prv_1_gab_2s_v1_2006
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DisciplinaOndas Eletromagnéticas127 materiais771 seguidores
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SEL310-Ondas eletromagnéticas. Gabarito da Prova P1
outubro de 2006
Questão 1
A Fig.1 mostra um circuito com linhas de transmissão sem perdas. Os dois trechos de linhas são
conectados por uma impedância em série Z = j2\u3c0fL, na qual f é a freqüência de operação e
L é indutância. Sabendo que: vg(t) = 100 cos
¡
\u3c0 × 108t¢ volts, ZG = 50 \u2126, ZL = 50(1 + j) \u2126,
Z01 = 100 \u2126, Z02 = 50 \u2126, c1 = \u3bbg1/2 = 1 metro e c2 = \u3bbg2/4 = 0, 4 metro, nas quais \u3bbg1,2 são os
comprimentos de onda guiada nas linhas 1 e 2, respectivamente, determinar:
a) as velocidades de fase nas linhas de transmissão 1 e 2;
b) o valor da indutância para que a corrente iG(t) esteja em fase com a tensão vG(t);
c) o valor da amplitude máxima da corrente iG(t);
d) a expressão da tensão nos terminais de entrada (A\u2212B) da linha 1.
~
Z
ZG
ZLvG(t)
iG(t)
?1
Z01 Z02
?2
A
B
Figura 1: Cicuito com linha de transmissão da Questão 1.
Solução
Como vg(t) = 100 cos
¡
\u3c0 × 108t¢ volts, \u3c9 = \u3c0 × 108 rad/s e f = \u3c0 × 108/ (2\u3c0) = 50 MHz. As
velocidades de fase são vf1 = f\u3bbg1 e vf2 = f\u3bbg2. Como c1 = \u3bbg1/2 = 1 metro e c2 = \u3bbg2/4 = 0, 4
metro, \u3bbg1 = 2 m e \u3bbg1 = 1, 6 m, então vf1 = 2 × 50 × 106 e vf2 = 1, 6 × 50 × 106. Portanto,
vf1 = 1× 108 m/s e vf2 = 8× 107 m/s . Como ZG = 50 \u2126, para que corrente e tensão estejam
em fase a impedância em A\u2212B deve ser real. Normalizando ZL, zL = ZL/Z02 e zL = 50(1+j)/50 =
(1 + j). Como c2 = \u3bbg2/4, a impedância na entrada de Z02 é z1 = 1/zL = 1/(1 + j) = (1\u2212 j)/2 e
Z1 = 50z1 = 25(1\u2212 j) \u2126. A impedância de carga da linha Z01 é Z2 = Z +Z1 = jXL+25(1\u2212 j) =
25+jXL\u2212j25, que deve ser real. Portanto, se XL = 25 \u2126, Z2 = 25 \u2126. Como XL = \u3c9L = \u3c0×108L,
L = 25/
¡
\u3c0 × 108¢ e L = 80 nH . Como c1 = \u3bbg1/2 e Z2 = 25 \u2126, a impedância nos terminais
de entrada da linha Z01 é 25 \u2126. Sabendo que ZG = 50 \u2126, a amplitude máxima da corrente é
iG,max = vg(t = 0)/(25 + 50) = 100/75 e iG,max = 4/3 A . A tensão nos terminais de entrada é
vAB(t) = (25/75) vG(t) e vAB(t) = (100/3) cos
¡
\u3c0 × 108t¢ V .
Questão 2
A Fig.2 mostra um circuito com linhas de transmissão sem perdas. Sabendo que VG = 106 00 volts,
ZG = 50 \u2126, Z0 = 50 \u2126, ZL = 50(1+j2) \u2126, c1 = 0, 25\u3bb, c2 = 0, 375\u3bb, c3 = 0, 75\u3bb, calcular utilizando
(obrigatoriamente) a carta de Smith:
a) a impedância nos terminais (A\u2212B) do gerador;
b) o coeficiente de reflexão na carga, na forma |\u393L| 6 \u3b80;
1
c) a relação de onda estacionária (ROE) na linha principal;
d) a tensão nos terminais (A\u2212B) do gerador, na forma |VAB| 6 \u3b80V V;
e) a corrente nos terminais (A\u2212B) do gerador, na forma |IAB| 6 \u3b80I A.
~
ZG
ZLVG
?2
Z0
A
B
curto
aberto
?3
?1
Z0
Z0
Figura 2: Circuito com linhas de transmissão da Questão 2.
Solução
Como c3 = 0, 75\u3bb = 3×0, 25\u3bb, a impedância na entrada da linha é "curto\u2192 0, 25\u3bb (aberto)\u2192 0, 25\u3bb
(curto)\u2192 0, 25\u3bb (aberto)". A linha de comprimento c2 = 0, 375\u3bb está terminada em circuito aberto,
\u3b2c2 = 2\u3c0 × 0, 375, e a impedância na entrada é Z2 = j50 \u2126. A impedância na entrada da linha
c1 = 0, 25\u3bb é Z1 = 10\u2212j20 \u2126. A admitância equivalente em A\u2212B é YAB = 1/Z1+1/Z2 = 0, 02(1+j)
S e ZAB = 1/YAB = 25\u2212 j25 \u2126 . O coeficiente de reflexão na carga é \u393L = (ZL \u2212 Z0) / (ZL + Z0),
\u393L = [50(1 + j2)\u2212 50] / [50(1 + j2) + 50] = 0, 5 + j0, 5 e \u393L = 0, 7076 450 . A relação de onda
estacionária é ROE = (1 + |\u393L|) / (1\u2212 |\u393L|) = (1 + 0, 707) / (1\u2212 0, 707) e ROE = 5, 83 . A ten-
são em A \u2212 B é VAB = VG [ZAB/ (ZAB + ZG)] = 10 [(25\u2212 j25) / (25\u2212 j25 + 50)] = 4 \u2212 j2 e
VAB = 4, 476 \u2212 26, 60 V . A corrente é IAB = VAB/ZAB = (0, 12 + j0, 04) / (25\u2212 j25) = 0, 12 +
j0, 04 e IAB = 0, 136 18, 40 A .
Questão 3
A Fig.3 mostra um circuito com linhas de transmissão sem perdas. Sabendo que VG = 100 volts,
ZG = 100 \u2126, Z0 = 100 \u2126, ZL = 300 \u2126, c = 500 metros, v = 2, 5× 108 m/s, considere:
a) a chave localizada em está fechada há muito tempo e o sistema pode ser considerado em
estado estacionário DC. Nesta situação, calcular a tensão nos terminais (A\u2212B) do gerador;
b) com o sistema em estado estacionário DC, a chave é aberta no instante t = 0. Nesta situação,
b.1) calcular o intervalo de tempo que a frente de onda gasta para alcançar a carga;
b.2) esboçar os gráficos das tensões referentes às ondas incidente e refletida em função de z no
instante (utilizar a Fig.4);
b.3) esboçar o gráfico da tensão total na linha em função de z no instante t = c/2v (utilizar os
gráficos mostrados na figura).
Obs.: os itens a), b.1), b.2) e b.3) têm o mesmo valor.
2
ZG
ZLVG
?
Z0
A
B
t=0
0
z
Figura 3: Circuito com linha de transmissão da Questão 3.
Solução
O intervalo de tempo que a frente de onda gasta para alcançar a carga é \u2206t = c/v = 500/2, 5 ×
108 e \u2206t = 2 \u3bcs . Em regime estacionário o gerador "enxerga"em seus terminais a impedân-
cia de carga. Desta forma, a tensão é VAB = VG [ZL/ (ZL + ZG)] = 100 [300/ (300 + 100)] e
VAB = 75 V . Esta é a tensão total nos terminais A \u2212 B da linha de transmissão. Esta tensão
total é a superposição das ondas incidente e refletida. Portanto, v (z = 0, t\u2192\u221e) = V + + V \u2212 =
75 V e i (z = 0, t\u2192\u221e) = V +/Z0 \u2212 V \u2212/Z0. Mas, em estado estacionário, i (z = 0, t\u2192\u221e) =
VAB/ (ZL + ZG) e i (z = 0, t\u2192\u221e) = 100/ (300 + 100) = 0, 25 A. Portanto, Z0i (z = 0, t\u2192\u221e) =
V + \u2212 V \u2212 e V + \u2212 V \u2212 = 100 × 0, 25 = 25 V. Resolvendo simultaneamente V + + V \u2212 = 75 V e
V + \u2212 V \u2212 = 25 V, determinamos V + = 50 V e V \u2212 = 25 V. As tensões e correntes no regime
estacionário são mostradas nas Figs.4 e 5, respectivamente.
Vamos explicar o resultado em duas maneiras equivalentes:
1. Quando a chave é aberta em t = 0, os terminais A \u2212 B tornam-se um circuito aberto,
ZAB \u2192\u221e. As condições de contorno nos terminais A\u2212B da linha de transmissão são tensão
máxima e corrente nula. No estabelecimento do circuito aberto a onda que se propagava no
sentido carga-gerador (V \u2212 = 25 V) experimenta reflexão total em ZAB \u2192 \u221e (\u393AB = 1),
havendo superposição em fase (tensão máxima). Portanto, em ZAB \u2192 \u221e a tensão total é
(25 + \u393AB × 25) = 50 V. Em t = T/2 só há alteração de z = 0 até z = c/2. Portanto, para
z \u2265 c/2 não há alteração. As formas de onda das tensões e correntes são mostradas nas Figs.6
e 7, respectivamente.
?
z
Tensão
onda incidente, V
?
z
Tensão
onda refletida, V
?
z
Tensão total, V
V+
V-
50 50 50
75 75 75
/t v< ? / 2 /v t v< <? ? t\u2192\u221e
Figura 4: Tensões: incidente, refletida e total em regime estacionário.
3
?
z
Corrente
onda incidente, V
?
z
Corrente
onda refletida, V
?
z
Corrente total, V
I+
I-
0,50 0,50
0,75 0,75
/t v< ? / 2 /v t v< <? ? t\u2192\u221e
0,25
0,50
0,75
0,25
Figura 5: Correntes: incidente, refletida e total em regime estacionário.
?
z
Tensão
onda incidente, V
?
z
Tensão
onda refletida, V
?
z
Tensão total, V
V+
V-
50 50 50
75 75 75
/ 2t v= ? / 2?
25
/ 2t v= ? / 2t v= ?/ 2? / 2?
25
50
25
50
75
Figura 6: Tensões: incidente, refletida e total no instante t = c/2v.
?
z
Corrente
onda incidente, A
?
z
Corrente
onda refletida, A
?
z
Corrente total, A
I+ I-
0,50 0,50
0,75 0,75
0,25
0,50
0,75
0,25
/ 2t v= ? / 2t v= ? / 2t v= ?
0,25
0,5
0,25
0,25
/ 2? / 2? / 2?
0,25
Figura 7: Correntes: incidente, refletida e total no instante t = c/2v.
2. Quando a chave é aberta, a corrente em z = 0 torna-se zero. Conseqüentemente, é gerado
um pulso propagante com corrente I+ = \u2212IAB, que avança com velocidade v pela linha e
demora t = l/v para chegar à carga. Em t = c/2v só haverá onda propagante, que terá
percorrido metade do caminho. A tensão da onda propagante é dada por V + = ZLI+ =
\u2212ZLIAB = \u2212100 × 0.25 = \u221225V . O gráfico será uma linha horizontal em \u221225 V entre 0 e
z = vc/2v = c/2, e em zero entre c/2 e c. A tensão total é a soma da estacionária existente e
a propagante; será 75\u2212 25 = 50 V entre 0 e c/2 e 75 V entre c/2 e c.
4
Tabela 1: Resumo das Provas P1 e P2.
Questão P1 P2
Q.1.a (1) vf1 (m/s) 1× 108 2× 108
Q.1.a (2) vf2 (m/s) 8× 107 1, 6× 108
Q.1.b L,C (nH;pF) 80 (L) 20 (L)
Q.1.c iG,max (A) 4/3 0, 48
Q.1.d vAB(t) (V) (100/3) cos
¡
\u3c0 × 108t¢ 6 cos ¡2\u3c0 × 108t¢
Q.2.a ZAB (\u2126) 25\u2212 j25 30\u2212 j10
Q.2.b \u393L 0, 7076 450 0, 5426 40, 60
Q.2.c ROE 5, 83 3, 37
Q.2.d VAB (V) 4, 476 \u2212 26, 60 7, 846