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# Geometria Analítica-vol2

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Exemplo 48
Determinar o volume do paralelepípedo P que tem por arestas adjacentes os seg-
mentos AB , AC e AD , onde A = (1, 0, 1) , B = (0, 1, 1) , C = (1, 1, 1) e
D = (1,\u22121,\u22121) (Figura 114).
Fig. 114: Exemplo 48.
Solução: Sabemos que Volume (P) = | [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] |, onde
\u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192AB = (\u22121, 1, 0) , \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AC = (0, 1, 0), \u2212\u2192w = \u2212\u2212\u2192AD = (0,\u22121,\u22122) .
Calculando, temos:
[
\u2212\u2212\u2192
AB ,
\u2212\u2212\u2192
AC ,
\u2212\u2212\u2192
\u2212\u2212\u2192
AB ,
\u2212\u2212\u2192
AC ,
\u2212\u2212\u2192
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u22121 1 0
0 1 0
0 \u22121 \u22122
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
=
\u2223\u2223\u2223\u22231 01 0
\u2223\u2223\u2223\u2223 (0)\u2212 \u2223\u2223\u2223\u2223\u22121 00 0
\u2223\u2223\u2223\u2223 (\u22121) + \u2223\u2223\u2223\u2223\u22121 10 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 (\u22122)
= (1(0)\u2212 1(0))(0)\u2212 ((\u22121)0\u2212 0(0))(\u22121) + (\u22121(1)\u2212 1(0))(\u22122)
= 2 .
Portanto, Volume (P) = | [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] | = |2| = 2 (unidades de volume) .
IMPORTANTE!
tamanho 3× 3.
Sejam
\u2212\u2192u = (u1, u2, u3), \u2212\u2192v = (v1, v2, v3), \u2212\u2192v0 = (x1, x2, x3) e \u2212\u2192w = (w1, w2, w3)
vetores no espaço (dados em termos de um sistema ortogonal positivo de coor-
denadas cartesianas OXY Z) e um escalar \u3bb \u2208 R . Então, valem as seguintes
A. det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = 0 se, e somente se, os vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w são LD.
B. det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) > 0\u21d0\u21d2 {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } é um referencial positivo.
det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) < 0\u21d0\u21d2 {O;\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w } é um referencial negativo.
C. Permutar duas filas adjacentes muda o sinal do determinante:
det(\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192v ) = det(\u2212\u2192w ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ) = \u2212 det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) .
115 CEDERJ
Produto vetorial, produto misto e volume
det(\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ) = det(\u2212\u2192w ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) .
D.Multiplicar todos os elementos de uma fila do determinante por uma constante
\u3bb equivale a multiplicar o determinante por \u3bb:
det(\u3bb\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u , \u3bb\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v , \u3bb\u2212\u2192w ) = \u3bb det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) .
det(\u2212\u2192u +\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) + det(\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) .
det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v +\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) + det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v0 ,\u2212\u2192w ) .
det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w +\u2212\u2192v0 ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) + det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192v0 ) .
Do ponto de vista algébrico, as
fila ou, brevemente, multilinear.
O mesmo vale para o produto
misto.
Todas essas propriedades são interpretação direta das correspondentes pro-
priedades do produto misto contidas na Proposição 12, da Aula 22.
Além disso, lembre que se dois fatores no produto misto são iguais, então o
produto misto é igual a zero. Isto é:
[\u2212\u2192u ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ] = [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192v ] = [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ] = 0 .
Este fato é traduzido em termos de determinantes como:
det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192u ,\u2212\u2192w ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192v ) = det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192u ) = 0 ,
ou seja, se num determinante duas filas são iguais, então o seu valor é igual a
zero.
Resumo
Nesta aula, definimos o produto misto de três vetores no espaço e estabe-
lecemos as suas propriedades básicas. Como conseqüência, obtivemos a proprie-
dade distributiva do produto vetorial, da qual deduzimos a expressão do produto
vetorial em termos de coordenadas. Após estabelecer alguns dispositivos práticos
para o cálculo do produto vetorial, apresentamos alguns exemplos práticos envol-
vendo cálculo de áreas de paralelogramos e volumes de paralelepípedos. Vimos,
também, como expressar o produto misto em termos de determinantes 3× 3.
Exercícios
1. Calcule \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v e [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ], onde:
a. \u2212\u2192u = (0,\u22121, 3) , \u2212\u2192v = (\u22122, 2, 4) , \u2212\u2192w = (\u22121, 0, 1) .
b. \u2212\u2192u = (1,\u22121, 2) , \u2212\u2192v = (3,\u22123, 6) , \u2212\u2192w = (2,\u22121, 0) .
c. \u2212\u2192u = (4,\u22122, 0) , \u2212\u2192v = (0, 1,\u22122) , \u2212\u2192w = (0, 1, 0) .
d. \u2212\u2192u = (3, 0,\u22121) , \u2212\u2192v = (\u22121,\u22121,\u22121) , \u2212\u2192v = (\u22123, 1, 1) .
e. \u2212\u2192u = (pi, 2pi,\u2212pi) , \u2212\u2192v = (3, 1, 4) , \u2212\u2192v = (0, 2, 0) .
f. \u2212\u2192u = (\u221a3,\u221a2, pi) , \u2212\u2192v = (2, 3,\u2212pi) , \u2212\u2192v = (\u22122pi,\u22122pi, pi) .
2. Considere os pontos
CEDERJ 116
Produto vetorial, produto misto e volume
MÓDULO 2 - AULA 21
A = (1, 1, 1), B = (\u22121, 2, 3) e C = (1, 0,\u22121) .
a. Determine a área do triângulo ABC.
b. Se \u2212\u2192u = \u2212\u2212\u2192AB e \u2212\u2192v = \u2212\u2212\u2192AC , determine um vetor unitário \u2212\u2192w que seja
simultaneamente ortogonal a \u2212\u2192u e a \u2212\u2192v .
3. Determine a área do paralelogramo P = ABCD, onde:
a. A = (1, 1, 2) , B = (2, 0, 1) , C = (2, 2,\u22121) ,
b. A = (0,\u22121, 0) , B = (3, 3, 3) , C = (0, 0, 0) ,
c. A = (4, 2, 0) , B = (3,\u22121, 2) , C = (1, 3,\u22122) ,
d. A = (1, 0,\u22121) , B = (1,\u22121, 1) , C = (2, 0, 0) ,
e. A = (\u2212pi, 2pi,\u2212pi) , B = (0, 1, 0) , C = (0, 0,\u22121) ,
f. A = (2
\u221a
2, 3
\u221a
2, 0) , B = (1, 3,\u22121) , C = (1, 1, 1)
e
\u2212\u2212\u2192
\u2212\u2212\u2192
AB +
\u2212\u2212\u2192
AC (não é necessário determinar o ponto D).
4. Determine equações paramétricas para a reta  que resulta da interseção dos
planos \u3a01 e \u3a02, onde:
a. \u3a01 : 3x\u2212 y + z = 1 , \u3a02 : x = 3 .
b. \u3a01 : x+ y + z = 3 , \u3a02 : x\u2212 y \u2212 z = \u22121 .
c. \u3a01 : \u2212y + z = 0 , \u3a02 : x\u2212 z = 1 .
d. \u3a01 : 3x\u2212 y \u2212 z , \u3a02 : x\u2212 y = 2 .
e. \u3a01 : x+ 2y + 3z = 4 , \u3a02 : 4x\u2212 3y \u2212 4 = 0 .
f. \u3a01 : 1\u2212 x\u2212 y = 0 , \u3a02 : x\u2212 y \u2212 z = 0 .
5. Calcule:
a. (2\u2212\u2192e1 +\u2212\u2192e2 )× (\u2212\u2192e1 \u2212 4\u2212\u2192e2 +\u2212\u2192e3 ) .
b. (\u2212\u2192e1 \u2212\u2212\u2192e3 )× (\u2212\u2192e1 \u2212\u2212\u2192e2 ) .
c. (\u2212\u2192e1 +\u2212\u2192e2 \u2212\u2212\u2192e3 )× (\u2212\u2212\u2192e1 \u2212\u2212\u2192e2 )\u2212 4\u2212\u2192e3 .
6. Determine equações paramétricas para a reta  = \u3a01 \u2229 \u3a02, onde
a. \u3a01 : 2x\u2212 1 = 0 e \u3a02 : x+ y + z = \u22121 .
b. \u3a01 : 3x\u2212 2y + z = 1 e \u3a02 : x+ y = 2 .
c. \u3a01 : 2x\u2212 2y + 2z = 0 e \u3a02 : 3x\u2212 y = \u22121 .
d. \u3a01 : x+ y \u2212 2z = 1 e \u3a02 : x\u2212 y + z = 2x .
7. O produto vetorial é associativo? Isto é, para quaisquer vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w ,
(\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v )× w = \u2212\u2192u × (\u2212\u2192v ×\u2212\u2192w ) ?
Justifique a sua resposta.
117 CEDERJ
Produto vetorial, produto misto e volume
8. Quais das seguintes expressões fazem sentido? Justifique a sua resposta.
a. \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ×\u2212\u2192w \u3009 b. \u2212\u2192u ×\u2212\u2192v ×\u2212\u2192w c.
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
\u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009
d. \u3008\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009 × \u2212\u2192w e. \u3008\u2212\u2192u × v,\u2212\u2192v × w\u3009 f. \u3008
\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v \u3009
\u2212\u2192u ×\u2212\u2192v
9. Calcule os seguintes determinantes:
a.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2 0 \u22121
1 1 0
0 \u22122 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 . b.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
0 0 1
1 0 0
0 1 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 . c.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u22121 1 1
1 1 1
0 1 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 .
d.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2 3 1
1 \u22122 0
2 2 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 . e.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
1
2
1 \u22121
2
0 1 0
1
2
1
2
1
3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 . f.
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
pi 0 pi
1 1 1
\u22121 1 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 .
onde:
a. A = (0, 0, 0) , B = (1, 1, 0) , C = (0, 1, 1) , D = (1, 0, 1) .
b. A = (1, 1, 1) , B = (2, 2, 0) , C = (0, 2, 3) , D = (0, 0, 0) .
c. A = (0, 1, 0) , B = (\u22121, 0, 2) , C = (1, 2, 1) , D = (2, 2, 4) .
Auto-avaliação
Os Exercícios de 1 a 6 são resolvidos por cálculos diretos e vão ajudá-lo
a adquirir mais familiaridade com o produto vetorial e o produto misto. No en-
tanto, os Exercícios 7 e 8 têm um sentido mais conceitual, faça-os! Se ainda tiver
dúvidas, revise novamente o conteúdo da aula ou entre em contato com o seu tutor.
CEDERJ 118
Apêndice
MÓDULO 2 - AULA 22
Apêndice
Proposição 15
Sejam \u2212\u2192u = (u1, u2, u3) , \u2212\u2192v = (v1, v2, v3) e \u2212\u2192w = (w1, w2, w3) três vetores no
espaço. Designamos por det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) o determinante 3 × 3, cujas filas são as
coordenadas respectivas dos vetores \u2212\u2192u , \u2212\u2192v e \u2212\u2192w . Então,
det(\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ) =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = [\u2212\u2192u ,\u2212\u2192v ,\u2212\u2192w ] (48)
Demonstração: Com efeito, vamos lembrar como se desenvolve um determinante
de tamanho 3× 3 por meio de determinantes menores de tamanho 2× 2.
Vejamos como calcular o determinante