2212 sen2(\u3b8) = [cos(\u3b8) + sen(\u3b8)][cos(\u3b8) \u2212 sen(\u3b8)] = 0 \u21d4 cos(\u3b8)\u2212 sen(\u3b8) = 0 ou cos(\u3b8) + sen(\u3b8) = 0
\u21d4 cos(\u3b8) = sen(\u3b8) ou cos(\u3b8) = \u2212 sen(\u3b8).
Segue que \u3b8 = \u3c0
4
+ k
\u3c0
2
, k \u2208 Z.
1.2.1 A Equação Geral de Grau Dois
O teorema a seguir nos apresenta uma forma de obter, a partir de uma equação geral de grau dois, o
ângulo de rotação dos eixos coordenados de modo a obter uma equação desprovida do termo xy , dado
no sistema a priori.
1.4 Definição. A equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y é dada por
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0. ( 1.5)
1.5 Teorema. A equação ( 1.5) pode ser sempre transformada na equação
a\u2032x \u20322 + c \u2032y \u20322 + d \u2032x \u2032 + e \u2032y \u2032 + f \u2032 = 0, ( 1.6)
onde a inexistência do termo de segundo grau x \u2032y \u2032 se deve as equações de rotação dos eixos coordenados
por um ângulo agudo \u3b8, positivo, tal que
tg(2\u3b8) =
b
a \u2212 c , se a 6= c , e \u3b8 =
\u3c0
4
, se a = c .
Prova: Das equações de rotação
¨
x = x \u2032 cos(\u3b8)\u2212 y \u2032 sen(\u3b8)
y = x \u2032 sen(\u3b8) + y \u2032 cos(\u3b8),
temos que
8
>
<
>
:
x2 = x \u20322 cos2 \u3b8 \u2212 2x \u2032y \u2032 cos(\u3b8) sen(\u3b8) + y \u20322 sen2 \u3b8
x · y = x \u20322 sen(\u3b8) cos(\u3b8) + x \u2032y \u2032 cos2 \u3b8 \u2212 x \u2032y \u2032 sen2 \u3b8 \u2212 y \u20322 sen(\u3b8) cos(\u3b8)
y2 = x \u20322 sen2 \u3b8 + 2x \u2032y \u2032 cos(\u3b8) sen(\u3b8) + y \u20322 cos2 \u3b8,
ou seja,
8
>
<
>
:
x2 = x \u20322 cos2 \u3b8 \u2212 sen(2\u3b8)x \u2032y \u2032 + y \u20322 sen2 \u3b8
x · y = (x \u20322 \u2212 y \u20322) sen(\u3b8) cos(\u3b8) + cos(2\u3b8)x \u2032y \u2032
y2 = x \u20322 sen2 \u3b8 + sen(2\u3b8)x \u2032y \u2032 + y \u20322 cos2 \u3b8,
Multiplicando-se, respectivamente, estas três últimas equações pelas constantes a, b e c , e as somando,
teremos (\u2212a + c) sen(2\u3b8) + b cos(2\u3b8). como coeficiente do termo x \u2032y \u2032. Finalmente, como queremos a
inexistência deste termo, igualamos a zero o coeficiente obtido, obtendo
tg(2\u3b8) =
b
a \u2212 c , se a 6= c , e \u3b8 =
\u3c0
4
, se a = c .2
13
Geometria Analítica
Exemplo 1.10. Descubra qual o ângulo de rotação que transforma cada equação a seguir em outra
desprovida do termo misto de grau dois.
(a) 2x2 +\u221a3xy + y2 = 4; (b) 3x2 \u2212 2xy + 3y2 \u2212 16 = 0; (c) 9x2\u221224xy +16y2\u221240x\u221230y = 0.
Solução:
(a) a = 2, b = \u221a3, c = 1 e f = \u22124, e como a 6= c , pelo Teorema 1.5, tg(2\u3b8) =
\u221a
3
2\u2212 1 =
\u221a
3. Logo \u3b8 = 30\u25e6.
(b) a = c = 3. Logo \u3b8 = 45\u25e6.
(c) a = 9, b = \u221224, c = 16, d = \u221240, e = \u221230 e f = 0. Portanto, tg(2\u3b8) = \u221224
9\u2212 16 =
24
7
. Neste caso, é
impossível exibir um ângulo \u3b8 sem auxílio de uma calculadora ou uma tábua trigonométrica. No entanto,
pelas relações métricas num triângulo retângulo, temos sen(2\u3b8) = 24
25
e cos(2\u3b8) =
7
25
. De acordo com as
identidades trigonométricas sen2(\u3b8) = 1\u2212 cos(2\u3b8)
2
e cos2(\u3b8) =
1 + cos(2\u3b8)
2
, encontramos sen(\u3b8) = ±3
5
e
cos(\u3b8) = ±4
5
. Considerando 0 < \u3b8 < 90\u25e6, o ângulo de rotação é \u3b8 = arctg

3
4
‹
.
Exemplo 1.11. Através de uma rotação dos eixos, transforme a equação 5x2+4xy+2y2\u221224x\u221212y+29 =
0 em outra desprovida do termo misto de grau dois.
Solução: Sabemos que tg(2\u3b8) = b
a\u2212 c =
4
3
, cos(2\u3b8) =
1
sec(2\u3b8)
=
1
È
1 + tg2(2\u3b8)
=
1
r
1 +
4
3
2
=
5
3
.
Assim, cos(\u3b8) =
r
1 + cos(2\u3b8)
2
=
Ì
1 +
3
5
2
=
2\u221a
5
e sen(\u3b8) =
r
1\u2212 cos(2\u3b8)
2
=
Ì
1\u2212 3
5
2
=
1\u221a
5
. Logo, as
equações de rotação são:
x = x \u2032 cos(\u3b8) \u2212 y \u2032 sen(\u3b8) = (2x \u2032 \u2212 y \u2032) 1\u221a
5
y = x \u2032 sen(\u3b8) + y \u2032 cos(\u3b8) = (x \u2032 + 2y \u2032)
1\u221a
5
substituindo-se na equação obtemos a equação geral: 6x \u20322 + y \u20322 \u2212 12\u221a5x \u2032 + 29 = 0.
1.2.2 Exercícios Propostos
1.8. Por uma rotação dos eixos, seguida do ângulo indicado, transforme cada uma das equações.
(a) xy2 \u2212 18 = 0, \u3b8 = \u3c0
4
rad; (b) 2x + 5y = 3, \u3b8 = arctg

5
2
‹
;
1.9. Por uma rotação dos eixos coordenados, transforme cada uma das equações dadas em outra de-
sprovida do termo indicado.
(a) x2 \u2212 2xy + y2 = 4, x \u2032y \u2032; (b) x + 2y = 2, y \u2032;
1.10. Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação.
(a) 4x2 + y2 + 8x \u2212 10y + 13 = 0
(b) 3x2 \u2212 2xy + 3y2 + 2\u221a2x \u2212 6\u221a2y + 2 = 0
(c) 4x2 \u2212 5y2 + 12x + 40y + 29 = 0
(d) 13x2 + 6xy + 21y2 + 34x \u2212 114y + 73 = 0
(e) x2 \u2212 6x \u2212 5y + 14 = 0
(f) 4x2 \u2212 12xy + 9y2 \u2212 8\u221a13x = 14\u221a13y \u2212 117
(g) 4x2 \u2212 3y2 + 24x \u2212 12y + 17 = 0
(h) 6x2 \u2212 4xy + 9y2 \u2212 20x \u2212 10y \u2212 5 = 0
(i) 12x2 + 8xy \u2212 3y2 + 64x + 30y = 0
(j) 2x2 \u2212 4xy \u2212 y2 \u2212 4x \u2212 8y + 14 = 0
(k) y2 \u2212 4x + 10y + 13 = 0
(l) 2x2 \u2212 12xy + 7y2 \u2212 4x \u2212 8y + 14 = 0
(m) 7x2 + 6xy \u2212 y2 \u2212 2x \u2212 10y \u2212 9 = 0
(n) 25x2 + 20xy + 4y2 + 30x + 12y \u2212 20 = 0
14
Cônicas
1.3 Introdução
Considere e e g duas retas concorrentes, não perpendiculares, cuja intersecção é um ponto O. Man-
tenha fixa uma das retas, por exemplo e (eixo), e façamos girar 360\u25e6 em torno desta, mediante um ângulo
constante, a outra reta g (geratriz). O objeto gerado é chamado de superfície cônica formada por duas
folhas ou, simplesmente, superfície cônica, e separadas pelo vértice O. O conjunto de pontos obtidos pela
intersecção de um plano \u3c0 com a superfície cônica é chamada de seção cônica, ou simplesmente cônica.
Ao seccionarmos uma superfície cônica por um plano arbitrário \u3c0, que não contém o vértice O, obteremos
uma cônica dita não degenerada, e, à medida que variamos a posição do plano de corte \u3c0, obtemos a:
\u2022 Parábola: o plano \u3c0 é paralelo a uma geratriz da superfície cônica.
\u2022 Elipse: o plano \u3c0 é não paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície cônica;
\u2022 Hipérbole: o plano \u3c0 é não paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície cônica.
Seja \u3c00 o plano de corte que contém o vértice O da superfície. A cônica se degenerará em: um ponto,
se o plano \u3c00 intercepta somente o vértice; uma reta, se o plano \u3c00 contém somente uma geratriz; duas
retas, se o plano \u3c00 contém o eixo e.
As cônicas possuem equações, chamadas reduzidas ou canônicas, que se tornam mais úteis, visto
que, através destas, podemos determinar certos elementos que as melhor caracterizam-nas. Entretanto,
para chegarmos a estas equações definiremos, de outra maneira, cada cônica e seus elementos.
1.4 A Parábola
1.6 Definição. Considere um plano \u3c0 determinado por uma reta \u2113 e um ponto F não pertencente a esta
reta. A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano \u3c0 que eqüidistam de F e de \u2113.
Segue da definição que dado um ponto fixo F e uma reta \u2113, um ponto P do plano está eqüidistante
destes se, e somente se, pertence a uma parábola, ou seja,
d(P ,F ) = d(P , \u2113) \u21d4 P \u2208 Parábola.
Leonardo
Leonardo fez um comentário
precisava de algumas resoluções desses exercícios
2 aprovações
kerolainny
kerolainny fez um comentário
muito bom
2 aprovações
Carregar mais