Geometria Analítica-vol2
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Geometria Analítica-vol2


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mostra-se de grande utilidade para estabelecer e resol-
ver problemas geométricos no espaço. Os Exemplos de 5 a 8 da Aula 2, do Mó-
dulo 1 continuam sendo válidos ainda no contexto dos vetores no espaço. Volte e
reveja-os.
Vamos terminar esta aula com algumas considerações adicionais na mesma
linha daquelas do final da Aula 2, do Módulo 1.
Fig. 51: Tetraedro.
Fig. 52: Centro de massa.
Centro de massa de um tetraedro: Um tetraedro T é um poliedro com quatro
vértices não coplanares, seis arestas e quatro faces triangulares como o da Figura
51. Seja O um ponto do espaço, o centro de massa ou centro de gravidade do
tetraedro T é o ponto G definido pela relação (Figura 52):
\u2212\u2212\u2192
OG =
1
4
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD ) (5)
Da mesma maneira como foi feito na Aula 2, do Módulo 1, vemos que o ponto G
não depende do ponto O. Em particular, tomando O = G, vemos que o centro de
massa também é caracterizado pela relação:
\u2212\u2212\u2192
GA +
\u2212\u2212\u2192
GB +
\u2212\u2212\u2192
GC +
\u2212\u2212\u2192
GD = 0 (6)
Exemplo 14
Sejam A, B, C e D pontos não-coplanares do espaço, e seja T o tetraedro que
eles determinam. Chame A\u2032 o baricentro da face triangular de T oposta ao vértice
A, B\u2032 o baricentro da face oposta ao vértice B, C \u2032 o baricentro da face oposta ao
vértice C e D\u2032 o baricentro da face oposta ao vértice D.
39 CEDERJ
Vetores no espaço
Verificar que o centro de massa do tetraedro T coincide com o centro de massa do
tetraedro T \u2032 cujos vértices são os baricentros A\u2032, B\u2032, C \u2032 e D\u2032.
Solução: Como foi feito na Aula 2, do Módulo 1, verifica-se sem dificuldade
que, ainda no espaço, os baricentros das faces triangulares são determinados pelas
relações:
\u2212\u2212\u2192
OA\u2032 = 1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD ) ,
\u2212\u2212\u2212\u2192
OB\u2032 = 1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD ) ,\u2212\u2212\u2212\u2192
OC \u2032 = 1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OD ) e
\u2212\u2212\u2212\u2192
OD\u2032 = 1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC ) .
(7)
Usando as identidades (7), temos:
1
4
(\u2212\u2212\u2212\u2192
OA\u2032 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
OB\u2032 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
OC \u2032 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
OD\u2032
)
=
1
4
[
1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD )
+
1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD ) +
1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OD ) +
1
3
(
\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC )
]
=
1
4
(\u2212\u2212\u2192
OA +
\u2212\u2212\u2192
OB +
\u2212\u2212\u2192
OC +
\u2212\u2212\u2192
OD
)
, (8)
mostrando, assim, que o centro de massa do tetraedro de vértices A\u2032, B\u2032, C \u2032 e D\u2032
é igual ao centro de massa do tetraedro de vértices A, B, C e D.
Resumo
Nesta aula, abordamos o conceito de vetor no espaço; vimos como determi-
nar os vetores em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas do
espaço; definimos as operações de adição de vetores do espaço e de multiplicação
de um escalar por um vetor do espaço e vimos que as propriedades já conhecidas
dessas operações com vetores no plano (Aula 2, do Módulo 1) continuam válidas
no espaço.
Exercícios
1. Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço,
considere os pontos A = (\u22121, 1, 2), B = (2, 1,\u22122), C = (3, 4,\u22123), D =
(1,\u22122, 0), E = (2,\u22122,\u22124) e F = (\u22123,\u22124, 3).
a. Trace o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e localize os pontos
dados.
b. Determine o ponto G, tal que AC \u2261 DG.
c. Os pontos E, F e G são colineares?
d. Determine o ponto H , tal que AB \u2261 DH .
e. Verifique que AD \u2261 BH .
f. Determine o ponto H , tal que
\u2212\u2212\u2192
AF =
\u2212\u2212\u2212\u2192
OH .
CEDERJ 40
Vetores no espaço
MÓDULO 2 - AULA 15
2. Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, considere o
ponto A = (2,\u22121,\u22121).
a. Determine os pontos D e E, tais que AB \u2261 BD e AC \u2261 CE, onde
B = (0, 0, 1) e C = (1, 0, 0).
b. Localize os pontos em relação a um sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas.
c. Que propriedade geométrica possuem os pontos A, B e D?
d. Ache o ponto G, tal que ABCG é um paralelogramo.
e. Localize o ponto H = (2, 2,\u22121) e determine o paralelepípedo que tem
entre seus vértices os pontosA, B, C eH , identificando os pontos faltantes.
3. Dados os pontos A = (3, 2, 2), B = (1, 0, 0), C = (2, 3,\u22121),
D = (0, 1, 1) e E = (0,\u22122, 1), determine:
a.
\u2212\u2212\u2192
AB +
\u2212\u2212\u2192
CD . b.
\u2212\u2212\u2192
CE \u2212 3\u2212\u2212\u2192DA .
c.
\u2212\u2212\u2192
AE \u2212\u2212\u2212\u2192ED +\u2212\u2212\u2192EB . d. 2(\u2212\u2212\u2192AD \u2212 2\u2212\u2212\u2192CA )\u2212\u2212\u2212\u2192DA .
e.
\u2212\u2212\u2192
AB +
\u2212\u2212\u2192
BA . f.
\u2212\u2212\u2192
AB +
\u2212\u2212\u2192
BC +
\u2212\u2212\u2192
CD +
\u2212\u2212\u2192
DE .
g.
\u2212\u2212\u2192
AB +
\u2212\u2212\u2192
BC +
\u2212\u2212\u2192
CD +
\u2212\u2212\u2192
DE +
\u2212\u2212\u2192
EA .
4. Se A1 , A2 , A3 , · · · , An são pontos distintos no espaço, responda:
a. Quantos lados tem o polígono cujos vértices são os pontos A1 , A2 ,
· · · , An , A1?
b. Determine o vetor
\u2212\u2212\u2212\u2192
A1A2 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
A2A3 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
A3A4 + · · ·+\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2192An\u22121An +\u2212\u2212\u2212\u2212\u2192AnA1 .
c. Para cada k = 2, 3, . . . , n, determine o vetor\u2212\u2212\u2212\u2192
A1A2 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
A2A3 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
A3A4 + · · ·+\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2192Ak\u22121Ak .
d. Para cada k = 2, 3, . . . , n, a identidade:\u2212\u2212\u2212\u2192
A1A2 +
\u2212\u2212\u2212\u2192
A2A3 + · · ·+\u2212\u2212\u2212\u2212\u2212\u2192Ak\u22121Ak = \u2212\u2212\u2212\u2192A1A2 +\u2212\u2212\u2212\u2192A1A3 + · · ·+\u2212\u2212\u2212\u2192A1Ak
é verdadeira? Explique.
5. Considere o tetraedro T de vértices A = (2,\u22122, 0), B = (\u22121, 1,\u22121),
C = (2, 3, 1) e D = (0, 1, 3).
a. Determine o centro de massa G do tetraedro T .
b. Determine os centros de massa G1 , G2 , G3 e G4 dos respectivos tetra-
edros: T1 de vértices A , B , C e G ; T2 de vértices A , B , D e G ; T3 de
vértices A , C , D e G ; T4 de vértices B , C , D e G.
41 CEDERJ
Vetores no espaço
c. Verifique queG é também centro de massa do tetraedro T \u2032, cujos vértices
são G1 , G2 , G3 e G4. O tetraedro T \u2032 é chamado o tetraedro dual dos
tetraedros T1, T2, T3 e T4.
Auto-avaliação
Resolvendo os Exercícios 1 e 2 você vai fixar a noção de equipolência entre
segmentos do espaço, assim como a representação de vetores por meio de seg-
mentos orientados no espaço. Os Exercícios de 3 a 5 vão lhe ajudar a manipular
melhor as operações de adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares.
Faça muitos desenhos e tente visualizar as situações no espaço.
CEDERJ 42
Colinearidade, coplanaridade e dependência linear
MÓDULO 2 - AULA 16
Colinearidade, coplanaridade e dependência linear
Objetivos
\u2022 Compreender os conceitos de independência e dependência linear.
\u2022 Estabelecer condições para determinar quando uma coleção de vetores é
linearmente independente.
\u2022 Interpretar as noções geométricas de colinearidade e coplanaridade na lin-
guagem da dependência linear de vetores.
Na Aula 3, do Módulo 1, vimos como a noção de dependência linear de
vetores no plano torna algébrica a questão de determinar quando dois segmentos
dados são ou não paralelos, isto é, vimos que dois segmentos no plano são para-
lelos quando os vetores que eles representam são linearmente dependentes (LD).
Em particular, o problema geométrico de determinar quando três pontos A, B e
C dados no plano são colineares é transformado no problema algébrico que con-
siste em determinar se os vetores
\u2212\u2212\u2192
AB e
\u2212\u2212\u2192
AC são LD. Além disso, vimos que
todo vetor do plano pode ser escrito de forma única como a soma de múltiplos de
dois vetores linearmente independentes (LI) dados. Nesse sentido, dois vetores
linearmente independentes geram todo o plano.
Fig. 53: A, B e C colineares.
Fig. 54: Os pontos A, B e C não
são colineares.
Nesta aula, analisamos os conceitos de colinearidade e coplanaridade no
espaço em termos vetoriais. Nosso primeiro desafio é determinar condições para
que três pontos distintos A, B e C, no espaço, sejam colineares.
Sabemos que três pontos distintos A, B e C são colineares se, e somente se,
pertencem a uma mesma reta `, isto equivale a dizer que os segmentos orientados
AB e AC têm a mesma direção (ambos estão contidos em `).
Portanto, os pontos distintos A, B e C no espaço são colineares se, e so-
mente se, existe um escalar \u3bb \u2208 R, tal que \u2212\u2212\u2192AC = \u3bb\u2212\u2212\u2192AB .
De fato, quando os pontos distintos A, B e C são colineares, temos
\u2212\u2212\u2192
AC =
±d(A,C)
d(A,B)
\u2212\u2212\u2192
AB , onde escolhemos o sinal positivo caso B e C estejam do mesmo
lado em relação