Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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MÓDULO 2 - AULA 18
Resumo
Nesta aula, apresentamos os conceitos de norma de um vetor e de ângulo
entre dois vetores do espaço. A partir daí, definimos o produto interno de vetores
no espaço e estabelecemos suas propriedades. Vimos também como efetuar a
projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta e sobre um plano.
Exercícios
1. Considere os vetores:
\u2212\u2192v1 = (1, 1,\u22121), \u2212\u2192v2 = ( 1\u221a2 , 0,\u2212 1\u221a2), \u2212\u2192v3 = (0,\u22121, 1),
\u2212\u2192v4 = (\u22121, 1, 0), \u2212\u2192v5 = (\u22122, 1, 3), \u2212\u2192v6 = (
\u221a
3, 1, 1),
\u2212\u2192v7 = (2, 4, 0), \u2212\u2192v8 = (\u22121,\u22121, 1).
a. Calcule os produtos internos de todos os possíveis pares de vetores dis-
tintos da lista.
b. Identifique os pares de vetores ortogonais.
c. Identifique os vetores unitários da lista e normalize os vetores que não
sejam unitários.
d. Calcule e compare os números \u2016\u2212\u2192v1 +\u2212\u2192v4 \u2016 e \u2016\u2212\u2192v1 \u2016+ \u2016\u2212\u2192v4 \u2016.
e. Calcule e compare os números \u2016\u2212\u2192v1 +\u2212\u2192v8 \u2016 e \u2016\u2212\u2192v1 \u2016+ \u2016\u2212\u2192v8 \u2016.
f. Determine o cosseno do ângulo formado entre quaisquer dois dos vetores
da primeira fileira da lista.
g. Calcule \u30083\u2212\u2192v3 \u2212\u2212\u2192v6 , 2(\u2212\u2192v7 +\u2212\u2192v1 )\u3009.
h. Calcule \u3008\u2212\u2192v1 ,\u22122\u2212\u2192v4 \u3009 \u2212 \u3008\u2212\u2192v1 ,\u2212\u2192v5 \u3009.
2. Determine quais das afirmativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas,
justificando as suas respostas.
a. \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = 0\u21d0\u21d2 \u2212\u2192v = \u2212\u21920 ou \u2212\u2192w = \u2212\u21920 .
b. Se \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192v \u3009 > 0, então \u2212\u2192v > 0.
c. \u2016\u2212\u2192v \u2016 = 1\u21d0\u21d2
\u2212\u2192v
\u2016\u2212\u2192v \u2016 é unitário.
d. Se 1\u2016\u2212\u2192v \u2016 = 1, então
\u2212\u2192v é unitário.
e. Se \u2212\u2192v é unitário, então é perpendicular a todo vetor do espaço.
f. Se \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = 0 , qualquer que seja o vetor \u2212\u2192v do espaço, então \u2212\u2192w = \u2212\u21920 .
77 CEDERJ
Produto interno
3. Determine a projeção ortogonal do ponto A = (1, 1, 2) sobre a reta ` : P =
P0 + t
\u2212\u2192v , t \u2208 R, onde:
a. P0 = (\u22121, 1,\u22121) e \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192OA , onde A = (\u22122, 2, 1) .
b. P0 = (0, 1, 0) e \u2212\u2192v = (\u22121, 1, 1) .
c. P0 = (0, 1, 0) e \u2212\u2192v = (1, 0,\u22121) .
d. P0 = (0, 0, 0) e \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AB , onde A = (1, 0,\u22121) , B = (1, 0, 0) .
4. Considerando os vetores da lista do Exercício 1, calcule:
a. pr\u2212\u2192v1
\u2212\u2192v2 . b. pr\u2212\u2192v2 \u2212\u2192v4 . c. pr\u2212\u2192v8 \u2212\u2192v1 . d. pr\u2212\u2192v3 \u2212\u2192v6 .
e. pr\u2212\u2192v4
\u2212\u2192v1 . f. pr\u2212\u2192v5 \u2212\u2192v7 . g. pr\u2212\u2192v8 \u2212\u2192v3 . h. pr\u2212\u2192v2 \u2212\u2192v2 .
5. Determine a projeção ortogonal do ponto A = (3, 2,\u22122) sobre o plano
\u3a0 : Q = Q0 + s
\u2212\u2192v + t\u2212\u2192w , s, t \u2208 R, onde:
a. Q0 = (1, 0, 0) , \u2212\u2192v = (0, 2,\u22121) , \u2212\u2192w = (1, 1, 0) .
b. Q0 = (0, 1, 0) , \u2212\u2192v = (3, 1, 1) , \u2212\u2192w = (0, 1, 0) .
c. Q0 = (\u22121, 0, 1) , \u2212\u2192v = (1, 0,\u22121) , \u2212\u2192w = (0, 1, 0) .
d. Q0 = (0, 0,\u22122) , \u2212\u2192v = (1, 0,\u22121) , \u2212\u2192w = (1, 2, 0) .
6. Seja\u3a0 o plano que passa por um pontoQ0 paralelo aos vetores mutuamente
perpendiculares\u2212\u2192v e\u2212\u2192w . Dado um pontoA do espaço, verifique que o ponto
A\u2032 dado por \u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A
\u2032 = pr\u2212\u2192v
\u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A + pr\u2212\u2192w
\u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A
é a projeção ortogonal de A sobre \u3a0. Para isso, verifique que
\u3008\u2212\u2212\u2192A\u2032A ,\u2212\u2192v \u3009 = 0 e \u3008\u2212\u2212\u2192A\u2032A ,\u2212\u2192w \u3009 = 0, onde \u2212\u2212\u2192A\u2032A = \u2212\u2212\u2212\u2192Q0A \u2212
\u2212\u2212\u2212\u2192
Q0A
\u2032 .
7. Usando o exercício anterior, determine a projeção ortogonal do ponto A =
(2, 0, 2) sobre o plano \u3a0 : Q = Q0 + s\u2212\u2192v + t\u2212\u2192w , s, t \u2208 R, onde:
a. Q0 = (0, 0, 0) , \u2212\u2192v = (2,\u22122, 1) , \u2212\u2192w = (1, 0,\u22122) .
b. Q0 = (\u22121, 1, 0) , \u2212\u2192v = (3, 0,\u22121) , \u2212\u2192w = (0, 2, 0) .
c. Q0 = (1, 1, 1) , \u2212\u2192v = (0, 0,\u22121) , \u2212\u2192w = (1, 1, 0) .
d. Q0 = (0, 1, 1) , \u2212\u2192v = (3, 1,\u22121) , \u2212\u2192w = (1,\u22122, 1) .
8. Considere os vetores \u2212\u2192u1 = (0, 1, 0) e \u2212\u2192u2 = (3, 0,\u22124).
a. Verificar que \u2212\u2192u1 e \u2212\u2192u2 são ortogonais.
b. Determinar um vetor \u2212\u2192u3 de modo que B1 = {\u2212\u2192u1 ,\u2212\u2192u2 ,\u2212\u2192u3 } seja uma
base ortogonal do espaço.
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Produto interno
MÓDULO 2 - AULA 18
c. Determinar vetores \u2212\u2192v1 , \u2212\u2192v2 e \u2212\u2192v3 unitários, com o mesmo sentido que os
vetores \u2212\u2192u1 , \u2212\u2192u2 e \u2212\u2192u3 , respectivamente. O conjunto
B = {\u2212\u2192v1 ,\u2212\u2192v2 ,\u2212\u2192v3 } é uma base ortonormal do espaço.
d. Determinar as coordenadas do vetor \u2212\u2192w = (0, 3, 4) em relação à base
ortonormal B.
9. Repita o exercício anterior para os vetores:
\u2212\u2192u1 = (\u22122, 1, 1) , \u2212\u2192u 2 = (1, 0, 2) e \u2212\u2192w = (2, 2,\u22121).
10. Determine equações paramétricas para a reta ` que passa pelo ponto A e é
perpendicular ao plano \u3a0, onde:
a. A = (1, 2, 0), e \u3a0 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = sy = tz = 1 + 2s\u2212 t , s, t \u2208 R.
b. A = (0, 0, 0), e \u3a0 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1\u2212 s\u2212 ty = sz = t , s, t \u2208 R.
11. Sejam \u2212\u2192v e \u2212\u2192w vetores do espaço.
a. Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009| \u2264 \u2016\u2212\u2192v \u2016 · \u2016\u2212\u2192w \u2016
Indicação: Use a definição de produto interno, levando em consideração a ampli-
tude da função cosx.
b. Verifique que a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma igualdade
se, e somente se, os vetores \u2212\u2192v e \u2212\u2192w forem LD (colineares).
c. Refaça a demonstração da desigualdade triangular usando a desigualdade
de Cauchy-Shwarz como foi feito na Aula 4, do Módulo 1.
12. Usando a propriedade distributiva do produto interno, ilustre e escreva uma
demonstração para o teorema das três perpendiculares: sejam A um ponto
no espaço, \u3a0 um plano que não contém A e ` uma reta contida em \u3a0. Se B
é o pé da perpendicular baixada deA sobre o plano\u3a0, e C é o pé da perpen-
dicular baixada deB sobre a reta `, então C é também o pé da perpendicular
baixada de A sobre a reta `.
Auto-avaliação
Para aprimorar a sua familiaridade com os cálculos envolvendo produto in-
terno e norma de vetores no espaço, resolva os Exercícios 1 e 2. Resolvendo os
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Produto interno
Exercícios de 3 a 7, você estará exercitando o procedimento para projetar ortogo-
nalmente pontos sobre retas e planos no espaço. Os Exercícios de 8 a 10 abrangem
o conteúdo da aula como um todo, e é muito importante que você os resolva. O
Exercício 11 é uma repetição da demonstração feita na Aula 4, do Módulo 1, que
vale a pena rever para fixar melhor as idéias conceituais sobre as propriedades
da norma e do produto interno. Finalmente, o Exercício 12 é uma bela aplicação
da propriedade distributiva do produto interno, não deixe de resolvê-lo. Se ficar
com alguma dúvida, reveja a aula, prestando atenção especial nos exemplos. Em
última instância, procure os seus tutores.
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Equação cartesiana do plano
MÓDULO 2 - AULA 19
Equação cartesiana do plano
Objetivos
\u2022 Usar o produto interno para determinar a equação cartesiana de um plano
no espaço a partir de dados diversos.
\u2022 Aprender a transformar a equação cartesiana do plano numa equação pa-
ramétrica e vice-versa.
\u2022 Analisar a posição relativa de dois planos no espaço.
Na Aula 4, do Módulo 1, aprendemos que uma reta ` no plano é comple-
tamente caracterizada quando se conhece um dos seus pontos P0 e a direção per-
pendicular a ela, direção dada por um vetor \u2212\u2192\u3b7 que chamamos vetor normal a `.
Com essas informações, obtivemos que um ponto P pertence a ` se, e somente se,
\u3008\u2212\u2212\u2192AP ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0 . (34)
Sabendo que, em termos de um sistema ortogonal de coordenadas cartesia-
nas no plano, os pontos em questão têm coordenadas A = (x0, y0) e P = (x, y),
onde x e y são variáveis determinadas pela posição de P na reta ` e \u2212\u2192\u3b7 = (a, b),
vimos que a condição (34) equivale à equação
a x+ b y = d , (35)
sendo d = ax0 + by0 = \u3008\u2212\u2192\u3b7 ,\u2212\u2212\u2192OA \u3009 uma constante. A equação (34) ou a sua
equivalente (35) é uma equação cartesiana para a reta `.
Fig. 82: Uma reta no espaço
tem infinitas direções perpendicu-
lares.
Note que...
A equação (35), quando vista no
espaço, é um caso particular da
equação (36), considerando
c = 0
No espaço, a situação é bem diferente, no sentido de uma reta não ter uma
direção perpendicular específica, mas sim uma infinidade delas (veja a Figura 82).
Fixando um sistema ortogonal de coordenadas no espaço, os pontos P = (x, y, z),
que satisfazem uma equação da forma
a x+ b y + c z = d , (36)
não formam uma reta!
De fato, por exemplo, se a, b, c e d são não-nulos, então, os pontos (d
a
, 0, 0),
(0, d
b
, 0) e (0, 0, d
c
) não são colineares e satisfazem a equação (36).
Para estabelecer a analogia com o estudo das retas no plano, começamos
com a seguinte definição:
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Equação cartesiana do plano
Definição 15 (Vetor normal a um plano)
Sejam\u2212\u2192\u3b7 um vetor não-nulo e \u3a0 um plano no espaço.