Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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P do espaço é caracterizado por um terno de números reais (x, y, z) denominados
as coordenadas do ponto P no sistema OXY Z.
Observação
Quando você aprendeu os sistemas de coordenadas cartesianas no plano, viu que
existem outros sistemas de coordenadas construídos de maneira similar, mas cu-
jos eixos não são perpendiculares. A exigência da perpendicularidade dos eixos
é apenas um conforto, pois na maioria das situações facilita a visualização geo-
métrica. O mesmo acontece com as coordenadas cartesianas no espaço. Portanto,
eventualmente, um problema geométrico pode tornar-se mais simples com a esco-
lha de um sistema de coordenadas oblíquo, isto é, onde os eixos OX , OY e OZ
não são perpendiculares, mas apenas não-coplanares. Por essa razão, o sistema
de coordenadas definido anteriormente é dito ortogonal (ou seja, perpendicular).
O símbolo \u3a0...
É a letra maiúscula da letra grega
pi.
A escolha de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas implica a
determinação de três planos, chamados planos cartesianos, que se intersectam na
origem. Cada um desses planos contém exatamente dois dos eixos OX , OY ou
OZ e é perpendicular ao outro eixo. O plano que contém os eixos OX e OY será
designado por \u3a0XY e chamado plano XY (Figura 4).
Analogamente, o plano que contém os eixos OX e OZ é designado por
\u3a0XZ e chamado planoXZ (Figura 5). Finalmente, o plano Y Z, designado \u3a0Y Z ,
é aquele que contém os eixos OY e OZ (Figura 6).
Fig. 4: PlanoXY . Fig. 5: PlanoXZ. Fig. 6: Plano Y Z.
Determinando as coordenadas de um ponto no sistema OXY Z
Para determinar as coordenadas de um ponto P no espaço, fazemos as pro-
jeções perpendiculares de P sobre dois dos planos cartesianos.
Isto é, dado um ponto P , a reta paralela ao eixo OZ que passa por P , inter-
secta o plano XY num ponto que designaremos PXY .
Para determinar as coordenadas nos eixos OX e OY , traçamos as paralelas
11 CEDERJ
Coordenadas no espaço
a esses eixos que passam pelo ponto projetado PXY . Tais paralelas intersectam os
eixos OX e OY em pontos PX e PY respectivamente (veja a Figura 7). O ponto
PX corresponde a um número real x na cópia de R que
Fig. 7: Abscissa e a ordenada de P .
colocamos no eixo OX; esse nú-
mero real é a primeira coordenada
de P e é chamado a abscissa do
ponto P . Da mesma maneira, o
ponto PY do eixoOY corresponde
a um número real y na cópia de R
que colocamos no eixo OY ; esse
número é a segunda coordenada de
P e é chamado a ordenada do ponto
P .
A cota de um ponto P ...
No procedimento ao lado, a cota
do ponto P foi determinada
projetando perpendicularmente o
ponto P sobre o plano \u3a0Y Z . No
entanto, o mesmo valor para a
cota pode ser obtido projetando o
ponto P sobre o plano \u3a0XZ ,
como vemos na Figura 9.
Fig. 8: Cota de P . Fig. 9: Coordenadas de P .
Para determinar a coordenada no eixo OZ, traçamos a reta paralela ao eixo
OX que passa pelo ponto P . Essa reta intersecta o plano Y Z num ponto PY Z (Fi-
gura 8). As paralelas aos eixos OY e OZ, passando pelo ponto PY Z , intersectam
os eixos OY e OZ em pontos PY (determinado já no parágrafo anterior) e PZ .
O número real z, que corresponde ao ponto PZ na cópia de R que colocamos no
eixo OZ, é a terceira coordenada do ponto P , também chamada cota do ponto P .
A origem ...
Observe que a origem O do
sistema OXY Z é o único ponto
com todas as suas coordenadas
nulas:
O = (0, 0, 0) .
Convenção
Daqui em diante, um ponto P que tem abscissa x, ordenada y e cota z será iden-
tificado com seu terno de coordenadas cartesianas (x, y, z):
P = (x, y, z)
Observação
CEDERJ 12
Coordenadas no espaço
MÓDULO 2 - AULA 13
Os planos cartesianos são caracterizados da seguinte maneira:
\u3a0XY = {(x, y, 0)|x, y \u2208 R} , \u3a0XZ = {(x, 0, z)|x, z \u2208 R} e \u3a0Y Z = {(0, y, z)|y, z \u2208 R} .
Isto é, dado um ponto P = (x, y, z) no espaço, temos:
P \u2208 \u3a0XY \u21d0\u21d2 z = 0 , portanto, a equação cartesiana de \u3a0XY é: z = 0.
P \u2208 \u3a0XZ \u21d0\u21d2 y = 0 , portanto, a equação cartesiana de \u3a0XZ é: y = 0.
P \u2208 \u3a0Y Z \u21d0\u21d2 x = 0 , portanto, a equação cartesiana de \u3a0Y Z é: x = 0.
Com esta caracterização dos planos cartesianos, vemos que o eixo OX con-
siste nos pontos tais que y = 0 e z = 0, isto é:
OX = \u3a0XY \u2229 \u3a0XZ e suas equações cartesianas são
\uf8f1\uf8f2\uf8f3y = 0z = 0 .
Analogamente,
OY = \u3a0XY \u2229 \u3a0Y Z :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3x = 0z = 0 e OZ = \u3a0XZ \u2229 \u3a0Y Z :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3x = 0y = 0 .
Exemplo 1
Caracterizar os planos paralelos aos planos coordenados.
Solução: Um plano P é paralelo ao plano \u3a0XY se, e somente se, é perpendicular
ao eixo OZ.
Fig. 10: Plano P : z = k .
SendoP perpendicular ao eixoOZ,
temos P \u2229OZ = {(0, 0, k)}, para
algum k \u2208 R. Além disso, note
que a terceira coordenada de um
ponto (a cota), mede escencialmente
a altura do ponto com respeito ao
plano XY . Logo, como P é para-
lelo ao plano XY , a terceira coor-
denada de todo ponto de P é igual
a k. Isto é, P = {(x, y, k) |x, y \u2208
R}. Portanto, como não há restri-
ção sobre as coordenadas x e y dos pontos de P , a equação cartesiana de P é
z = k (veja a Figura 10).
Analogamente, um plano Q que é paralelo ao plano \u3a0XZ deve ser perpendicular
ao eixoOY . Portanto,Q\u2229\u3a0XZ = {(0, q, 0)}, para algum q \u2208 R. Logo, a segunda
coordenada de cada ponto Q = (x, y, z) de Q deve ser constante e igual a q.
Logo, a equação cartesiana de Q = {(x, q, z) |x, y \u2208 R} é y = q (Figura 11).
Finalmente, um planoR é paralelo ao plano\u3a0Y Z se, e somente se, é perpendicular
13 CEDERJ
Coordenadas no espaço
Fig. 11: PlanoQ : y = q . Fig. 12: PlanoR : x = r .
ao eixo OX . Se R \u2229 OX = {(r, 0, 0)}, então os pontos de R são (r, y, z), com
y, z \u2208 R. A equação cartesiana deR é x = r (Figura 12).
O conjunto dos pontos P = (x, y, z) do espaço que não pertencem a nenhum
dos planos cartesianos fica dividido em oito regiões denominadas octantes, são
estes:
Octantes ...
A divisão do espaço em octantes
corresponde à decomposição do
plano cartesiano em quatro
quadrantes, determinados pelos
eixos cartesianos OX e OY . Em
alguns livros antigos, os octantes
são denominados triedros.
{(x, y, z) |x > 0 , y > 0 , z > 0} , {(x, y, z) |x < 0 , y > 0 , z > 0} ,
{(x, y, z) |x < 0 , y < 0 , z > 0} , {(x, y, z) |x > 0 , y < 0 , z > 0} ,
{(x, y, z) |x > 0 , y > 0 , z < 0} , {(x, y, z) |x < 0 , y > 0 , z < 0} ,
{(x, y, z) |x < 0 , y < 0 , z < 0} , {(x, y, z) |x > 0 , y < 0 , z < 0} .
O primeiro octante é a região formada pelos pontos que têm todas as suas
coordenadas positivas, e não existe uma designação padrão para os outros octan-
tes.
Exemplo 2
Localizar no espaço os pontos P1 = (2, 2, 2), P2 = (\u22123, 3, 2), P3 = (4,\u22123, 3),
P4 = (4, 2,\u22123) e P5 = (4,\u22122,\u22122), determinando em qual dos octantes eles se
localizam.
Solução: Para localizarmos o ponto P1, medimos, a partir da origem, 2 unidades
na direção do semi-eixo OX positivo e 2 unidades na direção do semi-eixo OY
positivo.
No plano \u3a0XY , localizamos o ponto (2, 2, 0), projeção de P1 sobre o plano \u3a0XY .
Pela perpendicular ao plano \u3a0XY que passa por P1, medimos 2 unidades na
mesma direção do semi-eixo OZ positivo. O ponto localizado nessa perpendi-
cular é o ponto P1. Veja a Figura 13.
Como as três coordenadas de P1 são positivas, concluímos que P1 pertence ao
primeiro octante do espaço.
CEDERJ 14
Coordenadas no espaço
MÓDULO 2 - AULA 13
Fig. 13: Pontos P1 , . . . , P5.
Analogamente, para localizar o ponto
P2, medimos 3 unidades na dire-
ção do semi-eixoOX negativo, de-
pois 3 unidades na direção do semi-
eixo OY positivo e, finalmente, 2
unidades na direção do semi-eixo
OZ positivo (Figura 13). Como a
primeira coordenada de P2 é nega-
tiva, concluímos que P2 se encon-
tra no segundo octante do espaço.
Repita você mesmo o argumento
para verificar que a localização dos outros pontos P3, P4 e P5 é a mostrada na
Figura 13 e conclua que P3 está no quarto octante, que P4 está no quinto octante
e que P5 está no oitavo octante.
Fig. 14: Sistema OXY Z visto