Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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saber quando um vetor dado é normal
a um plano expresso em termos de uma equação paramétrica:
Proposição 10
Seja \u3a0 o plano que passa pelo ponto P0 e é paralelo aos vetores LI \u2212\u2192u e \u2212\u2192w .
Então, um vetor \u2212\u2192\u3b7 é normal a \u3a0 se, e somente se, \u2212\u2192\u3b7 é perpendicular aos vetores
geradores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v .
Demonstração: Temos que \u3a0 : P = P0 + s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v , onde s, t \u2208 R são os
parâmetros da equação.
Logo, P \u2208 \u3a0 se, e somente se, \u2212\u2212\u2212\u2192P0P = s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v , s, t \u2208 R.
Por definição, \u2212\u2192\u3b7 é normal a \u3a0 se, e somente se, \u3008\u2212\u2212\u2212\u2192P0P ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0, para todo
P \u2208 \u3a0. Isto é, se, e somente se,
0 = \u3008\u2212\u2212\u2212\u2192P0P ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = \u3008s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = s\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009+ t\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009,
para todos os valores dos parâmetros s, t \u2208 R. Em particular, fazendo s = 1 e
t = 0, obtemos \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0, e tomando s = 0 e t = 1, obtemos \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0.
Assim, se \u2212\u2192\u3b7 é normal ao plano \u3a0, então é ortogonal aos geradores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v .
Reciprocamente, se \u2212\u2192\u3b7 é um vetor perpendicular a \u2212\u2192u e \u2212\u2192v , então
\u3008s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = s\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009+ t\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = s · 0 + t · 0 = 0 .
Como P \u2208 \u3a0 se, e somente se, existem valores dos parâmetros s, t \u2208 R,
tais que
\u2212\u2212\u2212\u2192
P0P = s
\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v , obtemos que \u3008\u2212\u2212\u2212\u2192P0P ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0. Como essa identidade
vale para todo P \u2208 \u3a0, concluímos que \u2212\u2192\u3b7 é normal ao plano \u3a0. \ufffd
Conhecendo uma equação paramétrica de um plano \u3a0 usamos a Proposição
10 para determinar a equação cartesiana. Veja o seguinte exemplo.
Exemplo 36
Seja \u3a0 o plano que passa pelo ponto P0 = (0,\u22122, 1) e é paralelo aos vetores
\u2212\u2192u = (1, 0,\u22121) e \u2212\u2192v = (\u22121, 1, 1). Determinar a equação cartesiana de \u3a0.
Solução: Para determinar a equação cartesiana de \u3a0, conhecendo já um ponto
P0 \u2208 \u3a0, basta determinar um vetor \u2212\u2192\u3b7 normal a \u3a0.
Procuremos, então, um vetor \u3b7 = (a, b, c), tal que
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0 e \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0 ,
isto é, em termos de coordenadas, devemos resolver, para a, b e c, o sistema de
equações:
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Equação cartesiana do plano
MÓDULO 2 - AULA 19
\u3008(1, 0,\u22121), (a, b, c)\u3009 = a + 0 b \u2212 c = 0
\u3008(\u22121, 1, 1), (a, b, c)\u3009 = \u2212a + b + c = 0 .
Sistemas de equações...
Note que, num sistema de
equações lineares, como o
sistema ao lado, no qual a
quantidade de variáveis é maior
que a quantidade de equações,
sempre existe uma infinidade de
soluções. Tais soluções são
obtidas fixando um valor para
certas variáveis, denominadas
livres, e determinando valores
para as outras variáveis de modo
que as equações propostas sejam
satisfeitas simultaneamente.
Da primeira das equações, vemos que a = c, e substituindo na segunda, obtemos
b = 0. Assim, as soluções do sistema dependem da escolha de um valor determi-
nado (arbitrário, porém não-nulo) para uma das variáveis restantes. Por exemplo,
tomando c = 1, obtemos a = 1 e, portanto, o vetor \u2212\u2192\u3b7 = (a, b, c) = (1, 0, 1) é
normal ao plano \u3a0.
Sabendo que o plano \u3a0 passa pelo ponto P0 = (0,\u22122, 1) e que o vetor \u3b7 =
(1, 0, 1) é normal ao plano \u3a0, obtemos, da forma (37), a equação cartesiana
1x+ 0y + 1z = d ,
onde d = \u3008\u2212\u2212\u2212\u2192OP0 ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = \u3008(0,\u22122, 1), (1, 0, 1)\u3009 = 0(1) + (\u22122)0 + 1(1) = 1.
Assim, a equação procurada é:
\u3a0 : x+ z = 1 .
Contudo, muitas vezes é dada a equação cartesiana de um plano e é neces-
sário determinar uma equação paramétrica do plano. Para fazer isso, analisamos
primeiro a informação que uma equação cartesiana fornece e a informação neces-
sária para determinar uma equação paramétrica.
\u2022 A partir da equação cartesiana \u3a0 : ax + by + cz = d do plano \u3a0, identi-
ficamos um vetor normal \u2212\u2192\u3b7 = (a, b, c). Além disso, especificando valores a duas
das variáveis da equação, podemos determinar a terceira variável. Isso permite
determinar pontos que pertencem ao plano.
\u2022 Para determinar uma equação paramétrica para o plano \u3a0, é necessário
conhecer um ponto P0 \u2208 \u3a0 e dois vetores LI paralelos a \u3a0 ou, equivalentemente,
três pontos P0, P1 e P2 não-colineares (pois, nesse caso,
\u2212\u2212\u2212\u2192
PoP1 e
\u2212\u2212\u2212\u2192
P0P2 são vetores
LI).
Veja, na prática, como determinar equações paramétricas para o plano \u3a0
conhecendo sua equação cartesiana.
Exemplo 37
Determinar equações paramétricas para o plano \u3a0 : 2x+ 3y + z = 1.
Solução: Na equação cartesiana de \u3a0, fazemos y = 0 e z = 1, obtendo x = 0.
Portanto, o ponto P0 = (0, 0, 1) pertence a \u3a0, pois suas coordenadas satisfazem a
equação cartesiana de \u3a0.
Similarmente, tomando y = 1 e z = 0 na equação cartesiana de \u3a0, obtemos
x = \u22121. Portanto, o ponto P1 = (\u22121, 1, 0) pertence a \u3a0, pois suas coordenadas
satisfazem a equação cartesiana de \u3a0.
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Equação cartesiana do plano
Em particular, o vetor \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2212\u2192P0P1 = (\u22121 \u2212 0, 1 \u2212 0, 0 \u2212 1) = (\u22121, 1,\u22121) é
paralelo a \u3a0 e, portanto, ortogonal ao vetor \u2212\u2192\u3b7 = (2, 3, 1), normal a \u3a0.
Para determinar outro vetor\u2212\u2192v paralelo a \u3a0 e LI com\u2212\u2192u , podemos seguir uma das
seguintes alternativas:
\u2022 Determinar o vetor \u2212\u2192v exigindo que as condições \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 0 e \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u \u3009 = 0.
Neste caso, \u2212\u2192v é paralelo a \u3a0, pois é perpendicular a \u2212\u2192\u3b7 e é, também, LI com \u2212\u2192u ,
pois vetores perpendiculares são sempre LI.
\u2022 Determinar outro ponto P2 \u2208 \u3a0, exigindo que ele não seja colinear com os pon-
tos P0 e P1 determinados anteriormente. Isso significa que P2 não pode satisfazer
a equação (vetorial paramétrica) da reta ` que passa por P0 e P1.
Seguindo a primeira alternativa, designamos por \u2212\u2192v = (v1, v2, v3) as coordenadas
do vetor procurado. Então, as condições exigidas a \u2212\u2192v são:
Importante!
Note que, se tivéssemos
escolhido v3 = 0 no sistema ao
lado, obteríamos v1 = v2 = 0,
isto é \u2212\u2192v = \u2212\u21920 , que obviamente é
perpendicular a \u2212\u2192\u3b7 e a \u2212\u2192u , mas
não é LI com \u2212\u2192u , pois qualquer
coleção de vetores que contém o
vetor nulo é, automaticamente,
LD (veja a Aula 17).
\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3b7 \u3009 = 2v1 + 3v2 + v3 = 0 ,
\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u \u3009 = \u2212v1 + v2 \u2212 v3 = 0 .
De novo temos um sistema com três indeterminadas e duas equações. Para resolvê-
lo, fixamos um valor para uma das variáveis, digamos v3 = 1, e determinamos as
outras duas a partir do sistema resultante:
2v1 + 3v2 = \u22121 ,
\u2212v1 + v2 = 1 .
Somando membro a membro as duas equações, obtemos v1 + 4v2 = 0, de onde
v1 = \u22124v2. Substituindo na segunda equação, obtemos 5v2 = 1, ou seja, v2 = 15
e, portanto, v1 = \u221245 .
Assim, o vetor de coordenadas (v1, v2, v3) = (\u221245 , 15 , 1) é perpendicular a \u2212\u2192u e a\u2212\u2192\u3b7 , simultaneamente. O mesmo acontece com qualquer múltiplo não-nulo desse
vetor, portanto, para \u2212\u2192v , escolhemos o quíntuplo desse vetor (pois multiplicando
por 5, as coordenadas ficam numa forma mais simples). Isto é, tomamos \u2212\u2192v =
(\u22124, 1, 5).
Assim, \u3a0 é o plano que passa pelo ponto P0 = (0, 0, 1) e é gerado pelos vetores
\u2212\u2192u = (\u22121, 1,\u22121) e \u2212\u2192v = (\u22124, 1, 5). Pelo visto, na Aula 17, obtemos
\u3a0 : P = P0 + s
\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v , s, t \u2208 R ,
ou seja,
\u3a0 : P = (x, y, z) = (0, 0, 1) + s(\u22121, 1,\u22121) + t(\u22124, 1, 5) , s, t \u2208 R ,
da qual, igualando as coordenadas, obtemos as equações paramétricas:
\u3a0 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = \u2212s\u2212 4ty = s+ tz = 1\u2212 s+ 5t , s, t \u2208 R .
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Equação cartesiana do plano
MÓDULO 2 - AULA 19
Exemplo 38
Determinar a equação cartesiana do plano \u3a0 que contém as retas
`1 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = 1\u2212 ty = tz = 1 + 2t , t \u2208 R e `2 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x = sy = 1\u2212 2sz = 3 + s , s \u2208 R .
Solução: Primeiramente, observe que as retas são concorrentes. De fato, o ponto
P0 = (0, 1, 3), que corresponde a s = 0 na equação de `2, corresponde a t = 1 na
equação de `1. Portanto, P0 \u2208 `1 \u2229 `2.
As retas `1 e `2 não são coincidentes, pois o ponto A = (1, 0, 1) \u2208 `1 (correspon-
dente a t = 0) não pertence a `2. Para verificar isso, tentamos procurar um valor
para o parâmetro s de `2 , tal que:
x = s = 1 , y = 1\u2212 2s = 0 e z = 3 + s = 1 .
Da primeira das equações, obtemos s = 1, valor que, substituído na segunda
equação, produz o absurdo \u22121 = 0. Portanto, A 6\u2208 `2.
Assim, o plano \u3a0 que contém as retas `1 e `2 é o plano que passa pelo ponto
P0 = (0, 1, 3) e é paralelo aos vetores\u2212\u2192u = (\u22121, 1, 2) e \u2212\u2192v = (1,\u22122, 1), direções
de `1 e `2 respectivamente.
Para determinar a equação cartesiana de \u3a0, devemos achar