Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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Além disso, na parte b.3., estamos dizendo, de forma implícita, que quando \u2212\u2192u
e \u2212\u2192v são LI, então, \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v 6= \u2212\u21920 .
Fig. 105: \u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 = Área(OACB).
De fato, se os vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são LI, então eles
são não-nulos e o ângulo (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) é diferente de
zero e de 180o . Portanto, \u2016\u2212\u2192u \u2016 6= 0, \u2016\u2212\u2192v \u2016 6= 0 e
sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) 6= 0.
Caso degenerado
Quando os vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são
LD, a interpretação da norma do
produto vetorial como a área do
paralelogramo continua válida,
pois, neste caso, \u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 = 0
e o paralelogramo é degenerado
(ou seja, é um ponto ou um
segmento no espaço) e, portanto,
tem área nula.
\u2022 Sejam \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192OA e \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192OB vetores LI e seja
C o ponto do plano que contém O, A e B, tal que
OACB é um paralelogramo. Então,
\u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 = Área(OACB)
pois tal paralelogramo tem altura
|OB| | sen(\u2220AOB)| = \u2016\u2212\u2192v \u2016 | sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v )|
e base de medida |OA| = \u2016\u2212\u2192u \u2016 (Figura 105).
Na prática, o produto vetorial é calculado usando coordenadas em relação a
um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, mas antes de apresentar a forma
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Orientação, produto vetorial e área
MÓDULO 2 - AULA 20
do produto vetorial em coordenadas, analisamos suas propriedades usando apenas
a Definição 19.
Criando um referencial
ortonormal positivo
Segue da propriedade a. que,
quando \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são vetores
ortonormais, então, qualquer que
seja o ponto P0 no espaço, o
referencial
F = {P0;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v } é
um referencial positivo. De fato,
como \u2016\u2212\u2192u \u2016 = \u2016\u2212\u2192v \u2016 = 1 e
sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) = sen(90o) = 1, o
vetor \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v é unitário.
Proposição 11 (Propriedades do produto vetorial)
Sejam \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w vetores do espaço e seja \u3bb \u2208 R. Então,
a. \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v = \u2212\u21920 \u21d0\u21d2 \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são LD.
b. \u2212\u2192v ×\u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v (propriedade anti-comutativa).
c. (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v = \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) = \u2212\u2192u × (\u3bb\u2212\u2192v ) .
d. \u2212\u2192u × (\u2212\u2192v +\u2212\u2192w ) = \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v +\u2212\u2192u ×\u2212\u2192w .
Demonstração: A demonstração do item d. será feita na Aula 22.
a. Temos que \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v = \u2212\u21920 se, e somente se, \u2016\u2212\u2192u \u2016 \u2016\u2212\u2192v \u2016 | sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v )| = 0,
isto é, se, e somente se, algum dos vetores é nulo ou sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) = 0 (note que
esta última condição significa que (\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) é igual a 0o ou a 180o e, portanto, os
vetores são colineares). Isso equivale a dizer que \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são LD.
b. Os vetores\u2212\u2192v ×\u2212\u2192u e\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v são normais ao plano que passa pela origem
O e é gerado pelos vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v . Também observe que esses vetores têm igual
norma.
Finalmente, lembre que mudar o sinal de um vetor num referencial inverte a
orientação do referencial. Assim, pela Definição 19, sabemos que os referenciais
{O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v } e {O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ×\u2212\u2192u } são ambos positivos. Ora, o referencial
{O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192u × \u2212\u2192v } é negativo, pois é obtido de um referencial positivo permu-
tando dois vetores. Assim, o referencial {O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192u × \u2212\u2192v } é positivo, pois é
obtido a partir de um referencial negativo, mudando o sinal de um dos vetores.
Sendo os referenciais {O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ×\u2212\u2192u } e {O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v } positivos,
os vetores \u2212\u2192v × u e \u2212\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v têm o mesmo sentido.
Resumindo, os vetores \u2212\u2192v ×\u2212\u2192u e \u2212\u2212\u2192u × v têm igual norma, igual direção
e igual sentido, isto é, são iguais.
c. Se \u3bb = 0 ou os vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são LD, então, os vetores \u3bb\u2212\u2192u e \u2212\u2192v são
LD. Portanto, \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) = \u2212\u21920 = (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v . A outra identidade é argumentada
de forma semelhante.
Suponhamos que \u3bb 6= 0 e que os vetores \u2212\u2192u e \u2212\u2192v sejam LI.
Como os vetores \u2212\u2192u e \u3bb\u2212\u2192u são colineares, o plano \u3a0 gerado por \u2212\u2192u e \u2212\u2192v que
passa pela origem é, também, gerado por \u3bb\u2212\u2192u e \u2212\u2192v . Logo, os vetores \u2212\u2192u × \u2212\u2192v ,
\u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) e (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v são colineares, isto é, têm a mesma direção.
Temos, também, que sen(\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ), se \u3bb > 0\u2212 sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ), se \u3bb < 0 ,
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Orientação, produto vetorial e área
ou seja, | sen(\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v )| = | sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v )|.
Logo, das propriedades da norma, temos:
\u2016(\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v \u2016 = \u2016\u3bb\u2212\u2192u \u2016 \u2016\u2212\u2192v \u2016 | sen(\u3bb\u2212\u2192u , \u3bb\u2212\u2192v )|
= |\u3bb| \u2016\u2212\u2192u \u2016 \u2016\u2212\u2192v \u2016 | sen(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v )|
= |\u3bb| \u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016
= \u2016\u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v )\u2016 .
Isto é, (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v e \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) têm igual norma.
Assim, para mostrar que os vetores (\u3bb\u2212\u2192u ) × \u2212\u2192v e \u3bb(\u2212\u2192u × \u2212\u2192v ) são iguais,
basta mostrar que eles têm o mesmo sentido.
Pela Definição 19, o referencial {O;\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v , (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v } é positivo.
Se \u3bb > 0, o referencial {O;\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v , \u3bb(\u2212\u2192u × \u2212\u2192v )} é também positivo, con-
seqüentemente, (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v e \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) têm o mesmo sentido.
Se \u3bb < 0, o referencial {O;\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u × \u2212\u2192v } é negativo e, portanto, o
referencial {O;\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v , \u3bb(\u2212\u2192u × \u2212\u2192v )} é positivo. Assim, quando \u3bb < 0 também,
(\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v e \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) têm o mesmo sentido.
Resumindo, os vetores (\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v e \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) têm a mesma direção, norma
e sentido, sendo, portanto, iguais. Além disso, do item anterior, temos
\u2212\u2192u × (\u3bb\u2212\u2192v ) = \u2212(\u3bb\u2212\u2192v )×\u2212\u2192u = \u2212\u3bb(\u2212\u2192v ×\u2212\u2192u ) = \u3bb(\u2212(\u2212\u2192v ×\u2212\u2192u )) = \u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ) .
d. Como dissemos antes, a prova da propriedade distributiva do produto
vetorial será feita na Aula 22. \ufffd
Na Aula 22 definimos outra operação denominada produto misto, que a cada
terna de vetores faz corresponder um escalar. Nesse produto, acontece a conjun-
ção do produto escalar com o produto vetorial, e, a partir de suas propriedades,
obtemos de forma simples, a propriedade distributiva do produto vetorial e a ex-
pressão do produto vetorial em termos de coordenadas, com a qual efetua-se o
cálculo do produto vetorial na prática.
Nota
Muitos autores preferem uma
abordagem menos geométrica,
apresentando o produto vetorial
por meio de uma fórmula
envolvendo as coordenadas dos
vetores fatores em relação a um
sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas fixado previamente.
A partir da expressão em
coordenadas, é possível deduzir a
apresentação geométrica que aqui
fizemos. No entanto, preferimos
abordar primeiro o aspecto
geométrico, deixando para depois
o trabalho braçal dos cálculos.
Resumo
Nesta aula, apresentamos o conceito de referencial orientado no espaço e o
usamos para definir uma nova operação, denominada produto vetorial, que a cada
par de vetores faz corresponder um novo vetor perpendicular a eles. A norma
desse produto vetorial corresponde, geometricamente, à área do paralelogramo
cujos lados medem as normas dos vetores fatores.
CEDERJ 102
Orientação, produto vetorial e área
MÓDULO 2 - AULA 20
Exercícios
1. Suponha que E = {P0;\u2212\u2192v1 ,\u2212\u2192v2 ,\u2212\u2192v3 } é um referencial positivo no espaço.
Determine qual é a orientação do referencialF = {P0;\u2212\u2192w1 ,\u2212\u2192w2 ,\u2212\u2192w3 }, onde:
a. \u2212\u2192w1 = 2\u2212\u2192v1 , \u2212\u2192w2 = \u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w3 = 2\u2212\u2192v3 .
b. \u2212\u2192w1 = \u2212\u2192v1 , \u2212\u2192w2 = \u2212\u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w3 = \u22122\u2212\u2192v3 .
c. \u2212\u2192w1 = \u22123\u2212\u2192v1 , \u2212\u2192w2 = \u22122\u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w3 = 2\u2212\u2192v3 .
d. \u2212\u2192w1 = \u2212\u2192v1 +\u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w2 = \u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w3 = \u2212\u2192v3 .
e. \u2212\u2192w1 = \u22123\u2212\u2192v1 , \u2212\u2192w2 = \u22122\u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w3 = 2\u2212\u2192v3 .
f. \u2212\u2192w1 = \u2212\u2212\u2192v2 , \u2212\u2192w2 = \u2212\u2192v1 \u2212\u2192w3 = \u2212\u2212\u2192v3 .
2. Considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXY Z e o re-
ferencial ortonormal canônico C = {O;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 } (que, por convenção, é
positivo). Determine, de forma visual, se o referencial E = {O;\u2212\u2192v1 ,\u2212\u2192v2 ,\u2212\u2192v3 }
a seguir é positivo (tem a mesma orientação que C) ou negativo (tem orien-
tação contrária à de C).
a. \u2212\u2192v1 = (1, 0, 0) , \u2212\u2192v2 = (0, 1, 0) , \u2212\u2192v3 = (0, 0,\u22121) .
b. \u2212\u2192v1 = (\u22121, 0, 1) , \u2212\u2192v2 = (1, 0, 1) , \u2212\u2192v3 = (0, 1, 0) .
c. \u2212\u2192v1 = (0, 2, 3) , \u2212\u2192v2 = (1, 0, 0) , \u2212\u2192v3 = (0, 12 ,\u221213) .
d. \u2212\u2192v1 = (1, 1, 1) , \u2212\u2192v2 = (\u22121, 1, 1) , \u2212\u2192v3 = (\u22121,\u22121, 1) .
e. \u2212\u2192v1 = (1, 1, 1) , \u2212\u2192v2 = (1, 1, 0) , \u2212\u2192v3 = (0, 1, 1) .
f. \u2212\u2192v1 = (1, 1, 1) , \u2212\u2192v2 = (0, 1, 1) , \u2212\u2192v3 = (1,\u22121, 0) .
3. Se \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são vetores no espaço, verifique que:
\u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u20162 + \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u30092 = \u2016\u2212\u2192u \u20162 \u2016\u2212\u2192v \u20162 .
IMPORTANTE!
O Exercício 4 fornece um
dispositivo prático para calcular a
área de um paralelogramo. De
fato, lembre que se P é o
paralelogramo de lados
adjacentes AB e AC. Então,
escrevendo \u2212\u2192u = AB e
\u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AC , temos
Área (P) = \u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 .
Logo, usando o Exercício 4,
concluímos
(Área (P))2