Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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para s e t, o que significa que as retas `1 e `2 não possuem pontos em comum.
Logo, `1 e `2 são retas reversas.
Um plano\u3a0 passando pelo pontoA = (1, 0, 0) é paralelo às retas `1 e `2 se contém
pontos B e C, tais que
\u2212\u2212\u2192
AB é gerador de `1 e
\u2212\u2212\u2192
AC é gerador de `2.
Os pontos B e C são, portanto, não-colineares, e podem ser escolhidos de modo
que
\u2212\u2212\u2192
AB = \u2212\u2192v1 = (2, 1, 1) e \u2212\u2212\u2192AC = \u2212\u2192v2 = (0, 1, 2). Isso significa que os vetores
\u2212\u2192v1 e \u2212\u2192v2 são geradores de \u3a0.
Em síntese, o plano \u3a0 passa pelo ponto A = (1, 0, 0) e é gerado pelos vetores
\u2212\u2192v1 = (2, 1, 1) e \u2212\u2192v2 = (0, 1, 2), portanto,
\u3a0 = {D |D = A+ \u3b1\u2212\u2192v1 + \u3b2\u2212\u2192v2 , \u3b1, \u3b2 \u2208 R} .
Logo, as equações paramétricas de \u3a0 são:
\u3a0 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1 + 2\u3b1
y = \u3b1+ \u3b2
z = \u3b1+ 2\u3b2
, \u3b1, \u3b2 \u2208 R .
Nessas equações, os parâmetros dos pontos de \u3a0 são denominados \u3b1 e \u3b2 , para
não confundir com os parâmetros das retas `1 e `2.
Exemplo 24
Considere a reta ` que passa pelo ponto A = (0, 1, 1) e é paralela ao vetor \u2212\u2192v1 =
(\u22121,\u22121, 1) e o plano \u3a0 que passa pela origem e é gerado pelos vetores \u2212\u2192v2 =
(0, 1, 0) e \u2212\u2192v3 = (1, 1, 0).
Verificar que a reta ` não é paralela ao plano \u3a0 e determinar ` \u2229 \u3a0.
Solução: Para verificar que ` e \u3a0 não são paralelos, basta mostrar que os vetores
\u2212\u2192v1 , \u2212\u2192v2 e \u2212\u2192v3 são LI.
De fato, como a terceira coordenada de\u2212\u2192v2 e a de\u2212\u2192v3 são nulas e a terceira coorde-
nada de \u2212\u2192v1 é 1, não podem existir escalares \u3b1 e \u3b2, tais que
\u2212\u2192v1 = \u3b1\u2212\u2192v2 + \u3b2\u2212\u2192v3 . Assim, \u2212\u2192v1 , \u2212\u2192v2 e \u2212\u2192v3 são LI.
Como a direção de ` (dada pelo vetor \u2212\u2192v1 ) não é paralela ao plano \u3a0, temos que
` \u2229 \u3a0 6= \u2205. Mais ainda, ` \u2229 \u3a0 consiste de um único ponto P .
Para determinar o ponto P , começamos descrevendo a reta ` e o plano \u3a0.
As equações vetoriais paramétricas de ` e \u3a0 são:
` : X = (0, 1, 1) + t(\u22121,\u22121, 1) , t \u2208 R ,
\u3a0 : X = (0, 0, 0) + u(0, 1, 0) + v(1, 1, 0) , u, v \u2208 R ,
onde t é o parâmetro de ` e u e v são os parâmetros de \u3a0.
Em termos de coordenadas, se X = (x, y, z), temos:
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Equações paramétricas de retas e planos
MÓDULO 2 - AULA 17
` :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = \u2212t
y = 1\u2212 t
z = 1 + t
, t \u2208 R , \u3a0 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = v
y = u+ v
z = 0
, u, v \u2208 R .
Agora, se P \u2208 `, então P = (\u2212t, 1 \u2212 t, 1 + t), para algum t \u2208 R, e se P \u2208 \u3a0,
então P = (v, u + v, 0), para alguns u, v \u2208 R. Portanto, devemos determinar
escalares t, u, v \u2208 R, tais que:
Fig. 74: Exemplo 24.
\u2212 t = v
1 \u2212 t = u + v
1 + t = 0 .
Da terceira equação, temos t = \u22121. Substituindo esse valor na primeira equação,
obtemos v = 1 e da segunda, concluímos u = 1.
Portanto, o ponto P tem coordenadas (\u2212t, 1\u2212 t, 1+ t) = (v, u+ v, 0) = (1, 2, 0).
Resumo
Nesta aula, vimos como determinar as equações paramétricas de retas e pla-
nos no espaço a partir de dados diversos. Com isso, analisamos noções geométri-
cas de interseção e paralelismo entre retas ou entre retas e planos no espaço.
Exercícios
1. Determine um gerador e as equações paramétricas da reta ` que passa pelos
pontos A e B, onde:
a. A = (3,\u22121, 1) , B = (\u22124, 2,\u22124) .
b. A(0,\u22121, 1) , B = (1, 0, 1) .
c. A = (1, 2,\u22121) , B = (\u2212\u221a3, 0, 1) .
d. A = (pi(pi \u2212 1), pi, 0) , B = (pi, 0, 1) .
2. Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e é gerada
pelo vetor \u2212\u2192v , onde:
a. A = (1, 0, 1) ,\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB , com B = (3, 3, 1) .
b. A = (3, 1, 1) , \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192BC , com B = (0, 1,\u22121) , C = (2, 1, 2) .
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Equações paramétricas de retas e planos
c. A = (2, 2, 0) , \u2212\u2192v = (2, 3, 0) .
d. A = (3, 3, 0) , \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192BA , onde B = (5, 6, 0) .
3. Determine os pares de retas reversas dentre as retas do Exercício 2.
4. Como devem ser as coordenadas do vetor gerador de uma reta para que esta
seja paralela a um dos planos coordenados?
5. Determine, caso seja possível, o plano \u3a0, tal que:
a. Passa por A = (1, 1, 0) , e é gerado por \u2212\u2192v1 = (2, 0,\u22121) , e
\u2212\u2192v2 = (2, 2, 2) .
b. Contém os pontos A = (2, 0,\u22121) , e B = (2, 2, 2), e é paralelo ao vetor
\u2212\u2192v = (1, 1, 1) .
c. Contém os pontos A = (0, 0,\u22122) , B = (3, 1,\u22122) , e C = (0, 1, 1) .
6. Se \u2212\u2192v1 e \u2212\u2192v2 são geradores de um plano \u3a01 que não intersecta outro plano
\u3a02, então \u2212\u2192v1 e \u2212\u2192v2 geram o plano \u3a02?
7. É verdade que por cada ponto do espaço passa um plano gerado por dois
vetores LI dados?
8. Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \u3a0.
a. \u3a0 passa por A = (1, 1, 0) e contém a reta:
` : P = (0, 1, 1) + t(1, 0, 1) , t \u2208 R .
b. \u3a0 contém as retas:
`1 : P = (1, 1, 1) + t(1, 1,\u22121) , t \u2208 R , `2 : Q = s(1,\u22121, 1) , s \u2208 R .
c. \u3a0 contém as retas:
`1 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1
y = 1
z = t
, t \u2208 R e `2 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1 + s
y = 1 + 2s
z = 0
, s \u2208 R .
d. \u3a0 contém a reta ` : P = (1, 1, 1)+ t(1, 0, 0) , t \u2208 R e é paralelo ao vetor
\u2212\u2192w = (0, 0, 1) .
9. Determine quais das afirmativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas.
Justifique a sua resposta.
a. Dois vetores colineares
\u2212\u2212\u2192
AB e
\u2212\u2212\u2192
AC geram um plano.
b. O problema de determinar o ponto de interseção de uma reta com um
plano que não a contém pode ser colocado em termos da resolução de um
sistema de três equações com três variáveis.
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Equações paramétricas de retas e planos
MÓDULO 2 - AULA 17
c. A origem do sistema de coordenadas pertence a um plano quando este
último possui dois geradores LD.
10. Determine se a reta ` intersecta o plano\u3a0. Se a resposta for afirmativa, ache
o ponto de interseção.
a. ` é a reta paralela ao vetor \u2212\u2192v1 = (1, 1, 1) e passa pelo ponto
A = (0, 1, 0). \u3a0 é o plano que contém os pontos B = (1, 0, 0),
C = (0, 1, 0) e D = (1, 2,\u22122) .
b. ` é a reta que contém os pontos A = (0,\u22121,\u22121) e B = (1, 2, 0) e \u3a0 é o
plano que passa pelos pontos C = (1, 0, 0) e D = (2, 0, 0) e é paralelo ao
vetor \u2212\u2192v = (1, 2,\u22121) .
c. ` é o eixo OZ do sistema de coordenadas e \u3a0 é o plano que passa pelo
ponto A = (0, 2, 0) e é gerado pelos vetores \u2212\u2192v = (2, 4, 2) e
\u2212\u2192w = (1, 2,\u22122) .
Auto-avaliação
Os conceitos apresentados nesta aula generalizam os tópicos abordados na
Aula 3, do Módulo 1. Portanto, você não deve ter dificuldade em assimilá-los
e nem na resolução dos exercícios. Resolvendo os Exercícios de 1 a 4, você
fixará o procedimento para determinar equações paramétricas de retas no espaço
e saberá determinar a posição relativa entre duas retas no espaço. Resolvendo os
Exercícios de 5 a 9, você ficará familiarizado com o procedimento para determinar
as equações paramétricas de planos no espaço a partir de dados diversos. No
Exercício 10, você deverá combinar de forma global as noções apresentadas na
aula. Se tiver alguma dificuldade, reveja o conteúdo da aula, prestando atenção
especial na resolução dos exemplos apresentados. Não esqueça de discutir os
conceitos com os colegas e, se ainda estiver com dúvidas, procure os tutores.
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Equações paramétricas de retas e planos
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Produto interno
MÓDULO 2 - AULA 18
Produto interno
Objetivos
\u2022 Estabelecer os conceitos de norma de um vetor e de ângulo entre dois
vetores do espaço.
\u2022 Definir o produto interno de vetores no espaço e estabelecer suas proprie-
dades.
\u2022 Efetuar a projeção ortogonal de um ponto no espaço sobre uma reta e
sobre um plano.
Nas Aulas 4, 5 e 6, do Módulo 1, definimos o conceito de produto interno
entre vetores do plano, estudamos as suas propriedades e obtivemos algumas apli-
cações importantes. Nesta aula, ampliamos a noção de produto interno para veto-
res do espaço, revisaremos as suas propriedades básicas e aplicaremos o conceito
para entender melhor diversas situações geométricas.
Na Aula 4, do Módulo 1, vimos que para cada par de vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v do
plano, está associado um número real \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009, denominado o produto interno de
\u2212\u2192u e \u2212\u2192v . A definição do produto interno no plano é fundamentada no conceito de
ângulo entre dois vetores. Assim, para estender o produto interno de vetores do
plano a um produto interno de vetores no espaço, é necessário ampliar