Introdução ao Cálculo Diferencial - ListaICD2-12.2

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 
� Prof. BORGES – 1Engenharia – 
LISTA 
ICD2/12.2 
FUNÇÕES. 
FUNÇÃO DO 1º. GRAU. 
APLICAÇÕES. 
 
 
 
 
ListaICD2/2012.2 – Introdução ao Cálculo Diferencial – Pág. 1 – Prof. Antonio José BORGES – ajborges.u@uol.com.br 
 
1. O PLANO CARTESIANO (PC) 
 
O assunto será desenvolvido em aula. 
 
 
(EXEMPLO) Identifique no Plano Cartesiano (PC), na 
forma P(x;y), os pontos A, B, C e D e suas coordenadas: 
 
x
y
C
0
B
AD
 
 
 
 
 
 
 
 
(EXEMPLO 2) Represente no PC os pontos: 
 
P(2;2) 
 
Q(-2;-1) 
 
R(3;-1) 
 
Y(0;-2) 
 
O(0;0) 
 
y
x
 
 
 
2. NOÇÃO DE FUNÇÃO 
 
Muitas vezes na prática o valor de uma quantidade 
depende do valor de outra. O salário de um trabalhador 
depende do número de horas trabalhadas; o número de 
unidades demandadas de um produto depende do preço 
do mesmo, etc. Essa dependência é quase sempre defini-
da por uma função, assunto que passaremos a estudar 
neste projeto. Nas áreas de Engenharia, Economia, Admi-
nistração, inúmeras situações práticas podem ser repre-
sentadas por funções matemáticas, como veremos no 
decorrer das aulas. 
 
 
 
 
 função 
 
y = f (x) (fórmula) 
 
 variável independente 
 
 variável dependente 
 
 
Pela função f, a cada valor da variável independente x 
corresponde um único valor da variável dependente y. 
 
(o valor de) y depende (do valor) de x 
 
 
3. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
É a função definida 
por uma fórmula 
do tipo (com 0≠a ) 
 
y = ax + b 
 
(fórmula) 
 
 
 
 coeficiente linear b é a ordenada do ponto (0;b) em que a reta corta o eixo y 
 
coeficiente angular 
x
y
a
∆
∆
= mede a inclinação da reta 
é a TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA (de crescimento ou de decrescimento) de y em relação a x 
também denominada DERIVADA DE y EM RELAÇÃO A x (para variações de x muito peque-
nas) 
 
 
 
x
y
(0;b)
∆y
 
 ∆x
 
 
b
y = ax + b
a > 0
função crescente
 
 
 
x
y
(0;b)
∆y
 
 ∆x
 
 
b
y = ax + b
a < 0
função decrescente
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 
� Prof. BORGES – 1Engenharia – 
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FUNÇÕES. 
FUNÇÃO DO 1º. GRAU. 
APLICAÇÕES. 
 
 
 
 
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[Exemplo] Na KMiZt’s o custo y (em mil R$) para 
produzir x mil camisetas é dado pela função 
102 += xy , com 50 ≤≤ x . 
 
Quantidade 
(x) 0 1 2 ... 5 
Custo (y) 10 12 14 ... 20 
 
Interpretação: por exemplo, para produzir 2.000 
camisetas o custo é de R$12.000,00. 
 
 
x
y
0 1 2 3 4 5
20
18
16
14
12
10
 
 
 
 
Domínio D = [0;5]: é o conjunto dos 
 valores possíveis de x 
 
Imagem Im = [10;20]: é o conjunto dos 
 valores resultantes para y 
 
 
 
x
y
0 1 2 3 4 5
20
18
16
14
12
10
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – BLOCO A 
 
 
(A1) Faça o gráfico da função (com RyeRx ∈∈ ): 
a) 42 += xy (comentar “DERIVADA” em cada caso) 
=⇒= yx 1 
 
=⇒= yx 3 
 
=⇒= yx 0 
 
042 =+x 
 
 
x
y
 
 
 
 
b) 22 −= xy 
 
 
 
x
y
 
 
 
 
 
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ListaICD2/2012.2 – Introdução ao Cálculo Diferencial – Pág. 3 – Prof. Antonio José BORGES – ajborges.u@uol.com.br 
 
 
c) 63 +−= xy 
=⇒= yx 1 
 
=⇒= yx 3 
 
=⇒= yx 0 
 
 
 
x
y
 
 
 
d) 22 −−= xy 
 
 
x
y
 
 
 
 
 
(A2) Esboce os gráficos das funções (com RyeRx ∈∈ ) 
a) y=x, y=−2x, y=3 e y=−4, numa mesma figura. 
 
 
x
y
 
 
 
 
b) y=|x| (FUNÇÃO MODULAR). 
 
 
x
y
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 
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(A3) Para a fábrica VAGAL & VAGOLINA S/A a fórmula 6003 −= xy representa o lucro y (em $) na venda de x unidades 
de seu produto P. O gráfico dessa função lucro é dado a seguir. Analisando o gráfico, assinale V (verdadeira) ou F (falsa) 
para cada afirmativa: 
 
 
x
y
-600
200 400
600
0
 
 
a) a fábrica terá prejuízo se vender menos que 200 unidades ( ) 
 
b) para ter lucro a fábrica deve vender mais que 200 unidades ( ) 
 
c) para ter lucro acima de $600 a fábrica deve vender mais que 400 unida-
des ( ) 
 
 
 
(A4) O gráfico a seguir é o da função 405 +−= xy (com y em metros e x em segundos) e representa a altura (ou profun-
didade) de um objeto, que caiu de uma altura de 40 metros acima da superfície de um lago de 30 metros de profundidade. 
Analisando o gráfico, assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada afirmativa: 
 
 
x
y
-30
8 14
30
0
40
20
10
-10
-20
2 4 6 10 12
 
 
a) após 4 segundos de queda o objeto estará submerso no lago ( ) 
 
b) após 4 segundos de queda o objeto estará 20 m acima da superfície do 
lago ( ) 
 
c) o objeto alcançará o fundo do lago após 14 segundos de queda ( ) 
 
d) para atingir a superfície do lago o objeto levará 8 segundos ( ) 
 
 
 
(A5-Tarefa) Faça para RyeRx ∈∈ o gráfico de cada função: 
a) 62 += xy b) 33 +−= xy c) xy 2= d) xy −= e) 2=y f) 1−=y g) ||2 xy = 
 
(A6-Tarefa) Para a função 62 −= xy esboce o gráfico e complete de modo a tornar verdadeira cada afirmativa: 
 
x
y
 
 
a) 0>y para todo valor de x , tal que ............. 
 
b) 0<y para todo valor de x , tal que ............. 
 
(A7-Tarefa) Para a função 33 +−= xy esboce o gráfico e complete de modo a tornar verdadeira cada afirmativa: 
 
x
y
 
 
a) 0>y para todo valor de x , tal que ............. 
 
b) 0<y para todo valor de x , tal que ............. 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL 
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FUNÇÕES. 
FUNÇÃO DO 1º. GRAU. 
APLICAÇÕES. 
 
 
 
 
ListaICD2/2012.2 – Introdução ao Cálculo Diferencial – Pág. 5 – Prof. Antonio José BORGES – ajborges.u@uol.com.br 
 
(A8-Tarefa) Para a fábrica VAGOLINA, VAGAL & PREGUIFILHOS a fórmula 1206 −= xy representa o lucro y (em $) na 
venda de x unidades de seu artigo K. O gráfico dessa função lucro é dado a seguir. Analisando o gráfico, assinale V (verda-
deira) ou F (falsa) para cada afirmativa: 
 
 
x
y
-120
20 40
120
0
 
 
a) a fábrica terá prejuízo se vender menos que 20 unidades ( ) 
 
b) para ter lucro a fábrica deve vender mais que 20 unidades ( ) 
 
c) para ter lucro acima de $120 a fábrica deve vender mais que 40 unidades ( ) 
 
 
 
(A9-Tarefa) O gráfico a seguir é o da função 8010 +−= xy (com y em metros e x em segundos) e representa a altura (ou 
profundidade) de um objeto, que caiu de uma altura de 80 metros acima da superfície de um lago de 60 metros de profundi-
dade. Analisando o gráfico, assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada afirmativa: 
 
 
x
y
-60
8 14
60
0
80
40
20
-20
-40
2 4 6 10 12
 
 
a) após 4 segundos de queda o objeto estará submerso no lago ( ) 
 
b) o objeto alcançará o fundo do lago somente após 12 segundos de queda 
( ) 
 
c) para atingir a superfície do lago objeto levará 4 segundos ( ) 
 
d) entre 2 e 10 segundos o objeto cairá de uma altura de 20 metros acima 
da superfície do lago a uma profundidade de 10 metros do lago ( ) 
 
 
RESPOSTAS 
 
 (A5) 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
a)y=2x+6
b) y = -3x+3 c)y=2x
d) y = -x
e)y=2
f) y = -1
g) y=2|x|
g) y=2|x|
 
 
 
(A6) 
x
y
3
-6
 
a) 0>y para todo valor de x , tal que 3>x 
b) 0<y para todo valor de x , tal que 3<x 
(A7) 
x
y
3
1
 
a) 0>y para todo valor de x , tal que 1<x 
b) 0<y para todo valor de x , tal que 
1>x
 
(A8) a) V b) V c) V 
 
(A9) a) F b) F c) F d) F