RESOLUÇÃO DO EXAME EXTRAORDINÁRIO DE MATEMÁTICA 12ª CLASSE 2019

Prévia do material em texto

Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
 
RESOLUÇÃO DO EXAME EXTRAORDINÁRIO DE 
MATEMÁTICA 12ª CLASSE 2019 
 
ORDEM ENUNCIADO/RESOLUÇÃO OPÇÃO 
CORRECTA 
1 
Qual é a condição para que |−𝟑𝒙 + 𝟏𝟕| seja igual a? −𝟑𝒙+ 𝟏𝟕 
 
Resolução 
|−3𝑥 + 17| = −3𝑋 + 17 
−𝟑𝐗+ 𝟏𝟕 ≥ 𝟎 
Modulo de um número é sempre positivo dai o sinal (≥) caso contrário a 
igualdade não vai se verificar. Note que (-3x+17) em questão é o que está 
fora do módulo (depois de =). 
A 
2 
Como se escreve, simbolicamente, “A distância entre os pontos da recta 
numérica cujas abcissas são X e 3”? 
 
Resolução 
Designação geral: 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| 
Logo teremos: 𝑑(𝑥, 3) = |𝑥 − 3| 
 
B 
3 
Qual é o conjunto solução da equação |3𝑥 + 2| = 1? 
|3𝑥 + 2| = 1 
3𝑥 + 2 = 1 ˅ 3𝑥 + 2 = −1 𝑺𝒐𝒍 = {−𝟏;−
𝟏
𝟑
} 
3𝑥 = 1 − 2 ˅ 3𝑥 = −1 − 2 
3𝑥 = −1 ˅ 3𝑥 = −3 
𝑥 = −
1
3
 ˅ 𝑥 = −
3
3
 
𝑥 = −
1
3
 ˅ 𝑥 = −1 
c 
4 
Qual é o número que corresponde a 
𝟓!+𝟔!
𝟔!
 ? 
Resolução: 
 
5! + 6!
6!
=
5! + 6 × 5!
6 × 5!
=
(1 + 6) × 5!
6 × 5!
=
7
6
 
1 
n! =n(n-1)(n-2)...(n-n)! 
A ideia geral é sempre decompor primeiro os termos de maior fatorial. 
 
C 
Condição geral: 
|𝑎𝑥 + 𝑏| = 𝑐 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 ˅ 𝑎𝑥 + 𝑐 = −𝑐 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
5 
Duas raparigas e quatro rapazes pretendem sentar-se num banco de seis 
lugares. Estando sempre uma rapariga de cada extremo. De quantas 
maneiras diferentes podem faze-lo? 
 
Resolução 
 Rapariga=R=2 
 Rapazes=M=4 
 
Escolhendo os lugares das extremidades para as 2 raparigas, existem 2 
hipóteses correspondentes a uma troca entre as raparigas. 
Existem ainda 4A4 = P4 = 4! hipóteses para sentar os 4 rapazes nos 4 
bancos, ou seja, 4 elementos organizados em 4 posições em que a ordem 
é relevante. 
Assim, o número de maneiras de sentar os 6 amigos será: 
2! × 𝑃4 = 2! × 4! = 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48 
 
D 
6 
Um examinando precisa responder 8 das 10 questões do exame de 
Matemática para poder transitar de classe. De quantas maneiras 
diferentes o examinando pode fazer a sua escolha. 
 
Resolução: 
A ordem de resposta das questões não interessa basta que responda 8 
certas irá transitar de classe (Trata-se de combinações) 
 
𝐶8
10 =
10!
(10 − 8)! 8!
=
10 × 9 × 8!
2! × 8!
=
10 × 9
2 × 1
= 45 
C 
7 
Dados dois acontecimentos M e N, a probabilidade, 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁) = 𝑃(𝑀) ∪
𝑃(𝑁), se…. 
 
Resolução: 
Para ∀𝐴 ∈ 𝑃(𝑈) 𝑒 ∀𝐵 ∈ 𝑃(𝑈)𝑠𝑒 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑜 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) +
𝑃(𝐵) 
Logo: 
 A alternativa Correcta é 𝑀 ∩𝑁 = ∅ 
A 
8 
Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos ao 
acaso uma bola duma qual a probabilidade de NÃO obtermos a bola de 
número 7? 
 
Resolução: 
𝑆 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Conjunto universo=10 
𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10} possibilidade de não sair 7=9 
 
𝑃(𝐴) =
9
10
= 0.9 
D 
R1 R2 M1 M2 M3 M4 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
9 
Uma progressão aritmética de diferença (d) entre seus termos é 
decrescente se… 
 
Resolução: 
Será decrescente se o termo seguinte for menor que o termo anterior ou 
(d<0) ou seja, negativo. 
𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 < 0 𝑜𝑢 𝑈𝑛+1 < 𝑈𝑛 𝑜𝑢 𝑑 < 0 
 
Solução: d<0 
B 
10 
Uma sucessão Un, n ∈ 𝑰𝑵 diz-se infinitamente grande se…. 
 
Resolução: 
Quando o limite é (+) infinito: 
lim
𝑛→∞
𝑈𝑛 = ∞ 
D 
11 
Qual das seguintes sucessões é uma progressão geométrica? 
 
Resolução: 
A. 1;
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
; …. 
𝑈𝑛+1
𝑈𝑛
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
1
2
1
=
1
2
1
=
1
4
1
2
=
1
8
1
4
=
1
15
1
8
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
 
A 
12 
Qual é o valor de lim
𝑛→∞
1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯.+
1
2𝑛
1+
1
3
+
1
9
+
1
27
+⋯+
1
3𝑛
? 
Resolução: 
PG onde 
{
 
 
 
 𝑎1 = 1; 𝑞 =
1
2
; 𝑆1𝑛 =
𝑎1(𝑞
𝑛−1)
𝑞−1
=
1×[(
1
2
)
𝑛
−1]
1
2
−1
= 2 [1 − (
1
2
)
𝑛
]
𝑢1 = 1; 𝑟 =
1
3
; 𝑆2𝑛 =
𝑎1(𝑞
𝑛−1)
𝑞−1
=
1×[(
1
3
)
𝑛
−1]
1
3
−1
=
3
2
[1 − (
1
3
)
𝑛
]
 
lim
𝑛→∞
1 +
1
2 +
1
4 +
1
8 +⋯ .+
1
2𝑛
1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+⋯+
1
3𝑛
=
2 [1 − (
1
2)
𝑛
↗ 0]
3
2 [
1 − (
1
3
)
𝑛
↗ 0]
=
2
3
2
=
4
3
 
C 
13 
Considere a sucessão de termo geral, 𝑢𝑛 =
𝑛+1
2𝑛
, 𝑛 ∈ 𝐼𝑁. Qual é o termo 
de ordem n+1? 
 
Resolução: 
𝒖𝒏+𝟏 =
𝒏+𝟏+𝟏
𝟐(𝒏+𝟏)
=
𝒏+𝟐
𝟐𝒏+𝟐
 
B 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
14 
Quantos números pares de 3 algarismos, menores que 200, existem? 
 
Resolução: 
{
𝑎1 = 100; 𝑎2 = 102; 𝑎𝑛 = 198
𝑑 = 𝑎2+𝑎1 = 102 − 101
100; 102; 104; 106;… ; 198
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 
 
198 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 100 + (𝑛 − 1) × 2 
198 = 100 + 2𝑛 − 2 
2𝑛 = 198 − 100 + 2 = 100 
2n=100 
𝑛 =
100
2
= 50 Existem 50 termos menores que 200. 
 
C 
15 
De uma progressão aritmética sabe-se que a1=-2 e a8=19. Qual a soma dos 
primeiros oito termos. 
 
Resolução: 
{
𝑎1 = −2; 𝑎8 = 𝑎𝑛 = 19; 𝑛 = 8
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) ×
𝑛
2
; 𝑆8 = (−2 + 19) ×
8
2
= 17 × 4 = 68
 
A soma dos primeiros oito termos é igual a 68. 
B 
16 
Qual o diagrama que NÃO representa uma função de M em N, onde 
𝑀 = {1; 2; 3} 𝑒 𝑁 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}? 
 
Resolução: 
 Um objecto não pode ter mais de uma imagem. 
 a, b e c são imagens de um mesmo objecto “2” 
 o que não possível. 
 
D 
17 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 e a, b, c ∈ ℝ NÃO 
intercepta o eixo das abcissas se… 
 
Resolução: 
Para que não intercepta o eixo das abcissas a função deve ter uma 
raiz dupla, ou seja, toque apenas o eixo das abcissas em um único 
ponto, essa condição é satisfeita quando (Δ=0). 
C 
1 
2 
3 
a 
b 
c 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnicoe Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
18 
Qual é a expressão que define uma função bijectiva? 
 
Resolução: 
A função bijectiva é aquela que é simultaneamente Injectiva e 
Sobrejectiva, onde Sobrejectiva toda a imagem tem objecto e 
injectiva cada imagem tem apenas um objecto. 
A. A função é Bijectiva f(x) 
B. A função não é Sobrejectiva nem injectiva h(x) 
C. A função é injectiva, mas não é Sobrejectiva g(x) 
D. A função é Sobrejectiva, mas não é injectiva p(x) 
Dicas: Quando traça linhas ⊥y e atravessarem o gráfico em mais de 
1 ponto não é injectiva; 
Quando traça uma linha ⊥y e não toca o gráfico a função não é 
sobrejectiva 
 
 
 
A 
19 
Qual é a classificao da funcão f(x) =
1
x
 quanto a paridade? 
 
Resolução: 
Condicoes: 
f(-X)=-f(-X) Impar e se f(X)=f(-X) par 
𝑓(−𝑥) =
1
−𝑥
= −
1
𝑥
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) 
Logo f(x) não é par. 
−𝑓(𝑥) = −
1
𝑥
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
Então: f(x) é uma função IMPAR 
B 
20 
Considere a função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 4, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2 
 
Qual é a figura que representa o gráfico da função f(x)? 
 
 
D 
para f(x)=0 →2x-4=0 → 2x=4 
X=2 
f(2)=0 
f(0)=2*0-4=0-4=-4 
f(0)=-4 
 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
21 
Qual é a abcissa do vértice do gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙? 
 
Resolução: 
 𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
; 𝑏 = −2 𝑒 𝑎 = 1 
 
𝑥𝑣 = −
(−2)
2 × 1
=
2
2
= 1 
A 
22 
Sendo p e q constantes reais, qual é a afirmação correcta? 
 
Resolucção: 
Vamos substituir o “q” por “s” pois nas afirmações não nos e apresentada 
a letra “q”. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝
𝑆. 𝑓(𝑥) = 𝑆. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) 
D 
23 
Na figura está representado o gráfico da função f(x). Qual e a afirmação 
verdadeira. 
 
Resolução: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥) = ∄ 
Para existir limite num dado ponto, os limites later is nesse ponto devem 
ser iguais (limite a esquerda e direita). Para o nosso caso temos: 
 
 
C 
24 
Qual é o valor de 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√𝑥+8−3
𝑥−1
? 
 
Resolução: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√𝑥+8−3
𝑥−1
[
0
0
]
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(√𝑥+8−3)×(√𝑥+8+3)
(𝑥−1)(√𝑥+8+3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(√𝑥+8)
2
−32
(𝑥−1)(√𝑥+8+3)
=
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥+8−9
(𝑥−1)(√𝑥+8+3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(𝑥−1)
(𝑥−1)(√𝑥+8+3)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1
(√𝑥+8+3)
=
1
(√1+8+3)
=
1
(√9+3)
=
1
3+3
=
1
6
 
Este exercício pode ser resolvido também usando os métodos abaixo: 
1. L’Hospital calculando a primeira derivada do numerador e 
denominador simultaneamente; 
2. Usando método de substituição, que transformará a raiz numa 
expressão racional. 
B 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑓(𝑥)
= −∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = +∞ 
Logo: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥) = ∄ 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
25 
Qual é o valor de 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sin5𝑥
cos2𝑥
? 
 
Resolução: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sin 5𝑥
cos 2𝑥
=
𝑠𝑖𝑛5 × 0
𝑐𝑜𝑠2 × 0
=
𝑠𝑖𝑛0
𝑐𝑜𝑠0
=
0
1
= 0 
A 
26 
O valor de k para que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑘𝑥2+12𝑥+5
4𝑥2+6
= 0 é… 
 
Resolução: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑘𝑥2 + 12𝑥 + 5
4𝑥2 + 6
[
∞
∞]
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑘𝑥2 + 12𝑥 + 5
4𝑥2 + 6
⟺ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑘𝑥2
4𝑥2
=
𝑘
4
= 0 
⟺
𝑘
4
= 0⟺ 𝑘 = 4 × 0 ⟺ 𝑘 = 0 
Quando temos indeterminacao do tipo [
∞
∞
]o limite mãe é equivalente ao 
limite da razão dos termos de grau maior. 
D 
27 
Uma função real f, de variavel real x, diz-se contínua a esquerda de um 
ponto de abcissa p de seu domínio se e só se… 
 
Resolução: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) 
Primeiro o limite deve existir e o seu valor deve ser igual ao valor da função 
nesse ponto. 
B 
28 
Qual deve ser o valor de k para que a função 𝑓(𝑥) = {
2(𝑥 − 1), 𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝑘𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 
 
seja continua em x=1? 
 
Resolução: 
 
Condições de continuidade {
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝)
 
{
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = 2(1 − 1) = 2 × 0 = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝑘 × 1 = 𝑘
𝑓(1) = 𝑘 × 1 = 𝑘
⟹ {𝒌 = 𝟎 
C 
29 
Qual é o ponto de abcissa em que a função 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙−𝟐
− 𝟑 seja 
descontínua? 
 
Resolução: 
Para que seja descontinua a função não deve existir em x=p: 
𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2 
Quando x=2 f(x) não existe logo f(2) não existe assim como o limite para 
x=2 não existe consequentemente f(x) é descontinua em x=2. 
B 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
Resolvido por: Acacio Carlos Tinga Telefones: +258 84 799 711 9 
Email: mestriasky@outlook.com +258 86 799 711 9 
Exames de admissão ao ensino Superior/Técnico e Exames 10ª e 12ª de Matemática e Química 
30 
A derivada duma função constante é igual a… 
 
Resolução: 
f(x)=a 
f’(x)=0 (ZERO) 
A derivada de uma constante, isto é, de um número qualquer ou uma 
variavel que constante é sempre nula. 
 
Exemplo: f(x)=ax+b, o “b” e “a” são constantes seus valores não mudam 
mas o “a” como está associado a uma variável a sua derivada não será nula. 
f’(x)=a 
Se quisesse a segunda derivada teria: 
f’(x)=0 porque “a” já é uma constante absoluta. 
D 
 
mailto:mestriasky@outlook.com
mailto:mestriasky@outlook.com