Controle___Lab_1

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN
RELATÓRIO DE CONTROLE 1
ATIVIDADE 1
FUNÇÃO DE TRANSFERENCIA E DIAGRAMA DE BLOCOS, FUNÇÕES DE
PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM, RESPOSTA AO DEGRAU
Maria Fernanda Azolin
Engenharia de Computação
Prof. Paulo de Tarso Neves Junior
CAMPUS CURITIBA, 18 de outubro de 2021
SUMÁRIO
1 OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 EXERCÍCIO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 EXERCÍCIO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 EXERCÍCIO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 DESENVOLVIMENTO, RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 EXERCÍCIO 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 EXERCÍCIO 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 EXERCÍCIO 2A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 EXERCÍCIO 2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 EXERCÍCIO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Função de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2 Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.3 Tempo de subida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.4 Efeito da variação da resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
1 OBJETIVO
O objetivo da presente atividade é aprofundar os conhecimentos vistos nas aulas 1 a
4 da disciplina de Controle 1, acerca do conteúdo de funções de transferência , diagramas de
bloco, funções de primeira e segunda ordem e resposta ao degrau, além do uso do software
MatLab.
1.1 EXERCÍCIO 1
Encontre a Função de Transferência simplificada dos sistemas abaixo e expanda em
Frações Parciais.
1.2 EXERCÍCIO 2
Encontre a Função de Transferência dos dois sistemas com as seguintes respostas ao
degrau.
4
1.3 EXERCÍCIO 3
No circuito abaixo x(t) representa uma fonte de tensão e y(t) a tensão sobre o capacitor.
Encontre o valor da capacitância C, da resistência R e a Função de Transferência do sistema
assumindo que, para um degrau unitário como entrada x(t), a saı́da terá um overshoot de 25% e
um tempo de acomodação de 15ms pelo critério 2%.
Faça o gráfico da resposta ao degrau.
Qual o tempo de subida (0% a 100%)?
Qual o efeito da variação da resistência nesse sistema?
5
2 DESENVOLVIMENTO, RESULTADOS E DISCUSSÕES
2.1 EXERCÍCIO 1A
Considerando o sistema:
Podemos escrever as equações:
E1 = R(s)−CIII(s)
E2 = E1 −0.8∗E3
E3 =
5∗E2
5s+1
CIII(s) =
E3
s
e usando H(s) como:
H(S) =
CIII(s)
R(s)
Substituindo o valor de E2, chegamos em:
E3 =
5∗ (E1 −0.8∗E3)
5s+1
Passando o denominador para o outro lado da equação e simplificando, chegamos em:
6
E3 =
E1
s+1
Colocando esse valor na quarta equação tirada do sistema:
CIII(s) =
E1
s+1
s
Mas E1 = R(s)−CIII(s), então:
CIII(s) =
R(s)−CIII(s)
s+1
s
CIII(s) =
R(s)−CIII(s)
s2 + s
CIII(s)∗ (1+
1
s2 + s
) =
R(s)
s2 + s
Simplificando:
CIII(s) =
R(s)
s2 + s+1
Voltando em H(s), achamos:
H(s) =
1
s2 + s+1
Expandindo em funções parciais no MatLab, encontramos:
H(s) =
−0.5774i
s+0.5−0.866i
+
0.5774i
s+0.5+0.866i
A expansão no MatLab foi feita com os seguintes comandos:
7
2.2 EXERCÍCIO 1B
Considerando o sistema:
Podemos escrever as equações:
H(s) =
x1
r
e = r− x1
x3 =
4e− x2
s
x1 =
x2
s
x2 =
10∗ x3
0.1∗ s+1
Substituindo e na equação de x3:
x3 =
4(r− x1)− x2
s
Usando isso na equação de x2:
x2 =
10∗ (4(r−x1)−x2s )
0.1∗ s+1
Simplificando:
x2 =
400∗ r−400∗ x1 −100∗ x2
s2 +10s
8
x2 +
100∗ x2
s2 +10s
=
400∗ r−400∗ x1
s2 +10s
100∗ x2 + s2 ∗ x2 +10∗ s∗ x2 = 400∗ r−400∗ x1
x2 =
400∗ r−400∗ x1
s2 +10∗ s+100
Substituindo para x1:
x1 =
400∗ r−400∗ x1
s3 +10∗ s2 +100s
x1 =
400∗ r
s3 +10∗ s2 +100s+400
Então a função de transferência fica:
x1 =
400
s3 +10∗ s2 +100s+400
Expandindo em funções parciais no MatLab, encontramos:
H(s) =
−2.5453−0.9115i
s+2.3371s−8.3453i
+
−2.5453+0.9115i
s+2.3371s+8.3453i
+
5.0906
s+5.3258
A expansão no MatLab foi feita com os seguintes comandos:
2.3 EXERCÍCIO 2A
A função de transferência padrão de um sistema de primeira ordem é:
9
T (s) =
1
T s+1
onde a constante de tempo T pode ser encontrada pelo gráfico fornecido pelo professor,
achando o ponto onde a amplitude vale 63,2% do valor máximo. Analisando o gráfico com
ajuda do software MatLab, encontramos esse valor T = 0,0199967s, ou aproximadamente
0,019s.
Então encontramos:
T (s) =
1
0,019s+1
2.4 EXERCÍCIO 2B
A função de transferência padrão de um sistema de segunda ordem é:
Ela depende de um overshooting Mp, encontrado no pico do gráfico. Com auxı́lio do
10
MatLab, vemos que esse valor está em aproximadamente Y = tp = 0,86, valendo Y = 1,254 ou
seja:
Mp = 1.254−1
Mp = 0.254
Com o overshoot, podemos achar o damping através da fórmula:
ζ = 0.3998
ζ ≈ 0.4
Sabendo tp pelo gráfico e ζ , calculamos a frequencia natural:
11
wn = 3.99rad/s
Substituindo na função de transferência:
T (s) =
15.89
s2 +3.19s+15.89
2.5 EXERCÍCIO 3
2.5.1 FUNÇÃO DE TRANSFERENCIA
Com um overshoot de 25%, temos ζ de 0,4 usando a formula do exercicio anterior. A
frequencia natural se encontra com a formula:
wn =
4
tsζ
wn = 660,5rad/s
Então encontramos o valor do capacitor:
C =
10
w2s
C = 22,9uF
Como o resistor e o capacitor estão em paralelo, suas tensões são iguais, e o valor do
resistor pode ser calculado:
R = 43,6kΩ
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Substituindo na função padrão de sistemas de segunda ordem:
T (s) =
436,3k
s2 +533,32s+436,3k
2.5.2 RESPOSTA AO DEGRAU
Basta rodar os comandos no MatLab:
2.5.3 TEMPO DE SUBIDA
Usaremos β , com o ζ já conhecido de 0,4:
β = 1,15
13
Então usamos:
tr = 3,29ms
2.5.4 EFEITO DA VARIAÇÃO DA RESISTÊNCIA
A função de transferencia pode ser reescrita da seguinte forma:
T (s) =
1
LC
s2 + 1LC +
s
RC
Da onde podemos tirar:
2ζ wn =
1
RC
Isolando ζ :
ζ =
1
2RCwn
Ou seja, a variação de resistencia causaria uma reação inversamente proporcial no
damping do sistema.
14
3 CONCLUSÕES
Esta prática possibilitou a exploração dos conteúdos de sistemas de primeira e segunda
ordem, construção de gráficos e utilização do software MatLab, além de relembrar conceitos
aprendidos em matérias anteriores, como Análise e Projeto de Sistemas e Processamento Digital
de Sinais.