Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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\u2212 z2 = 0 é satisfeita se, e somente se, S1 \u2229 S2
consiste apenas de um ponto.
A condição R21 \u2212 z2 < 0, equivale a |z| < R1. Mas neste caso, teriamos
x2 + y2 < 0 o qual nunca acontece. Assim, neste caso, não existem valores x
e y que satisfaçam a equação (4). Portanto, a condição R21 \u2212 z2 < 0 equivale a
S1 \u2229 S2 = \u2205.
A condição R21 \u2212 z2 > 0 equivale a |z| > R1. Neste caso, a equação (4) é
a equação de um círculo contido no plano z0 =
L2+R21\u2212R22
2L
, com centro no ponto
(0, 0, z0) e raio r =
\u221a
R21 \u2212 z20 . De fato, lembre que um ponto P = (x, y, z0) no
plano z = z0, é um ponto do círculo de centro (0, 0, z0) e raio r se, e somente se,
d(P, (0, 0, z0)) = r. Isto é, se, e somente se,
\u221a
(x\u2212 0)2 + (y \u2212 0)2 + (z0 \u2212 z0)2 =
r. Tomando quadrados em ambos os lados desta equação, obtemos x2 + y2 = r2,
que é exatamente a equação (4).
Portanto, a condição R21 \u2212 z2 > 0, equivale a dizer que S1 \u2229 S2 é uma
circunferência.
Resumindo, temos as seguintes possibilidades:
\u2022 S1 \u2229 S2 consiste apenas de um ponto \u21d0\u21d2 R1 = |z| ;
\u2022 S1 \u2229 S2 = \u2205\u21d0\u21d2 R1 < |z| ;
\u2022 S1 \u2229 S2 é uma circunferência \u21d0\u21d2 R1 > |z| .
Vejamos o que essas condições representam em termos de relações entre os
raios e a distância entre os centros.
Substituindo (3) em (4), obtemos:
x2 + y2 = R21 \u2212 (L
2 +R21 \u2212R22)2
4L2
=
4R21L
2 \u2212 (L2 +R21 \u2212R22)2
4L2
,
ou seja,
x2 + y2 =
(R2 + L\u2212R1)(R2 +R1 \u2212 L)(R1 + L\u2212R2)(R1 +R2 + L)
4L2
.
CEDERJ 26
A distância no espaço
MÓDULO 2 - AULA 14
Logo S1 \u2229 S2 consiste de um único ponto P se, e somente se, R1 = R2 +L
ou L = R1 + R2 ou R2 = R1 + L, pois R1 + R2 + L > 0. As três situações são
mostradas nas Figuras 26, 27 e 28.
S1 \u2229 S2 = {P}...
Quando S1 \u2229 S2 consiste apenas
do ponto P , dizemos que S1 e
S2 são tangentes em P . O plano
perpendicular ao segmento
A1A2 que passa por P é o
chamado plano tangente a S1 e
S2 em P .
Fig. 26: L = R1 +R2. Fig. 27: R1 = L+R2. Fig. 28: R2 = L+R1.
Como L > 0, se um dos númerosR2+L\u2212R1, R2+R1\u2212L ouR1+L\u2212R2
é negativo, então os outros dois são positivos.
Logo, S1 \u2229 S2 = \u2205 se, e somente se, R2 + L < R1 ou R1 + R2 < L ou
R1 + L < R2. Nas Figuras 29, 30 e 31 mostramos essas três possibilidades.
Fig. 29: R2 + L < R1. Fig. 30: R1 +R2 < L. Fig. 31: R1 + L < R2.
Finalmente, C : S1\u2229S2 é um círculo se, e só se, R1+R2 > L, R2+L > R1
e R1 + L > R2. Neste caso, o círculo C tem centro no ponto
C =
(
0, 0,
L2 +R21 \u2212R22
2L
)
,
seu raio é
Fig. 32: L > R1 e L > R2.
Calculando r ...
Fig. 33: O valor do raio r
do círculo S1 \u2229 S2 é calculado
usando o esquema da figura
acima, junto com o Teorema de
Pitágoras.
r =
\u221a
4R21L2 \u2212 (L2 +R21 \u2212R22)2
2L
,
e está contido no plano
P : z = L
2 +R21 \u2212R22
2L
27 CEDERJ
A distância no espaço
paralelo ao plano cartesiano \u3a0XY sendo, portanto, perpendicular à reta que con-
tém os centros das esferas, como mostramos na Figura 32.
No caso em que L = 0, isto é, A1 = A2, note que S1 = S2 se, e somente se,
R1 = R2, e S1 \u2229 S2 = \u2205 se, e somente se, R1 > R2 ou R2 > R1. \ufffd
Exemplo 9
Determine a posição relativa entre as esferas:
S1 : (x\u2212 1)2 + y2 + (z \u2212 1)2 = 1 , S2 : (x\u2212 2)2 + (y \u2212 1)2 + z2 = 1 .
Solução: Das equações, vemos que S1 é a esfera de centro A1 = (1, 0, 1) e raio
R1 = 1, e S2 é a esfera de centro A2 = (2, 1, 0) e raio R2 = 1.
A distância entre os centros A1 e A2 é:
L = d(A1, A2) =
\u221a
(1\u2212 2)2 + (0\u2212 1)2 + (1\u2212 0)2
=
\u221a
1 + 1 + 1 =
\u221a
3 .
Como
L < R1 +R2 , R2 < R1 + L e R1 < R2 + L,
a Proposição 1 implica que S1 \u2229 S2 é um círculo. Além disso, como L > R1 e
L > R2, A1 está no exterior de S2 e A2 está no exterior de S1.
Resumo
Nesta aula, vimos a noção de distância no espaço e enunciamos suas pro-
priedades. Vimos que a equação da esfera no espaço é dada de maneira simples
a partir da distância. Finalmente, usamos a distância para descrever a posição
relativa entre duas esferas.
Exercícios
1. Determine a distância da origem O do sistema OXY Z aos pontos: A =
(4,\u22122,\u22124); B = (\u22124, 3, 1); C = (\u22128,\u22121,\u22123); D = (1, 1, 1).
2. Verifique que o ponto P = (2, 2, 3) é eqüidistante dos pontos
A = (1, 4,\u22122) e B = (3, 7, 5).
3. Verifique que o triângulo de vértices A = (3,\u22121, 2), B = (0,\u22124, 2) e
C = (\u22123, 2, 1) é isósceles.
4. Verifique que o triângulo de vértices A = (3,\u22121, 6), B = (\u22121, 7,\u22122) e
C = (1,\u22123, 2) é retângulo.
CEDERJ 28
A distância no espaço
MÓDULO 2 - AULA 14
5. Determine o ponto do eixoOX que está a 12 unidades de distância do ponto
P = (\u22123, 4, 8).
6. Determine o centro e o raio de uma esfera que passa pelo ponto
P = (4,\u22121,\u22121) e é tangente aos três planos coordenados.
7. Determine a equação da esfera do exercício anterior.
8. Determine a equação da esfera que passa pelo ponto P = (1, 1,\u22121) e tem
centro C = (\u22121, 1, 1).
9. Determine a posição relativa entre as esferas:
S1 : x
2 + y2 + z2 = 4 , S2 : x
2 + (y \u2212 1)2 + (z \u2212 1)2 = 1 .
10. Determine a posição relativa entre as esferas:
S1 : x
2 + y2 + z2 \u2212 2x+ 2y = 7 , S2 : x2 + y2 + z2 \u2212 2
\u221a
2z + 1 = 0 .
11. Se A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) são dois pontos do espaço, verifique
que o pontoMAB = (12(x1+x2),
1
2
(y1+ y2)+
1
2
(z1+ z2)) é eqüidistante de
A e B.
No Exercício 11
Note que o pontoMAB é o
ponto médio do segmento AB,
pois 1
2
(x1 \u2212 x2) é o ponto
médio do segmento da reta real
que tem extremidades x1 e x2,
similarmente 1
2
(y1 \u2212 y2) e
1
2
(z1 \u2212 z2) são os pontos
médios dos segmentos da reta
real que têm extremidades y1 e
y2 e z1 e z2 , respectivamente.
12. Determine o ponto médio do segmento AB, onde:
a. A = (1, 1,\u22121) e B = (0, 1, 0) . b. A = (2, 1, 3) e B = (3, 2, 1) .
c. A = (0, 0,\u22121) e B = (1, 0, 0) . d. A = (1, 0, 2) e B = (0, 1,\u22121) .
Auto-avaliação
Resolvendo os Exercícios de 1 a 5, você ficará familiarizado com o proce-
dimento do cálculo de distâncias no espaço. Nos Exercícios 6, 7 e 8, você irá
adquirir maior familiaridade com a equação da esfera e resolvendo os Exercícios
9 e 10, fixará o conteúdo da Proposição 1. É muito importante que, embora sejam
simples, resolva os Exercícios 11 e 12, pois a noção de ponto médio será usada
nas aulas seguintes. Se tiver alguma dúvida, reveja a aula e volte aos exercícios.
Em última instância, procure os tutores.
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A distância no espaço
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Vetores no espaço
MÓDULO 2 - AULA 15
Vetores no espaço
Objetivos
\u2022 Ampliar a noção de vetor para o espaço.
\u2022 Rever as operações com vetores e sua representação em relação a um
sistema ortogonal de coordenadas cartesianas.
Nesta aula, ampliamos para o espaço a noção de vetor, já estudada nas Au-
las 1 e 2, do Módulo 1, para o plano. Vemos que os vetores são representados por
meio de coordenadas em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesi-
anas da mesma forma que os vetores no plano.
Como na Aula 1, do Módulo 1, dados dois pontos A e B do espaço, repre-
sentamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A (a origem de AB)
para B (a extremidade de AB). Assim, os segmentos AB e BA, representando
o mesmo conjunto de pontos do espaço (os pontos da reta que passa por A e B
que estão entre A e B, incluindo A e B), têm orientação (sentido de percurso)
contrária (ou oposta).
Fig. 34: Segmento AB no espaço. Fig. 35: Percurso de A até B. Fig. 36: Percurso de B até A.
A direção e o sentido (ou orientação) de um segmento têm o mesmo signi-
ficado que no plano: a direção de um segmento é dada pela reta que o contém e
dois segmentos têm a mesma direção quando as retas que os contêm são paralelas
ou coincidentes (Figura 37).
Fig. 37: Segmentos com igual di-
reção.
AB e CD têm a mesma direção,
pois as retas que os contêm são
paralelas. Os segmentos AB e
EF têm a mesma direção porque
as retas que os contêm são
coincidentes, isto é, os pontos A,
B, E e F são colineares.
Retas e segmentos paralelos
no espaço.
No espaço, duas retas