Lista 9 - Integral Definida Volume e Comprimento de Arco

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral Definida - Volume - Comprimento de Arco
a) Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas em torno
dos eixos especificados. Esboce a regia˜o, o so´lido e um disco t´ıpico ou arruela.
1) y = x2, x = 1, y = 0; ao redor do eixo x 2) y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0; ao redor do eixo x
3) y = sec x, x = pi/4, x = 0; ao redor do eixo x 4) x = y2, x = 1; ao redor de x = 1
5) y = ex, x = 0, y = 0, x = 1; ao redor do eixo x 6) y = x+ x2, x = 0, y = x2 − 1; ao redor de y = 1
7) x = y3/2, x = 0, y = 2; ao redor do eixo y 8) x = y2, x = 2− y2; ao redor do eixo y
9) y = 2x− 1, y = √x, x = 0; ao redor do eixo y 10) y = 4(x− 2)2, y = x2 − 4x+ 7; ao redor do eixo y
11) y = x2 + x− 2, y = 0; ao redor do eixo x 12) y = √x− 1, y = 0, x = 5; ao redor de y = 3
b) Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o da regia˜o limitada por y =
√
x e pelas retas
y = 2 e x = 0 em torno
1) do eixo x; 2) eixo y;
3) reta y = 2; 4) da reta x = 4.
c) Determine o volume de uma calota de raio r retirada de uma esfera de raio R.
d) Atrave´s de uma esfera de raio 6cm e´ feito um orif´ıcio cil´ındrico de raio 2cm, de forma que o eixo
do cilindro e´ um diaˆmetro da esfera. Encontre os volumes das partes retirada e restante.
e) Determinar o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno da reta y = −2, da regia˜o limitada
por y = cosx, y = −2, x = 0 e x = 2pi.
f) O disco x2 + y2 ≤ a2 gira em torno da reta x = b, (b > a) para gerar um so´lido com a forma de
uma rosquinhae chamado toro. Determine seu volume.
g) Encontre o comprimento das seguintes curvas:
1) y = 1 + 6x3/2, 0 ≤ x ≤ 1 2) y = x
5
6
+
1
10x3
, 1 ≤ x ≤ 2
3) x =
1
3
√
y(y − 3), 1 ≤ y ≤ 9 4) y = ln(secx), 0 ≤ x ≤ pi/4
5) y2 = 4x, 0 ≤ y ≤ 2 6) y = ex, 0 ≤ x ≤ 1
7) x2/3 + y2/3 = 22/3 8) y = 4
√
x3 + 2, de (0, 0) ate´ (1, 6)
9) y = sen 3x, 0 ≤ x ≤ 2pi 10) x = y
3/2
3
− y1/2 de y = 1 ate´ y = 9
“Regozijai-vos sempre. Orai sem cessar.
Em tudo dai grac¸as, porque esta e´ a vontade de Deus em Cristo Jesus para convosco.” I Tessalonicenses 5:16-18