Geometria Analítica-vol2
119 pág.

Geometria Analítica-vol2


DisciplinaCálculo Vetorial e Geometria Analítica3.246 materiais76.449 seguidores
Pré-visualização28 páginas
demonstrar a terceira proprie-
dade, desenvolvemos, também, uma expressão para o produto interno em termos
das coordenadas dos vetores em relação a um sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas no espaço.
Reveja ...
A Aula 4, do Módulo 1, e
reescreva você mesmo as
demonstrações das duas
primeiras propriedades do
produto interno.
CEDERJ 68
Produto interno
MÓDULO 2 - AULA 18
Por sua vez, a expressão em coordenadas do produto interno é uma aplicação
simples da lei dos cossenos num plano, convenientemente escolhido.
Proposição 7 (O produto interno em termos de coordenadas)
Sejam\u2212\u2192u = (u1, u2, u3) e\u2212\u2192v = (v1, v2, v3) vetores do espaço expressos em termos
de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. Então:
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009 = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Demonstração: Sejam A = (u1, u2, u3) e B = (v1, v2, v3). Então, \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192OA e
\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192OB .
Fig. 77: Triângulo T .
Consideremos o triângulo T de vértices O,
A e B no plano \u3a0OAB (veja a Figura 77). Nesse
triângulo, aplicamos a lei dos cossenos: \u2016\u2212\u2212\u2192AB \u20162 =
\u2016\u2212\u2212\u2192OA \u20162 + \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u20162 \u2212 2\u2016\u2212\u2212\u2192OA \u2016 \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u2016 cos \u3b8 ,
onde
\u2212\u2212\u2192
AB = \u2212\u2192v \u2212\u2212\u2192u e \u3b8 = (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ). Como
\u2016\u2212\u2212\u2192OA \u20162 = \u2016\u2212\u2192u \u20162 = u21 + u22 + u23 ,
\u2016\u2212\u2212\u2192OB \u20162 = \u2016\u2212\u2192v \u20162 = v21 + v22 + v23 ,
\u2016\u2212\u2212\u2192OA \u2016 \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u2016 cos \u3b8 = \u3008\u2212\u2212\u2192OA ,\u2212\u2212\u2192OB \u3009
e
\u2016\u2212\u2212\u2192AB \u20162 = \u2016\u2212\u2192v \u2212\u2212\u2192u \u20162 = (v1 \u2212 u1)2 + (v2 \u2212 u2)2 + (v3 \u2212 u3)2
= v21 + v
2
2 + v
2
3 + u
2
1 + u
2
2 + u
2
3 \u2212 2u1v1 \u2212 2u2v2 \u2212 2u3v3
= (v21 + v
2
2 + v
2
3) + (u
2
1 + u
2
2 + u
2
3)\u2212 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
= \u2016\u2212\u2212\u2192OA \u20162 + \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u20162 \u2212 2(u1v1 + u2v2 + u3v3) ,
obtemos
\u2016\u2212\u2212\u2192OA \u20162 + \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u20162 \u2212 2(u1v1 + u2v2 + u3v3) = \u2016\u2212\u2212\u2192OA \u20162 + \u2016\u2212\u2212\u2192OB \u20162 \u2212 2\u3008\u2212\u2212\u2192OA ,\u2212\u2212\u2192OB \u3009 ,
do qual concluímos:
(u1v1 + u2v2 + u3v3) = \u3008\u2212\u2212\u2192OA ,\u2212\u2212\u2192OB \u3009 = \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009 . \ufffd
Neste ponto, pare um pouco e refaça você mesmo a demonstração da distri-
butividade do produto interno de vetores no espaço, utilizando a Proposição 7 e
seguindo os mesmos passos da correspondente demonstração feita na Aula 4, do
Módulo 1.
Observação
Muitos autores adotam a expressão em coordenadas obtida na Proposição 7 como
definição primária do produto interno entre dois vetores e, a partir daí, demons-
tram que essa definição coincide com a expressão em termos do ângulo, da qual
nós aqui partimos. Contudo, observe que a definição em termos do ângulo inde-
69 CEDERJ
Produto interno
pende de sistemas de coordenadas, tendo, portanto, uma natureza mais geomé-
trica.
Exemplo 27
Determinemos \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009, \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w \u3009, \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 e os ângulos (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ), (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ) e (\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ),
onde \u2212\u2192u = (1, 1, 1), \u2212\u2192v = (\u22122, 0, 2) e \u2212\u2192w = (8, 2,\u22124) são os vetores do Exemplo
26.
Solução: Como
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009 = \u3008(1, 1, 1), (\u22122, 0, 2)\u3009 = 1(\u22122) + 1(0) + 1(2) = \u22122 + 0 + 2 = 0 ,
os vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são perpendiculares. Isto é, (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) = 90o.
Temos:
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w \u3009 = \u3008(1, 1, 1), (8, 2,\u22124)\u3009 = 1(8) + 1(2) + 1(\u22124) = 8 + 2\u2212 4 = 6 .
No Exemplo 26, calculamos: \u2016\u2212\u2192u \u2016 = \u221a3 e \u2016\u2212\u2192v \u2016 = 2\u221a21.
Logo,
cos(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ) = \u3008
\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u2016 \u2016\u2212\u2192w \u2016 =
6\u221a
3 · 2\u221a21 =
6
2 · 3\u221a7 =
1\u221a
7
.
Usando uma máquina de calcular, vemos que (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ) = arccos 1\u221a
7
\u2248 67, 8o .
Finalmente,
\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = \u3008(\u22122, 0, 2), (8, 2,\u22124)\u3009 = (\u22122)8 + 0(2) + 2(\u22124) = \u221216 + 0\u2212 8 = \u221224 .
Como \u2016\u2212\u2192v \u2016 = 2\u221a2 e \u2016\u2212\u2192w \u2016 = 2\u221a21, temos:
cos(\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = \u3008
\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009
\u2016\u2212\u2192v \u2016 \u2016\u2212\u2192w \u2016 =
\u221224
2
\u221a
2 · 2\u221a21 = \u2212
6\u221a
42
.
Usando uma máquina de calcular, vemos que:
(\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = arccos
(
\u2212 6\u221a
42
)
\u2248 157, 8o .
Primeiras aplicações do produto interno
Consideremos uma reta ` : P = P0 + t\u2212\u2192u , t \u2208 R, passando pelo ponto P0
com direção \u2212\u2192u e um plano \u3a0 : Q = Q0 + s\u2212\u2192v + t\u2212\u2192w , s, t \u2208 R, passando pelo
ponto Q0 e paralelo a dois vetores LI \u2212\u2192v e \u2212\u2192w . Seja A um ponto do espaço que
não pertence a ` nem a \u3a0. Nesta parte, vamos determinar:
(A) a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta ` .
(B) a projeção ortogonal do ponto A sobre o plano \u3a0 .
Sabemos que, pelo ponto A passa uma única reta que intersecta perpendi-
cularmente ` num ponto A\u2032, chamado a projeção ortogonal de A sobre ` ou o pé
da perpendicular a ` passando por A, e se designa por A\u2032 = pr`A. Assim, o
problema (A) se resolve achando o ponto A\u2032 \u2208 `, tal que o segmento A\u2032A seja
perpendicular a `.
CEDERJ 70
Produto interno
MÓDULO 2 - AULA 18
Fig. 78: Projeção ortogonal de A sobre `.
Em termos vetoriais, como \u2212\u2192u é paralelo
a `, o ponto A\u2032 deve ser determinado de modo
que \u2212\u2192u \u22a5 \u2212\u2212\u2192AA\u2032 , isto é, \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192AA\u2032 \u3009 = 0.
Como A\u2032 pertence a `, devemos ter A\u2032 =
P0 + t0
\u2212\u2192u para algum valor t0 \u2208 R. Logo,
determinar o ponto A\u2032 equivale a determinar o
valor t0.
Como
\u2212\u2212\u2192
AA\u2032 =
\u2212\u2212\u2192
OA\u2032 \u2212\u2212\u2212\u2192OA = \u2212\u2212\u2212\u2192OP0 + t0\u2212\u2192u \u2212\u2212\u2212\u2192OA = \u2212\u2212\u2192AP0 + t0\u2212\u2192u = t0\u2212\u2192u \u2212\u2212\u2212\u2192P0A ,
temos:
0 = \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192AA\u2032 \u3009
= \u3008\u2212\u2192u , t0\u2212\u2192u \u2212\u2212\u2212\u2192P0A \u3009
= t0\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192u \u3009 \u2212 \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192P0A \u3009
= t0\u2016\u2212\u2192u \u20162 \u2212 \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192P0A \u3009 ,
=\u21d2 t0 = \u3008
\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2212\u2192P0A \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u20162 ,
de onde obtemos a expressão do ponto A\u2032 = pr`A:
pr`A = P0 +
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2212\u2192P0A \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u20162
\u2212\u2192u (29)
Note que, se o vetor \u2212\u2192u é unitário (\u2016\u2212\u2192u \u2016 = 1), a expressão (29) fica:
pr`A = P0 + \u3008\u2212\u2192u ,
\u2212\u2212\u2192
P0A \u3009\u2212\u2192u , com \u2016\u2212\u2192u \u2016 = 1 (30)
Na Aula 4, do Módulo 1, definimos a projeção ortogonal de um vetor do
plano sobre outro. No caso dos vetores no espaço, a definição não é diferente. De
fato, voltando para a Figura 78, vemos que a projeção de um vetor \u2212\u2192x = \u2212\u2212\u2192P0A
sobre um vetor \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2212\u2192P0B é o vetor pr\u2212\u2192u \u2212\u2192x =
\u2212\u2212\u2212\u2192
P0A
\u2032 , onde A\u2032 = pr`A é a
projeção do ponto A sobre a reta ` que passa pelo ponto P0 com direção \u2212\u2192u .
Isto é,
pr\u2212\u2192u
\u2212\u2192x = \u3008
\u2212\u2192x ,\u2212\u2192u \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u20162
\u2212\u2192u (31)
ou, caso \u2212\u2192u seja unitário (\u2016\u2212\u2192u \u2016 = 1):
pr\u2212\u2192u
\u2212\u2192x = \u3008\u2212\u2192x ,\u2212\u2192u \u3009\u2212\u2192u , \u2016\u2212\u2192u \u2016 = 1 (32)
Exemplo 28
Determinemos a projeção ortogonal do ponto A = (1, 1, 1) sobre a reta ` que
passa pelo ponto P0 = (2, 1,\u22121) com direção \u2212\u2192u = (1, 2, 1) .
71 CEDERJ
Produto interno
Solução: Como
\u2212\u2212\u2192
P0A = (1\u22122, 1\u22121, 1\u2212 (\u22121)) = (\u22121, 0, 2), o ponto A\u2032 = pr`A
é dado por:
A\u2032 = P0 +
\u3008\u2212\u2212\u2212\u2192P0A ,\u2212\u2192u \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u20162
\u2212\u2192u
= (2, 1,\u22121) + \u3008(\u22121, 0, 2), (1, 2, 1)\u3009\u2016(1, 2, 1)\u20162 (1, 2, 1)
= (2, 1,\u22121) + \u22121(1) + 0(2) + 2(1)
12 + 22 + 12
(1, 2, 1)
= (2, 1,\u22121) + 1
6
(1, 2, 1)
=
(
13
6
,
4
3
,\u22125
6
)
Exemplo 29
Determinar equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto
A = (2, 1, 1) e intersecta perpendicularmente a reta ` dada por:
` :
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = t
y = 1\u2212 t
z = 2
, t \u2208 R .
Solução: A reta `\u2032 solicitada é a reta que passa pelos pontos A e A\u2032, onde A\u2032 é a
projeção ortogonal do ponto A sobre a reta `.
Das equações paramétricas de ` vemos que Q0 = (0, 1, 2) \u2208 ` e que ` é paralela
ao vetor \u2212\u2192u = (1,\u22121, 0).
Sendo que
\u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A = (2\u2212 0, 1\u2212 1, 1\u2212 2) = (2, 0,\u22121) , temos:
A\u2032 = pr`A = Q0 + pr\u2212\u2192u
\u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A = Q0 +
\u3008\u2212\u2212\u2212\u2192Q0A ,\u2212\u2192u \u3009
\u2016\u2212\u2192u \u20162
\u2212\u2192u
= (0, 1, 2) +
\u3008(2, 0,\u22121), (1,\u22121, 0)\u3009
\u2016(1,\u22121, 0)\u20162 (1,\u22121, 0)
= (0, 1, 2) +
2(1) + 0(\u22121)\u2212 1(0)
12 + (\u22121)2 + 02 (1,\u22121, 0)
= (0, 1, 2) + (1,\u22121, 0)
= (1, 0, 2) .
Assim, a reta `\u2032 procurada, que passa por A = (2, 1, 1) e é paralela ao vetor\u2212\u2212\u2192
AA\u2032 = (2\u2212 1, 1\u2212 0, 1\u2212 2) = (1, 1,\u22121), tem equações paramétricas
`\u2032 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 2 + sy = 1 + sz = 1\u2212 s , s \u2208 R
e intersecta perpendicularmente a reta ` no ponto A\u2032.
Projeção ortogonal sobre um plano
CEDERJ 72
Produto interno
MÓDULO 2 - AULA 18
Fig. 79: Projeção pr\u3a0 A.
Vamos, agora, resolver o problema
(B), ou seja, determinar a projeção orto-
gonal do ponto A sobre o plano \u3a0. Para
isso, consideremos o plano \u3a0, que passa
pelo pontoQ0 e é paralelo aos vetores li-
nearmente independentes \u2212\u2192v e \u2212\u2192w . Dado
um ponto A que não pertence a \u3a0, deve-
mos encontrar um pontoA\u2032 \u2208 \u3a0, que de-
signamos pr\u3a0A e chamamos projeção
ortogonal do ponto A sobre o plano \u3a0, tal que a reta que passa por A e A\u2032 seja
perpendicular a \u3a0 (veja a Figura 79).
Para determinar a reta que passa porA e é perpendicular a\u3a0, devemos achar
um vetor \u2212\u2192n 6= 0 perpendicular aos geradores \u2212\u2192v e \u2212\u2192w de \u3a0. Isto