Lista 5 - Derivadas II

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
DERIVADAS II
Prof.: Alonso Sepu´lveda Castellanos Sala 1F 106
a) Calcular as derivadas sucessivas ate´ de ordem n indicada.
1) f(x) =
√
3− x2 ;n = 2 2) f(x) = 1
x− 1 ;n = 4 3) f(x) =
1
ex3
;n = 4
4) f(x) = e2x+1 ;n = 3 5) f(x) = ln(2x) ;n = 2 6) f(x) = tg x ;n = 3
b) Considere y como varia´vel independente e x como varia´vel dependente e use a diferenciac¸a˜o
impl´ıcita para encontrar dx/dy.
1) y4 + x2y2 + yx4 = y + 1 2) (x2 + y2)2 = ax2y
c) Em que pontos a reta tangente a` curva y2 = 2x3 e´ perpendicular a` reta 4x− 3y + 1 = 0?
d) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
1)
x2
16
− y
2
9
= 1 ; (−5, 9
4
) 2) y2 = x3(2− x) ; (−1, 4√2)
3)x2/3 + y2/3 = 4 ; (−3√3, 1) 4) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2) ; (3, 1)
5)x2y2 = (y + 1)2(4− y2) ; (0,−2) 6) y(y2 − 1)(y − 2) = x(x− 1)(x− 2) ; (0, 1)
e) Encontre a derivada da func¸a˜o e simplifique onde poss´ıvel.
1) y = arcsec (x2) 2) y = (arcsen x)2 3) y = arctg (ex)
4) y =
√
1− x2arcsen x 5) y = e−x − e−2x 6) y = xarccos x−√1− x2
7)F (x) = x2arccotg (3x) 8) y = arctg (cos θ) 9) y = x2arccossec x
10)h(x) = (1− x2)arctg x 11) y = xe 1x 12) y = ln(sec(3x) + tg (3x))
13) y = ln(x+
√
x2 + 1) 14) y = [ln(x2 + 1)]3 15) f(t) =
tet
ln(3t+ 1)
16) g(t) =
et − e−t
et + e−t
17) y = ex
2
ln(1 +
√
x) 18) f(x) = 5x + log3(x
2 + 1)
19) g(x) = xsen (3x) 20) y = 2x
2
+ 32x 21) g(t) = ln(1 + tt)
22) y = xx
x
23) y = (1 + x)e
−x
24) y =
(
1 +
1
x
)x
f) Verifique que a func¸a˜o satisfaz as treˆs hipo´teses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Enta˜o
encontre todos os valores c que satisfazem a conclusa˜o do Teorema de Rolle.
1) f(x) = x2 − 4x+ 1 ; [0, 4] 2) f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 5 ; [0, 2]
3) f(x) = sen(2pix) ; [−1, 1] 4) f(x) = x√x+ 6 ; [−6, 0]
g) Verifique que a func¸a˜o satisfaz as treˆs hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio sobre o intervalo dado.
Enta˜o encontre todos os valores c que satisfazem a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio.
1) f(x) = 3x2 + 2x+ 5 ; [−1, 1] 2) f(x) = x3 + x− 1 ; [0, 2]
3) f(x) = e−2x ; [0, 3] 4) f(x) =
x
x+ 2
; [1, 4]
h) Encontre os seguintes limites usando a regra de L’Hopital:
1) lim
x→1
x9 − 1
x5 − 1 2) limx→0
tg (x)
x
3) lim
x→+∞
ln(lnx)
x
4) lim
x→0
5x − 3x
x
5) lim
t→16
4
√
t− 2
t− 16 6) limx→+∞
(lnx)3
x2
7) lim
x→0
x
arctg (4x)
8) lim
x→0
1− e−2x
senx
9) lim
x→0
(cossec x− cot x)
10) lim
x→0+
(
3x+ 1
x
− 1
sen(x)
)
11) lim
x→pi/4
sec2(x)− 2tg(x)
1 + cos(4x)
12) lim
θ→0
θ − sen(θ)
tg3(θ)
13) lim
x→0
(
1
x
− cossec x
)
14) lim
x→1
(
1
lnx
− 1
x− 1
)
15) lim
x→+∞
x(ln 2)/(1+lnx)
16) lim
x→+∞
(ex + x)1/x 17) lim
x→0+
xtg x 18) lim
x→+∞
(
2x− 3
2x+ 5
)2x+1
19) lim
x→0
|x|x 20) lim
x→+∞
x lnx
x+ lnx
21) lim
x→0+
(− lnx)x
“Na˜o andem ansiosos por coisa alguma, mas em tudo, pela orac¸a˜o e su´plicas, e com ac¸a˜o de grac¸as,
apresentem seus pedidos a Deus” Filipenses 4:6
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