Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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observe que, mesmo quando os pontos têm uma ou duas coor-
denadas coincidentes, a fórmula (1) pode ser aplicada.
Exemplo 4
Determinar a distância entre P1 e P2, onde:
a. P1 = (3, 2, 1) e P2 = (1, 2, 3).
Solução: d(P1, P2) =
\u221a
(3\u2212 1)2 + (2\u2212 2)2 + (1\u2212 3)2 = \u221a4 + 0 + 4 = \u221a8 = 2\u221a2.
b. P1 = (\u22121, 1, 1) e P2 = (1, 3, 0).
Solução: d(P1, P2) =
\u221a
(\u22121\u2212 1)2 + (1\u2212 3)2 + (1\u2212 0)2 = \u221a4 + 4 + 1 = \u221a9 = 3.
Exemplo 5
Verificar que os pontos P1 = (1, 2, 1), P2 = (3, 1, 0) e P3 = (1, 1, 2) são vértices
21 CEDERJ
A distância no espaço
de um triângulo retângulo.
Fig. 21: Exemplo 5
Solução: Os lados do triângulo têm
comprimentos:
d(P1, P2) =
\u221a
(1\u2212 3)2 + (2\u2212 1)2 + (1\u2212 0)2
=
\u221a
4 + 1 + 1 =
\u221a
6 ,
d(P1P3) =
\u221a
(1\u2212 1)2 + (2\u2212 1)2 + (1\u2212 2)2
=
\u221a
0 + 1 + 1 =
\u221a
2 ,
d(P3, P2) =
\u221a
(1\u2212 3)2 + (1\u2212 1)2 + (2\u2212 0)2
=
\u221a
4 + 0 + 4 =
\u221a
8 ,
Como d(P3, P2)2 = d(P1, P2)2 + d(P1, P3)2, concluímos que o triângulo de vér-
tices P1, P2 e P3 é retângulo, tendo como hipotenusa o segmento P2P3 e como
catetos os segmentos P1P2 e P1P3 .
Observação
As propriedades da distância no plano que conhecemos do Módulo 2 do Pré-
Cálculo continuam válidas para a distância no espaço. Enunciamos essas propri-
edades apenas para fazer mais completa a nossa explanação:
Propriedades da distância.
Sejam P , Q e R pontos do espaço. Então:
A. d(P,Q) \u2265 0.
B. d(P,Q) = 0\u21d0\u21d2 P = Q.
C. d(P,Q) = d(Q,P ).
D. d(P,R) \u2264 d(P,Q) + d(Q,R) (desigualdade triangular).
Exemplo 6
Determinar a equação que as coordenadas de um ponto P = (x, y, z) devem
satisfazer para pertencer à esfera de centro P0 = (x0, y0, z0) e raio r \u2265 0.
Solução: A esfera E(P0, r), de centro no ponto P0 e raio r, é o conjunto formado
pelos pontos P = (x, y, z) cuja distância até o ponto P0 é igual a r, isto é:
P \u2208 E(P0, r)\u21d0\u21d2 d(P, P0) = r \u21d0\u21d2
\u221a
(x\u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 = r .
Portanto, a equação cartesiana da esfera E(P0, r) é (Figura 22):
E(P0, r) : (x\u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 = r2 (2)
CEDERJ 22
A distância no espaço
MÓDULO 2 - AULA 14
Fig. 22: Esfera E(P0, r).
Bola fechada...
A bola fechada de centro P0 e
raio r, designada B(P0, r), é o
conjunto:
B(P0, r)=B(P0, r)\u222aE(P0, r),
onde E(P0, r) é a esfera de
centro P0 e raio r. Isto é, a bola
fechada é formada pela esfera
(casca) e pela região por ela
limitada (recheio).
Interior e exterior
Na Figura 23, o ponto A pertence
ao exterior da esfera E(P0, r),
enquanto o ponto B pertence ao
interior da mesma, isto é, à bola
aberta, de centro P0 e raio r.
Definição 2
Seja E(P0, r) a esfera de centro no ponto P0 e raio r e seja P um ponto no es-
paço. Dizemos que P é um ponto interior a E(P0, r), se d(P, P0) < r. Quando
d(P, P0) > r dizemos que P é um ponto exterior a E(P0, r).
Exemplo 7
A esfera E(P0, r), de centro no ponto P0 = (x0, y0, z0) e raio r > 0, divide o
espaço em três partes. A primeira, sendo a região limitada pela superfície da
esfera, é o conjunto dos pontos interiores à esfera; a segunda, a região exterior, que
é ilimitada e a terceira, o conjunto dos pontos do espaço que formam a superfície
da esfera E(P0, r), sendo bordo comum às duas primeiras. Caracterizar as regiões
limitada e ilimitada por meio de inequações nas variáveis x, y e z.
Fig. 23: O ponto A é exterior e o ponto B é interior à esfera E(P0, r).
Solução: A região limitada pela esfera E(P0, r) costuma ser chamada de bola
aberta, de centro P0 e raio r, designando-se por B(P0, r) ou BP0(r), e consiste
dos pontos do espaço cuja distância até P0 é menor que r:
P \u2208 B(P0, r)\u21d0\u21d2 d(P, P0) < r \u21d0\u21d2
\u221a
(x\u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 < r .
23 CEDERJ
A distância no espaço
Tomando quadrados na desigualdade, temos:
B(P0, r) = {(x, y, z) | (x\u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 < r2} .
Analogamente, a região ilimitada determinada pela esfera E(P0, r) consiste dos
pontos do espaço que não pertencem à esfera nem à bola aberta por ela limitada.
Portanto, tal região ilimitada é o conjunto:
{(x, y, z) | (x\u2212 x0)2 + (y \u2212 y0)2 + (z \u2212 z0)2 > r2} .
Se desejarmos usar coordenadas para resolver um problema geométrico abs-
trato (em que não há especificação prévia de sistemas de coordenadas), ficamos
na liberdade de escolher o sistema de modo que a situação se torne o mais sim-
ples possível. Pense, por exemplo, que se deseja modelar o movimento da roda
de um carro. É mais ou menos evidente que o melhor lugar para colocarmos a
origem do nosso sistema de coordenadas é no centro da roda, pois com essa esco-
lha, o movimento da roda torna-se uma rotação plana em volta da origem. Pense
na complexidade que acarretaria analisar o problema se a origem do sistema de
coordenadas for colocada em algum outro lugar do espaço (por exemplo sobre a
própria roda).
Vejamos um exemplo prático de natureza mais simples:
Exemplo 8
Caracterizar, o conjunto dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados A e B no
espaço.
Solução: Começamos observando que o ponto médio do segmento AB evidente-
mente está à mesma distância de A do que de B, isto é, eqüidista dos pontos A e
B.
Fig. 24: Escolha das coordenadas.
Escolhamos um sistema ortogonal de coorde-
nadas cartesianas OXY Z no espaço, tal que:
\u2022 A origem seja o ponto médio de AB.
\u2022 O segmento AB esteja contido no eixo OY .
Em relação a esse sistema de coordenadas, te-
mos A = (0, r, 0) e B = (0,\u2212r, 0), para algum
escalar r \u2208 R distinto de zero.
Seja P = (x, y, z) um ponto do espaço que
eqüidista de A e B, então:
d(P,A) =
\u221a
x2 + (y \u2212 r)2 + z2 =\u221ax2 + (y + r)2 + z2 = d(P,B) ,
CEDERJ 24
A distância no espaço
MÓDULO 2 - AULA 14
Fig. 25: Plano eqüidistante de A e B.
ou seja,
x2+(y\u2212 r)2+ z2 = x2+(y+ r)2+ z2 .
Expandindo os quadrados e cancelando
os termos comuns, temos 4yr = 0, e
como r 6= 0, concluímos y = 0.
Logo, P = (x, y, z) eqüidista dos pon-
tos A = (0, r, 0) e B = (0,\u2212r, 0) se, e
somente se, y = 0.
Isso significa que os pontos do espaço
que eqüidistam de dois pontos dados A
e B formam o plano que intersecta perpendicularmente o segmento AB no ponto
médio.
Posição relativa entre duas esferas no espaço
Nesta parte, continuando com a idéia do exemplo anterior, analisamos a
posição relativa em que duas esferas podem ser encontradas no espaço.
Proposição 1
Sejam S1 e S2 esferas centradas em A1 e A2 de raios R1 > 0 e R2 > 0, respecti-
vamente, e seja L = d(A1, A2) = L, então,
a. S1 \u2229S2 = \u2205 se, e somente se, L > R1+R2 ou R2 > R1+L ou R1 > R2+L.
b. S1 \u2229 S2 é um único ponto se, e somente se, R1 + R2 = L ou R1 + L = R2 e
L > 0 ou R2 + L = R1 e L > 0.
c. S1 \u2229 S2 é uma circunferência se, e somente se, L < R1 + R2, R2 < R1 + L e
R1 < R2 + L.
d. S1 = S2 se, e somente se, L = 0 e R1 = R2.
Demonstração: Seja OXY Z um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas,
tal que O = A1 e A2 = (0, 0, L), com L \u2265 0. Em relação a esse sistema de
coordenadas, as equações de S1 e S2 são:
S1 : x
2 + y2 + z2 = R21 e S2 : x
2 + y2 + (z \u2212 L)2 = R2 .
Começamos assumindo que L > 0.
Temos que P = (x, y, z) \u2208 S1 \u2229 S2 se, e somente se, as coordenadas de P
satisfazem simultaneamente as equações de S1 e S2. Substituindo a equação de
S1 na equação de S2 e resolvendo para z, obtemos que a coordenada z de P deve
satisfazer:
z =
L2 +R21 \u2212R22
2L
. (3)
25 CEDERJ
A distância no espaço
Além disso, da equação de S1, vemos que as coordenadas x e y de P verifi-
cam:
x2 + y2 = R21 \u2212 z2 . (4)
No segundo membro da equação (4), temos as seguintes posibilidades:
R21 \u2212 z2 = 0 , R21 \u2212 z2 < 0 ou R21 \u2212 z2 > 0 .
A condição R21 \u2212 z2 = 0, equivale a |z| = R1. Neste caso, a equação (4)
equivale a x2 + y2 = 0, isto é, a x = 0 e y = 0. Logo, se R21 \u2212 z2 = 0, então
P = (0, 0, z), com z = R1 ou z = \u2212R1. Usando a equação (3), determinamos
qual dessas duas possibilidades para a cota do ponto P é a correta. De fato, z =
R1, quando L2 +R21 > R
2
2 e z = \u2212R1, quando L2 +R21 < R22.
Portanto, a condição R21