gab_prv2_1s_2010
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DisciplinaOndas Eletromagnéticas131 materiais791 seguidores
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SEL310/612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito 2a Prova, Referência P1.
Junho de 2010
Questão 1: Uma onda eletromagnética polarizada perpendicularmente ao plano de incidência (xz)
propaga-se em meio caracterizado por "r1 = 6 e \ufffdr1 = 2. A amplitude máxima do campo elétrico da onda
incidente é E0 = 1 V/m. Esta onda incide com ângulo \ufffdi = 250 sobre a interface (z = 0) com meio carac-
terizado por "r2 = 4 e \ufffdr2 = 2. Determinar o valor médio do vetor de Poynting da onda transmitida para o
meio 2.
Solução: O campo elétrico da onda transmitida é Et = TIE0 exp [\ufffdj (ktxx+ ktzz)] by. O campo magnético
é Ht = (\ufffdktzbx+ ktxbz) (TIE0=!\ufffd2) exp [\ufffdj (ktxx+ ktzz)]. O valor médio do vetor de Poynting da onda
transmitida é < Si >= (1=2)Re
h
Ei \ufffdH\ufffdi
i
=
\ufffd
T 2I E
2
0=!\ufffd1
\ufffd
(ktxbx+ ktzbz) W/m2. Como ktx = k2sen (\ufffdt) e
ktz = k1cos(\ufffdt), o valor médio do vetor de Poynting da onda transmitida é St >= (1=2)Re
h
Et \ufffdH\ufffdt
i
=\ufffd
T 2I E
2
0=2\ufffd2
\ufffd
[sen (\ufffdt) bx+ cos (\ufffdt)] bz W/m2, na qual TI é o coe…ciente de re‡exão de campo, calculado por
meio de TI = [2\ufffd2 cos (\ufffdi)] = [\ufffd2 cos (\ufffdi) + \ufffd1 cos (\ufffdt)].
O ângulo de transmissão para o meio é \ufffdt = sen\ufffd1
\ufffd\ufffdp
\ufffdr1&quot;r1=
p
\ufffdr2&quot;r2
\ufffd
sen (\ufffdi)
\ufffd
e as impedâncias intrínsecas
dos meios são \ufffd1 =
p
\ufffd1=&quot;1 e \ufffd2 =
p
\ufffd2=&quot;2. Substituindo os valores resulta em \ufffdt = 31; 2
0; \ufffd1 = 217; 7 ohms;
\ufffd2 = 266; 6 ohms; TI = 1; 129
1 ; < St >= (1; 24bx+ 2; 05bz)\ufffd 10\ufffd3 W/m2.
Questão 2: Uma onda eletromagnética plana se propaga para dentro do solo, composto por terra úmida,
cuja constante dielétrica relativa na freqüência f = 100 MHz é e&quot;r = &quot;r \ufffd j\ufffd= (&quot;0!) = 10 \ufffd j5. Sabendo
que o campo elétrico na superfície do solo é E = 200 V/m, determinar o fasor campo magnético a uma
profundidade ` = 5 metros (em formato A6 \ufffd A/m).
Solução: O fasor campo elétrico é Ef = E exp (\ufffdkz) e o fasor campo magnético é Hf = (E=Z) exp (\ufffdkz),
nas quais Z é a impedância intrínseca do meio e k = kr+jki, pois a terra úmida é dissipativa. A impedância
intrínseca do meio é Z = 377=
pe&quot;r = 377=p10\ufffd j5 = 109; 7 + j25; 9 
, ou Z = 112; 86 13; 30. Temos que
k = j (2\ufffdf=c)
pe&quot;r = \ufffd2\ufffd \ufffd 100\ufffd 106=3\ufffd 108\ufffdp10\ufffd j5 = 1; 61+ j6; 82 ou kr = 1; 61 m\ufffd1 e ki = 6; 82 m\ufffd1.
Para `, k` = (1; 61 + j6; 82) \ufffd 5 = 8; 05 + j34; 08. Portanto, Ef (z = 5 m) = 200 exp (\ufffd8; 05) exp (\ufffdj34; 08)
e Ef (z = 5 m) = 64\ufffd 10\ufffd3 6 \ufffd 152; 60 V/m. O fasor campo magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)=Z =
[200 exp (\ufffd8; 05) exp (\ufffdj34; 08)] = (109; 7 + j25; 9). Portanto, Hf (z = 5 m) = 5; 69\ufffd 10\ufffd4 6 \ufffd 1660 A/m ou
.Hf (z = 5 m) = \ufffd (5; 52 + j1; 39)\ufffd 10\ufffd4 A/m.
Questão 3: As duas componentes do campo elétrico de uma onda eletromagnética propagando em meio
sem perdas caracterizado por \ufffd = \ufffd0 e &quot; = 4&quot;0 são E1 = bz16 cos (!t\ufffd kxx) mV/m e E2 = by16 cos (!t\ufffd kxx)
mV/m. Calcular: (Q3.a) o valor médio do vetor de Poynting (em mW/m2); (Q3.b) A polarização da onda
(linear, circular ou elíptica. Caso seja circular ou elíptica, informar se mão esquerda ou mão direita).
Solução: O fasor de cada componente da onda será dado por E1 (x) = 16e\ufffdjkxxbz (mV=m) e E2 (x) =
16e\ufffdjkxxby mV/m. Portanto, o campo total será dado por \ufffd!E (x) = 16 (by + bz) exp (\ufffdjkxx) mV/m. O
campo magnético é determinado a partir da equação de Maxwell, H = \ufffdr \ufffd E= (j!\ufffd), com r \ufffd E =
\ufffdby@Ez=@x + bz@Ey=@x. Portanto, H = \ufffd16\ufffd 103=\ufffd\ufffd (\ufffdby + bz) exp (\ufffdjkxx) \ufffdA/m. O valor médio do vetor
de Poynting é
S (x; t)
\ufffd
= (1=2)Re
\ufffd
E \ufffdH\ufffd
\ufffd
, com E \ufffdH\ufffd = (Eyby + Ezbz)\ufffd \ufffdH\ufffdy by +H\ufffdz bz\ufffd, resultando em
S (x; t)
\ufffd
=
\ufffd
162=\ufffd
\ufffd bx mW/m2. Mas, \ufffd = p\ufffd=&quot; = \ufffd0p\ufffdr=&quot;r = 377=p&quot;r = 377=p4 = 377=2 
. Portanto,
S (x; t)
\ufffd
= 1; 36 mW/m2 .
A partir do campo elétrico, E = Re f16 (by + bz) exp (\ufffdjkxx) exp (j!t)g ou E = 16 (by + bz) cos (!t\ufffd kxx).
Em x = 0 e variando t, concluímos que a onda é linearmente polarizada a 450 .
Questão bônus: Um guia de onda metálico preenchido com ar possui seção retangular de dimensões 45
mm por 90 mm. Determinar a relação entre a velocidade de fase no guia e no vácuo, vf=c, na freqüência 1,6
vezes a freqüência de corte do modo fundamental.
Solução: A frequência de corte do modo fundamental TE é fc = c=
\ufffd
2
p
\ufffdr&quot;r
\ufffdq
(m=a)
2
+ (n=b)
2. Para o
modo fundamental TE10, m = 1 e n = 0. Para guia com ar, \ufffdr = 1; &quot;r = 1. Assim, fc = c=2a. Substituindo
1O coe…ciente de re‡exão é RI = 0; 129.
1
os valores, fc = 1; 67 \ufffd 109 Hz. A velocidade de fase é vf = c=
\ufffdp
\ufffdr&quot;r
\ufffd h
1\ufffd (fc=f)2
i\ufffd1=2
. Substituindo os
valores vf = 3; 843\ufffd 1010 cm/s. A relação procurada é vf=c = 1; 281 .
Gabarito de todas as provas
Resposta/Prova P1 P2 P3 P4
< St >= (1; 24bx+ 2; 05bz)\ufffd 10\ufffd3 W/m2 Q1 Q2 Q3 Q1
Hf (z = 5 m) = 5; 69\ufffd 10\ufffd4 6 \ufffd 1660 A/m Q2 Q3 Q2 Q3
S (x; t)
\ufffd
= 1; 36 mW/m2 Q3.a Q1.a Q1.a Q2.a
linearmente polarizada a 450 Q3.b Q1.b Q1.b Q2.b
vf=c = 1; 281 Qb Qb Qb Qb
2