Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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de
\u2212\u2212\u2192
CD .
4. Determine se o pontoD pertence ao plano que contém os pontos A, B e C,
onde:
a. A = (1, 0, 1) , B = (0, 0, 0) , C = (0, 1, 0) , D = (2,\u2212\u221a2, 2) .
b. A = (0, 1,\u22121) , B = (3, 1, 1) , C = (0, 1,\u22121) , D = (2, 1, 2) .
c. A = (2, 2, 0) , B = (0, 0,\u22122) , C = (2, 3, 0) , D = (1,\u22121, 0) .
d. A = (3, 1, 1) , B = (1, 0, 1) , C = (3, 3, 0) , D = (3,\u22123, 3) .
5. Dentre os vetores dados abaixo, determine as possíveis bases do espaço, isto
é, determine todos os possíveis conjuntos de três vetores LI.
\u2212\u2192v1 = (1, 1, 0), \u2212\u2192v2 = (2, 0,\u22121), \u2212\u2192v3 = (2, 2, 2), \u2212\u2192v4 = (1, 1, 1),
\u2212\u2192v5 = (0, 0,\u22122), \u2212\u2192v6 = (3, 1,\u22122), \u2212\u2192v7 = (0, 1, 1), \u2212\u2192v8 = (1, 1, 0).
No Exercício 6...
Você deve determinar, em cada
caso, escalares x, y e z, tais que
\u2212\u2192w = (x, y, z)B .
Isto é,
\u2212\u2192w = x\u2212\u2192v1 + y\u2212\u2192v2 + z\u2212\u2192v3 .
6. Determine as coordenadas do vetor \u2212\u2192w = (2, 1, 0) em relação à base B =
{\u2212\u2192v1 , \u2212\u2192v2 , \u2212\u2192v3 }, onde:
a. \u2212\u2192v1 = (1, 1, 0), \u2212\u2192v2 = (0, 1, 1), \u2212\u2192v3 = (1, 0, 1) .
b. \u2212\u2192v1 = (1, 1, 1), \u2212\u2192v2 = (1, 1,\u22121), \u2212\u2192v3 = (1,\u22121, 1) .
c. \u2212\u2192v1 = (0, 1, 0), \u2212\u2192v2 = (0,\u22121, 1), \u2212\u2192v3 = (0, 0, 1) .
Auto-avaliação
É muito importante que você entenda como interpretar a colinearidade e
a coplanaridade em termos de vetores. Se você entendeu, então não deve ter
dificuldade para resolver os exercícios, eles servem apenas para fixar as idéias e
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Colinearidade, coplanaridade e dependência linear
familiarizar você com os conceitos de dependência e independência linear. Não
acumule dúvidas, troque idéias com seus colegas e procure os tutores.
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Equações paramétricas de retas e planos
MÓDULO 2 - AULA 17
Equações paramétricas de retas e planos
Objetivos
\u2022 Estabelecer as equações paramétricas de retas e planos no espaço usando
dados diversos.
Retas e planos ...
Nas Aulas 20 e 21, veremos
como determinar as equações de
retas e planos no espaço
utilizando os conceitos de
produto interno e produto vetorial
de vetores no espaço.
Na Aula 3, do Módulo 1, vimos como determinar as equações paramétricas
de uma reta no plano. Nesta aula, veremos como determinar as equações paramé-
tricas de uma reta no espaço e as equações paramétricas de um plano no espaço.
Para isso, as noções de dependência linear de vetores no espaço, estudadas na aula
anterior, serão de grande utilidade.
Equações paramétricas de uma reta no espaço
Começamos considerando um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas
OXY Z no espaço. Dados dois pontos distintos A e B no espaço, caracterizamos
a reta r que os contém como sendo o conjunto dos pontos P do espaço que são
colineares com A e B.
Como vimos na Aula 17, o ponto P será colinear com A e B se, e somente
se, o vetor
\u2212\u2212\u2192
AP for múltiplo do vetor
\u2212\u2212\u2192
AB . Isto é, os pontos da reta r são carac-
terizados da seguinte maneira:
P \u2208 r \u21d0\u21d2 \u2212\u2212\u2192AP = t\u2212\u2212\u2192AB , para algum escalar t \u2208 R (19)
Lembrando que
\u2212\u2212\u2192
AP =
\u2212\u2212\u2192
OP \u2212 \u2212\u2212\u2192OA , temos que \u2212\u2212\u2192AP = t\u2212\u2212\u2192AB equivale a\u2212\u2212\u2192
OP \u2212\u2212\u2212\u2192OA = t\u2212\u2212\u2192AB , isto é, a \u2212\u2212\u2192OP = \u2212\u2212\u2192OA + t\u2212\u2212\u2192AB .
Convenção
Sabemos que, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas
OXY Z, as coordenadas de um ponto Q são exatamente as coordenadas do ve-
tor
\u2212\u2212\u2192
OQ . Portanto, convencionamos em escrever apenas Q em se tratando do
vetor
\u2212\u2212\u2192
OQ . Desta forma podemos definir a adição de um ponto Q com um vetor
\u2212\u2192v como sendo a extremidade R (ou o vetor\u2212\u2212\u2192OR ) da soma\u2212\u2212\u2192OQ +\u2212\u2212\u2192QR , ondeQR
é um segmento representante do vetor \u2212\u2192v com origem no ponto Q.
Com esta convenção, o fato de o ponto P pertencer à reta r que contém A
e B se exprime das seguintes duas formas equivalentes:
\u2212\u2212\u2192
OP =
\u2212\u2212\u2192
OA + t
\u2212\u2212\u2192
AB \u21d0\u21d2 P = A+ t\u2212\u2212\u2192AB
Assim, a caracterização de r dada em (19) equivale à seguinte:
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Equações paramétricas de retas e planos
r = {P |P = A+ t\u2212\u2212\u2192AB , t \u2208 R} (20)
Na equação (20), dizemos que o vetor\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB é um gerador ou um vetor
direção da reta r, e que a equação
P = A+ t\u2212\u2192v , t \u2208 R (21)
é uma equação vetorial paramétrica de r. O número t \u2208 R é chamado o parâme-
tro do ponto P na equação (21).
Parâmetro
Todos os pontos da reta r dada
pela equação (21) são obtidos
variando o parâmetro t. Por
exemplo, observe que o ponto A,
que obviamente pertence a r, é
obtido tomando t = 0 na
equação (21).
Em relação ao sistema OXY Z, escrevemos A = (a1, b1, c1) e B =
(a2, b2, c2). Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r que passa por A e B
se, e somente se, para algum t \u2208 R:
(x, y, z) = (a1, b1, c1) + t(a2 \u2212 a1, b2 \u2212 b1, c2 \u2212 c1)
= (a1 + t(a2 \u2212 a1), b1 + t(b2 \u2212 b1), c1 + t(c2 \u2212 c1)) ;
igualando as coordenadas respectivas, obtemos as seguintes equações paramétri-
cas que descrevem as coordenadas dos pontos da reta r
r :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = a1 + t u1y = b1 + t u2z = c1 + t u3 , t \u2208 R (22)
onde u1 = a2 \u2212 a1 , u2 = b2 \u2212 b1 e u3 = c2 \u2212 c1 são as coordenadas do vetor
\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB = (u1, u2, u3). Dizemos também que a reta que passa por A e B é
paralela ao vetor \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB .
Fig. 63: Reta por O e V . Fig. 64: Reta passando por A paralela à reta OV .
Geometricamente, se V é o ponto do espaço, tal que\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192OV , então os ve-
tores da forma t\u2212\u2192v = t\u2212\u2212\u2192OV = t(u1, u2, u3) = (tu1, tu2, tu3), t \u2208 R , são represen-
tados na reta que contém O e V , pelo segmento OVt, no qual Vt = (tu1, tu2, tu3).
Os pontos Vt percorrem toda a reta que contém O e V quando t percorre todos os
valores reais (Figura 63).
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Equações paramétricas de retas e planos
MÓDULO 2 - AULA 17
O fato de adicionar
\u2212\u2212\u2192
OA a um vetor da forma t\u2212\u2192v é interpretado
geometricamente como a ação de transladar o segmento OVt , de modo que a
sua origem coincida com o ponto A. Fazendo isso, para cada t \u2208 R , vemos que
os pontos Pt = A +
\u2212\u2212\u2192
OVt percorrem a reta que passa pelo ponto A e é paralela à
reta que contém O e V (Figura 64).
Agora, veja os seguintes exemplos.
Exemplo 19
Determinar um vetor gerador e as equações paramétricas da reta r que passa pelos
pontos A = (1, 2,\u22122) e B = (\u22121, 4, 2).
Solução: O vetor \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB = (\u22121, 4, 2)\u2212 (1, 2,\u22122) = (\u22122, 2, 4) é um gerador
da reta r . Como a reta r passa pelo ponto A, a sua equação vetorial paramétrica
é
Fig. 65: Exemplo 19 .
r : P = A+ t\u2212\u2192v = (1, 2,\u22122) + t(\u22122, 2, 4) , t \u2208 R
e, fazendo P = (x, y, z), as equações paramétricas de r são (Figura 65):
r :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1\u2212 2ty = 2 + 2tz = \u22122 + 4t , t \u2208 R .
Exemplo 20
Determinar a reta r que passa pelo ponto A = (1,\u22121, 0) e é paralela à reta
s : P = B + t\u2212\u2192v , onde B = (1, 1, 1) e \u2212\u2192v = (0, 1, 1).
Fig. 66: Exemplo 20 .
Fig. 67: Exemplo 21 .
Solução: Como r \u2016 s e s \u2016 \u2212\u2192v , obtemos r \u2016 \u2212\u2192v . Logo, \u2212\u2192v é um vetor gerador de
r . Sendo que r passa pelo ponto A, as equações paramétricas de r são (veja as
equações (22)):
r :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1y = \u22121 + tz = t , t \u2208 R .
Exemplo 21
Determinar se a reta r1 , paralela ao vetor \u2212\u2192v = (1, 1, 0) e que passa pelo ponto
A = (2,\u22121, 0), intersecta a reta r2 que passa por B = (0, 0, 1) e C = (0, 1,\u22121).
Solução: As equações paramétricas de r1 e r2 são:
r1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 2 + ty = \u22121 + tz = 0 , t \u2208 R e r2 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 0y = sz = 1\u2212 2s , s \u2208 R .
Suponhamos que as retas r1 e r2 se intersectam e seja P \u2208 r1 \u2229 r2.
Como P \u2208 r1, P = (2 + t,\u22121 + t, 0), para algum t \u2208 R. Analogamente, como
P \u2208 r2, P = (0, s, 1\u2212 2s), para algum s \u2208 R.
Igualando as coordenadas de P , obtemos o sistema de equações:
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Equações paramétricas de retas e planos
2 + t = 0
\u22121 + t = s
0 = 1 \u2212 2s .
Da primeira equação, obtemos t = \u22122, e da terceira, s = 1
2
. Entretanto, substi-
tuindo esses valores na segunda equação, obtemos \u22121 + (\u22122) = 1
2
, o que não é
possível.
Então, o sistema não tem solução, isto é, não existem parâmetros t e s, tais que
P = (2+ t,\u22121+ t, 0) = (0, s, 1\u2212 2s), o que significa que não existem pontos na
interseção de r1 e r2. Isto é, r1 \u2229 r2 = \u2205.
As retas r1 e r2 do último exemplo, além de não se intersectar, não são
paralelas, pois os seus vetores