Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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= 0, então o
volume do paralelepípedo P
cujos lados adjacentes
representam \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w , tem
volume zero. Portanto, P é um
paralelepípedo degenerado. Isto
é, suas arestas são coplanares.
Logo, os vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w são
LD.
\u2022 Se \u2212\u2192w = 0, então \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w são LD.
\u2022 Se \u2212\u2192u e \u2212\u2192v não são colineares e \u2212\u2192w 6= \u2212\u21920 , então \u2212\u2192w é perpendicular a \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v e,
portanto, \u2212\u2192w é combinação linear de \u2212\u2192u e \u2212\u2192v . Logo, os três vetores são LD.
Reciprocamente, suponhamos que\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v e\u2212\u2192w sejam LD. Caso algum desses
vetores seja nulo, temos, claramente, [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] = 0.
Suponhamos então, que nenhum dos três vetores seja o vetor zero.
\u2022 Se \u2212\u2192u e \u2212\u2192v são colineares, então \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v = \u2212\u21920 . Logo, [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] = 0.
\u2022 Se \u2212\u2192u e \u2212\u2192v não são colineares, então \u2212\u2192w = s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v , para alguns escalares s e
t. Das propriedades do produto interno, temos
[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] = \u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v , s\u2212\u2192u + t\u2212\u2192v \u3009 = s\u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u \u3009+ t\u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192v \u3009 = 0 ,
IMPORTANTE!
Em particular, do item a.,
obtemos que [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] 6= 0 se,
e somente se, \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w são LI.
pois o produto vetorial de dois vetores é perpendicular a cada um dos fatores.
b. Para demonstrar b, consideramos vetores LI \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w . Note que
[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] = \u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = \u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 \u2016\u2212\u2192w \u2016 cos(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) .
Fig. 107: [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] > 0 .
Como os vetores são LI, tomamos pontos A,
B e C no espaço, tais que \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192OA , \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192OB e
\u2212\u2192w = \u2212\u2212\u2192OC . Seja \u3a0 o plano que contém os pontos O,
A e B.
Da identidade anterior, vemos que
[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] > 0\u21d0\u21d2 cos(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) > 0,
isto é, se, e somente se, o vetor
\u2212\u2212\u2192
OD = pr\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
\u2212\u2192w
tem o mesmo sentido que \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v , pois:
\u2212\u2212\u2192
OD = pr\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
\u2212\u2192w = \u2016
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016 \u2016\u2212\u2192w \u2016 cos(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w )
\u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u20162
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
=
\u2016\u2212\u2192w \u2016 cos(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w )
\u2016\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2016
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v .
ou seja, os pontos C eD (extremidade do representante de pr\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
\u2212\u2192w com origem
O) pertencem ao mesmo semi-espaço determinado pelo plano \u3a0 que contém os
pontos O, A e B.
Portanto, como o referencial {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u × v} é positivo, o referencial
{O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2212\u2192OD } é também positivo. Logo, o referencial {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } é posi-
tivo.
Segue de b.
Como conseqüência de b.,
temos: [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] < 0 se, e
somente se, os vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e
\u2212\u2192w são LI e o referencial
{O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } é negativo.
c. Caso os vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w sejam LD (coplanares), todos os produtos
mistos indicados são nulos.
CEDERJ 108
Produto vetorial, produto misto e volume
MÓDULO 2 - AULA 21
Suponhamos então que\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v e\u2212\u2192w sejam LI. Como o volume de um parale-
lepípedo é o mesmo quando calculado em relação a qualquer uma das suas bases,
os produtos mistos têm o mesmo módulo, isto é, temos
|[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ]| = |[\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ]| = |[\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ]| = |[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192v ]|
= |[\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ]| = |[\u2212\u2192w ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ]| .
Assim, salvo sinal, os produtos mistos indicados são iguais.
Como os referenciais {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } e {O;\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u } têm a mesma ori-
entação, obtemos, por b., que os produtos mistos [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] e [\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ] têm o
mesmo sinal (ambos são positivos ou ambos são negativos) e, portanto, são iguais.
O argumento para demonstrar as outras identidades segue de maneira análoga e
deixamos os detalhes para você completar.
d. Das propriedades do produto interno e do produto vetorial, temos:
[\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] = \u3008(\u3bb\u2212\u2192u )×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = \u3008\u3bb(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ),\u2212\u2192w \u3009
= \u3bb\u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w \u3009 = \u3bb [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] .
As outras identidades são verificadas de forma análoga.
e. Das propriedades dos produtos interno e vetorial, e, do item c.:
[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v +\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192w ] = [\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v +\u2212\u2192v0 ]
= \u3008\u2212\u2192w ×\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v +\u2212\u2192v0 \u3009
= \u3008\u2212\u2192w ×\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009+ \u3008\u2212\u2192w ×\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v0 \u3009
= [\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ] + [\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v0 ]
= [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] + [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192w ] .
As outras identidades são verificadas de forma análoga. \ufffd
Como conseqüência das propriedades do produto misto, vamos demonstrar
a propriedade distributiva do produto vetorial.
Fig. 108: Distributividade do pro-
duto vetorial.
Proposição 13 (Propriedade distributiva do produto vetorial)
Sejam \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w vetores no espaço, então,
\u2212\u2192u × (\u2212\u2192v +\u2212\u2192w ) = \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v +\u2212\u2192u ×\u2212\u2192w .
Demonstração: Vamos provar que o vetor\u2212\u2192\u3c3 = \u2212\u2192u ×(\u2212\u2192v +\u2212\u2192w )\u2212\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v \u2212\u2212\u2192u ×\u2212\u2192w
deve ser o vetor nulo. Para tal, basta verificar que \u3008\u2212\u2192\u3c3 ,\u2212\u2192\u3c3 \u3009 = 0. Usando as
propriedades do produto interno e a propriedade e., da Proposição 12, temos
\u3008\u2212\u2192\u3c3 ,\u2212\u2192\u3c3 \u3009 = \u3008\u2212\u2192u × (\u2212\u2192v +\u2212\u2192w ),\u2212\u2192\u3c3 \u3009 \u2212 \u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3c3 \u3009 \u2212 \u3008\u2212\u2192u ×\u2212\u2192w ,\u2212\u2192\u3c3 \u3009
= [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v +\u2212\u2192w ,\u2212\u2192\u3c3 ]\u2212 [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3c3 ]\u2212 [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192\u3c3 ]
= [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3c3 ] + [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192\u3c3 ]\u2212 [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192\u3c3 ]\u2212 [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192\u3c3 ] = 0 . \ufffd
Observação
109 CEDERJ
Produto vetorial, produto misto e volume
Se \u2212\u2192e1 , \u2212\u2192e2 e \u2212\u2192e3 são vetores unitários e ortogonais entre si, então, esses vetores
são LI e {O;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 } é um referencial ortonormal. As coordenadas de um
vetor \u2212\u2192v em relação à base {\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 } são:
\u2212\u2192v = (\u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192e1 \u3009, \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192e2 \u3009, \u3008\u2212\u2192v ,\u2212\u2192e3 \u3009)
Proposição 14
Seja {O;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 } um referencial ortonormal positivo no espaço. Então valem
as seguintes identidades:
\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e1 = \u2212\u21920 , \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u21920 , \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u21920
\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u2192e3 , \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u2192e1 , \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e1 = \u2212\u2192e2
\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u2212\u2192e2 , \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e1 = \u2212\u2212\u2192e3 , \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u2212\u2192e1 .
Um dispositivo prático
Se {O;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 } é um
referencial ortonormal positivo,
então, para calcular o produto
vetorial \u2212\u2192ei ×\u2212\u2192ej , com
i, j \u2208 {1, 2, 3}, i 6= j, seguimos
o diagrama abaixo ao longo do
caminho saindo de \u2212\u2192ei passando
por \u2212\u2192ej e chegando ao seguinte
vetor do percurso \u2212\u2192ek que, será o
resultado do produto vetorial de
\u2212\u2192ei por \u2212\u2192ej acompanhado de um
sinal.
O sinal será positivo quando o
percurso saindo de \u2212\u2192ei , passando
por\u2212\u2192ej e chegando a\u2212\u2192ek for feito
no sentido indicado pelas flechas.
O sinal será negativo se o
percurso for feito em sentido
contrário ao indicado pelas
flechas. Por exemplo, para
calcular \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e3 , seguimos o
percurso de \u2212\u2192e2 passando por \u2212\u2192e3
e chegamos a \u2212\u2192e1 . Como o
percurso é feito no sentido das
flechas, \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u2192e1 . No
entanto, para calcular \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e2 ,
fazemos o percurso saindo de
\u2212\u2192e3 , passando por \u2212\u2192e2 e chegando
a \u2212\u2192e1 . Como o trajeto é feito em
sentido contrário às flechas,
temos \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u2212\u2192e1 .
Demonstração: As identidades \u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e1 = \u2212\u21920 , \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u21920 e \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u21920
são conseqüência da definição de produto vetorial.
Como os vetores \u2212\u2192e1 e \u2212\u2192e1 são unitários e (\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ) = 90o, temos
\u2016\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e2 \u2016 = \u2016\u2212\u2192e1 \u2016 \u2016\u2212\u2192e2 \u2016 | sen 90o\u2016 = 1 .
Já que os vetores \u2212\u2192e1 × \u2212\u2192e2 e \u2212\u2192e3 são ambos unitários e simultaneamente
perpendiculares a \u2212\u2192e1 e a \u2212\u2192e2 , para eles serem iguais, basta verificar que têm o
mesmo sentido. Porém, os vetores \u2212\u2192e1 × \u2212\u2192e2 e \u2212\u2192e3 têm o mesmo sentido, pois os
referenciais {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } e {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v } são ambos positivos.
Portanto, \u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e2 = \u2212\u2192e3 .
Analogamente, verificamos \u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e3 = \u2212\u2192e1 e \u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e1 = \u2212\u2192e2 .
Finalmente, as identidades \u2212\u2192e1 × \u2212\u2192e3 = \u2212\u2212\u2192e2 , \u2212\u2192e2 × \u2212\u2192e1 = \u2212\u2212\u2192e3 e
\u2212\u2192e3 × \u2212\u2192e2 = \u2212\u2212\u2192e1 são conseqüência das identidades anteriores e da propriedade
anti-comutativa do produto vetorial. \ufffd
Expressão do produto vetorial em coordenadas
Seja OXY Z um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço e
consideremos o referencial canônico associado C = {O;\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2 ,\u2212\u2192e3 }.
Sejam \u2212\u2192u = (x, y, z) = x\u2212\u2192e1 + y\u2212\u2192e2 + z\u2212\u2192e3 e \u2212\u2192v = (x\u2032, y\u2032, z\u2032) = x\u2032\u2212\u2192e1 +
y\u2032\u2212\u2192e2 + z\u2032\u2212\u2192e3 vetores no espaço.
Usando as propriedades do produto vetorial e a Proposição 14, temos:
CEDERJ 110
Produto vetorial, produto misto e volume
MÓDULO 2 - AULA 21
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v = (x\u2212\u2192e1 + y\u2212\u2192e2 + z\u2212\u2192e3 )× (x\u2032\u2212\u2192e1 + y\u2032\u2212\u2192e2 + z\u2032\u2212\u2192e3 )
= x x\u2032\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e1 + x y\u2032\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e2 + x z\u2032\u2212\u2192e1 ×\u2212\u2192e3
+y x\u2032\u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e1 + y y\u2032\u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e2 + y z\u2032\u2212\u2192e2 ×\u2212\u2192e3
+z x\u2032\u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e1 + z y\u2032\u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e2 + z z\u2032\u2212\u2192e3 ×\u2212\u2192e3
= x