Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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x = 1\u2212 t
y = 2s
z = s+ t
, s, t \u2208 R . b. \u3a0 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1\u2212 s\u2212 2t
y = s
z = 0
, s, t \u2208 R .
c. \u3a0 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1
y = 2s\u2212 t
z = 2s+ t
, s, t \u2208 R . d. \u3a0 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = \u2212t\u2212 s
y = 1 + s+ t
z = 1\u2212 t
, s, t \u2208 R .
6. Determine equações paramétricas para o plano \u3a0, onde:
a. \u3a0 : x = 1 . b. \u3a0 : x+ y \u2212 z = 0 .
c. \u3a0 : 3x\u2212 2y = 1 . d. \u3a0 : x+ y + z = 2 .
e. \u3a0 : 3x\u2212 3y \u2212 z \u2212 3 = 0 .
7. Determine a família de planos que intersectam perpendicularmente a diago-
nal do espaço.
8. Determine a família de planos que intersectam perpendicularmente a reta `
que passa pelo ponto P0 = (\u22122, 0, 2) com direção \u2212\u2192v = (1, 0,\u22122) .
93 CEDERJ
Equação cartesiana do plano
9. Determine a reta ` = \u3a01 \u2229 \u3a02, onde:
a. \u3a01 : 3x+ y = 0 , \u3a02 : x\u2212 z = 1 .
b. \u3a01 : \u2212x\u2212 y + z = 2 , \u3a02 : x\u2212 z = 1 .
c. \u3a01 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = s
y = t
z = 2 + s\u2212 t
, s, t \u2208 R , \u3a02 : x\u2212 z = 1 .
d. \u3a01 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1 + s+ t
y = 1 + t
z = 1 + s\u2212 t
, s, t \u2208 R , \u3a02 : x\u2212 z = 0 .
e. \u3a01 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = 1
y = 2
z = 1\u2212 s\u2212 2t
, s, t \u2208 R , \u3a02 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = t
y = t
z = 1\u2212 s\u2212 t
, s, t \u2208 R .
Auto-avaliação
Se você entendeu bem o conteúdo da aula, então não deve ter dificuldade
em resolver os exercícios propostos. Todos eles servem para praticar os conceitos
aprendidos. Não esqueça de fazer desenhos para ter a idéia geométrica mais clara.
Se ainda estiver com dúvida, reveja a aula ou, em última instância, procure o tutor
no seu pólo.
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Orientação, produto vetorial e área
MÓDULO 2 - AULA 20
Orientação, produto vetorial e área
Objetivos
\u2022 Estabelecer o conceito de sistema referencial orientado.
\u2022 Definir o produto vetorial de vetores no espaço.
\u2022 Relacionar o produto vetorial com a noção de área.
William Rowan Hamilton
1805-1865, Dublin
Irlanda
William Hamilton começou a
estudar Matemática aos 13 anos
de idade, lendo o tratado de
Álgebra de M. Clairaut e, aos 15
anos, estudando os trabalhos de
Newton e Laplace. Em 1822,
ganhou a atenção dos astrônomos
da Coroa Irlandesa ao descobrir
um erro no tratado de Mecânica
Celeste de Laplace.
Aos 18 anos, ingressou no Trinity
College, em Dublin, onde
graduou-se com menções de
honra. Apresentou diversos
trabalhos na Real Academia
Irlandesa versando sobre tópicos
avançados de Geometria, Física e
Astronomia. Deve-se a Hamilton
a origem da palavra vetor.
Para saber mais sobre Hamilton,
veja:
http://www.maths.tcd.
ie/pub/HistMath/
People/Hamilton
http://www-groups.dcs.
st-and.ac.uk/~history/
Mathematicians/
Hamilton.html
http://occawlonline.
pearsoned.com/
bookbind/pubbooks/
thomas_awl/chapter1/
medialib/custom3/bios/
hamilton.htm
Nesta aula, definimos outro tipo de multiplicação entre vetores, o produto
vetorial. Esse tipo de multiplicação foi descoberta pelo matemático e físico irlan-
dês Sir William Rowan Hamilton em outubro de 1843. Hamilton trabalhou muitos
anos tentando deduzir uma estrutura multiplicativa nas ternas ordenadas (x, y, z)
de números reais, da mesma forma como fizera dez anos antes descrevendo os
números complexos como pares ordenados de números reais com uma estrutura
multiplicativa num trabalho apresentado à Real Academia Irlandesa.
Os esforços de Hamilton culminaram em outubro de 1843 com a sua des-
coberta dos quatérnios, quádruplas ordenadas de números reais (t, x, y, z) com
uma estrutura multiplicativa semelhante à dos números complexos. Tal estrutura,
quando restrita às quádruplas da forma (1, x, y, z), coincide com a operação de-
nominada produto vetorial, que abordaremos nesta aula.
Para definirmos o produto vetorial de vetores no espaço, é necessário enten-
der primeiro a importante noção de orientação.
Orientação e sistemas referenciais
Definição 16
Um referencial E do plano consiste na escolha de um ponto P0 e dois vetores line-
armente independentes \u2212\u2192e1 e \u2212\u2192e2 no plano. Então, dizemos que E = {P0;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 }
é um referencial do plano com origem no ponto P0.
Fig. 94: Diversos referenciais do plano com origem no ponto P0.
Assim, dar um referencial E = {P0;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 } do plano significa escolher um
ponto P0 no plano (denominado origem) e dois vetores linearmente independentes
95 CEDERJ
Orientação, produto vetorial e área
\u2212\u2192e1 e \u2212\u2192e2 .
Seja E = {P0;\u2212\u2192e1 = \u2212\u2212\u2212\u2192P0P1 ,\u2212\u2192e2 = \u2212\u2212\u2212\u2192P0P2 } um referencial fixo no plano.
Referencial ortonormal
Lembre que dois vetores são
ortonormais quando são unitários
e ortogonais (isto é, o seu
produto interno é igual a zero).
Um referencial ortogonal é um
referencial onde os vetores
envolvidos são ortogonais. Um
referencial ortonormal é um
referencial ortogonal de vetores
unitários.
Em relação ao referencial E , dividimos a coleção de todos os possíveis re-
ferenciais no plano em duas classes da seguinte maneira:
\u2022 Dizemos F = {P0;\u2212\u2192v1 = \u2212\u2212\u2192P0A ,\u2212\u2192v2 = \u2212\u2212\u2212\u2192P0B } é um referencial de mesma
orientação que E se a rotação de menor ângulo, que devemos aplicar ao segmento
P0A, para deixá-lo com igual direção e sentido que o segmento P0B, em relação
à origem P0, é feita no mesmo sentido que a rotação de menor ângulo ,em relação
a P0, que devemos aplicar ao segmento P0P1 para deixá-lo com igual direção e
sentido que o segmento P0P1 (Figura 95).
\u2022 Assim, F = {P0;\u2212\u2192v1 = \u2212\u2212\u2192P0A ,\u2212\u2192v2 = \u2212\u2212\u2212\u2192P0B } é um referencial de orientação
oposta à de E quando a rotação de menor ângulo, que é necessário aplicar ao
segmento P0A para deixá-lo com a mesma direção e sentido que o segmento P0B
(em relação à origem P0), é feita no sentido oposto à rotação de menor ângulo (em
relação a P0), que devemos aplicar ao segmento P0P1 para deixá-lo com a mesma
direção e sentido que o segmento P0P1 (Figura 96).
Fig. 95: F de mesma orientação que E . Fig. 96: F de orientação oposta à de E .
Exemplo 42
Verificar que F = {P0;\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e1 } e G = {P0;\u2212\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 } são referenciais de orien-
tação oposta à do referencial E = {P0;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 } .
Solução: De fato, a rotação necessária para levar o primeiro vetor da lista deF , ou
seja,\u2212\u2192e2 , sobre o segundo\u2212\u2192e1 , é exatamente a oposta à rotação que leva o primeiro
vetor \u2212\u2192e1 da lista de E , sobre o segundo \u2212\u2192e2 .
Como o vetor \u2212\u2212\u2192e1 tem sentido oposto a \u2212\u2192e1 , a rotação de menor ângulo que leva
\u2212\u2212\u2192e1 sobre \u2212\u2192e2 é feita em direção contrária àquela que leva \u2212\u2192e1 sobre \u2212\u2192e2 .
No exemplo anterior, observamos que mudar a ordem dos vetores num re-
ferencial ou mudar o sentido de algum deles, inverte a orientação.
Enquanto que na Geometria Plana, todos os objetos e transformações acon-
tecem apenas em um dos lado do plano (isto é, uma criatura planar jamais saberá
CEDERJ 96
Orientação, produto vetorial e área
MÓDULO 2 - AULA 20
da existência do outro lado do plano), no espaço a situação é bem diferente (de
fato, as criaturas espaciais podem olhar os dois lados de um plano dado).
Nas Figuras 97 mostramos a dificuldade que um observador espacial teria
ao tentar estabelecer a orientação de um referencial F = {P0;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } no plano
\u3a0. Na figura à esquerda, o observador posiciona-se em frente ao plano esticando
o braço direito na direção do primeiro vetor de F (vetor \u2212\u2192v ), e observa que o giro
de menor ângulo que deve aplicar a esse braço esticado, para colocá-lo no sentido
do segundo vetor (\u2212\u2192w ) de F , deve ser feito movimentanto o braço em direção à
sua cabeça.
Fig. 97: O problema da orientação de um plano no espaço.
No entanto, se o observador posiciona-se frente ao plano, mas do outro lado
(como na figura da direita), ele poderá esticar o braço direito na direção do pri-
meiro vetor (\u2212\u2192v ) do referencial F , apenas se ficar de cabeça para baixo, e observa
que o giro de menor ângulo que tem que aplicar a esse braço esticado para colocá-
lo no sentido do segundo vetor (\u2212\u2192w ) deve ser feito movimentando o braço em
direção aos seus pés!
Assim, para estabelecer a orientação de um referencial num