Estatística - distribuição exponencial

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Estatística - Distribuição exponencial 
Usado para calcularmos a probabilidade da ocorrência de um evento de interesse 
em um certo intervalo de espaço ou de tempo. 
Exemplo de situações: 
-Intervalo de tempo da chegada de clientes; 
-Intervalo de tempo entre a necessidade de troca de algum equipamento importante; 
-Tempo da execução de uma tarefa (ex: manicure, ela deve estimar em quanto tempo ela 
gasta de uma cliente a outra). 
 
Fórmulas: 
Função densidade de probabilidade 
 
𝑓(𝑥) = {
1
𝜇
. 𝑒
−𝑥0
𝜇 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0, 𝜆 =
1
𝜇
0 𝑝𝑎𝑟𝑎, 𝑥 < 0
 
 
Esperança: 𝐸(𝑥) = 𝜇 =
1
𝜆
 
Variância: 𝑉(𝑥) = 𝜎2 = 𝜇2 =
1
𝜆2
 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜: 𝐷𝑃 = 𝜎 = 𝜇 =
1
𝜆
 
Densidade de probabilidade: 𝑓(𝑥 ≤ 𝑥0) = 1 − 𝑒
−𝑥0
𝜇 
Exercícios: 
Em uma loja de varejo, o tempo médio que os clientes levam escolhendo o que vão 
adquirir é de 15 minutos. Qual a função de densidade de probabilidade e a 
probabilidade de um cliente escolher um produto em 6 minutos ou menos? 
Dados do exercício: 𝜇 = 15 ; 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜆 =
1
15
 ; 𝑥0 = 6 
Resolução: 
Primeiro Substituímos os dados na fórmula 
1
𝜇
. 𝑒
−𝑥0
𝜇 𝑓𝑖𝑐𝑎: 
1
15
. 𝑒
−6
15 aqui temos a função 
Agora devemos resolver: 
𝑓(𝑥 ≤ 𝑥0) = 1 − 𝑒
−𝑥0
𝜇 
𝑓𝑖𝑐𝑎: 
𝑓(𝑥 ≤ 6) = 1 − 𝑒
−6
15 = 1 − 0,6703 = 0,3297 = 32,97% 
A probabilidade de um cliente adquirir um produto em até 6 minutos é de 32,97%. 
Exercício 1b 
Qual a probabilidade de um cliente escolher um produto entre 6 e 20 minutos ou 
menos? 
𝑓(𝑥) =
1
15
. 𝑒
−𝑥0
15 
A fórmula identifica a densidade de probabilidade de estar até algum valor específico, portanto 
devemos fazer alguns ajustes para podermos encontrar a densidade de probabilidade estar 
entre dois valores. 
Então faríamos: 
A densidade de estar até o valor maior e depois subtraímos a densidade de estar até o valor 
menor 
 𝑓(𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1) = 𝑓(𝑥 ≤ 𝑥1) − 𝑓(𝑥 ≤ 𝑥0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando: 
𝑓(6 ≤ 𝑥 ≤ 20) = 𝑓(𝑥 ≤ 20) − 𝑓(𝑥 ≤ 6) 
𝑓(𝑥 ≤ 20) = 1 − 𝑒
−20
15 = 1 – 0,263597 = 0,736403 
𝑓(𝑥 ≤ 6) = 1 − 𝑒
−6
15 = 1 − 0,6703 = 0,3297 
𝑓(𝑥 ≤ 20) − 𝑓(𝑥 ≤ 6) = 0,736403 - 0,3297 = 0,4067 = 40,67% 
 
 
 
 
 
Densidade de 
probabilidade de o 
cliente adquirir em 
até 20 minutos 
Densidade de 
probabilidade de o 
cliente adquirir em 
até 6 minutos 
Densidade de 
probabilidade de o 
cliente adquirir em 
entre 6 e 20 minutos 
Exercício 2 
Uma corretora de imóveis fez um levantamento de todos os seus clientes, e concluiu 
que seus clientes compram uma casa em média á 5 km do metrô. 
José um dos corretores, pretende vender uma casa á 7 km do metrô, qual a 
probabilidade de um cliente comprar uma casa á 7km ou mais do metrô. 
Identificamos a Média µ=5 , devemos substituir o μ na função 𝑓(𝑥) =
1
5
. 𝑒
−𝑥0
5 
Agora substituímos na fórmula 
𝑓(𝑥 ≤ 𝑥0) = 1 − 𝑒
−𝑥0
𝜇 𝑓(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑒
−7
5 
Essa fórmula nos dá a probabilidade de a compra ser até 7km e não de 7km ou mais, então 
devemos usar a fórmula de uma maneira adaptada, assim faremos: 1 menos a probabilidade 
de ser até 7km (pegamos o todo e subtraímos a probabilidade de ser até 7km) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥 ≥ 7) = 1 − 𝑓(𝑥 ≤ 7) = 1 − (1 − 𝑒
−7
5 ) = 
 𝑓(𝑥 ≤ 7) = 1 − 0,753403 = 0,246597 = 24,66% 
 
 
 
 
 
 
 
 
O todo 
Densidade de 
probabilidade de ser 
até 7km 
O Que sobra da 
subtração 
Dica: 
Para o cálculo da fórmula recomendo o uso de alguns aplicativos como: