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Geometria Analítica II - Aula 10 294
IM-UFF K. Frensel - J. Delgado
Aula 11
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano, introduzimos,
anteriormente, as coordenadas polares. No espaço, existem dois sistemas de coordenadas que
nos fornecem uma maneira mais conveniente de descrever algumas superfícies e sólidos.
Seja P = (x, y, z) um ponto do espaço, onde x, y, z são suas coordenadas em relação a um
sistema de eixos ortogonais OXYZ.
Seja P \u2032 = (x, y, 0) a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano XY e sejam \u3c1 e \u3b8 as
coordenadas polares de (x, y).
Fig. 1: Ponto P representado pelas coordenadas cilíndricas (\u3c1, \u3b8, z)
Dizemos então que (\u3c1, \u3b8, z) são as coordenadas cilíndricas do ponto P.
Sabemos que
x = \u3c1 cos \u3b8
y = \u3c1 sen \u3b8
e
\u3c1 = ±
\u221a
x2 + y2
cos \u3b8 = ± x\u221a
x2 + y2
sen \u3b8 = ± y\u221a
x2 + y2
tg \u3b8 = y
x
Geometria Analítica II - Aula 11 296
Nas coordenadas cilíndricas, o cilindro circular de eixo\u2212OZ,
S : x2 + y2 = a2 ,
é dado por:
S : \u3c12 = a2 \u21d0\u21d2 S : \u3c1 = a ,
ou seja, S = {(a, \u3b8, z | \u3b8, z \u2208 R } .
A simplicidade da equação do cilindro, \u3c1 = a, justifica o nome \u201ccoordenadas cilíndricas\u201d.
Considere agora r = d(O,P), \u3d5 o ângulo que o vetor
\u2212\u2212\u2192
OP faz com o semi-eixo positivo OZ,
\u3d5 \u2208 [0, pi], e \u3b8 o ângulo que o vetor \u2212\u2212\u2192OP \u2032 faz como o semi-eixo positivo\u2212OX.
Fig. 2: Ponto P representado pelas coordenadas esféricas (\u3b8,\u3d5, r)
Dizemos que (r, \u3b8,\u3d5) são as coordenadas esféricas do ponto P.
Como r = d(O,P), temos:
z = r cos\u3d5 e \u3c1 = d(O,P \u2032) = r sen\u3d5 .
Logo,
x = \u3c1 cos \u3b8 = r sen\u3d5 cos \u3b8 e y = \u3c1 sen \u3b8 = r sen\u3d5 sen \u3b8 .
Ou seja, se (r, \u3b8,\u3d5) são as coordenadas esféricas do ponto P, então as suas coordenadas
cartesianas (x, y, z) são dadas por:
x = r sen\u3d5 cos \u3b8
y = r sen\u3d5 sen \u3b8
z = r cos\u3d5
Observação 1
\u2022 Se r < 0, (r, \u3b8,\u3d5) corresponde ao ponto (\u2212r, pi+\u3b8, pi\u2212\u3d5), que é o simétrico de (\u2212r, \u3b8,\u3d5) com
respeito à origem.
\u2022 Como \u3c1 = r sen\u3d5 e \u3d5 \u2208 [0, 2pi], \u3c1 e r têm sempre o mesmo sinal.
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297 Geometria Analítica II - Aula 11
Fig. 3: Ponto P de coordenadas (r, \u3b8,\u3d5), r < 0
Sendo r2 = x2 + y2 + z2 e x2 + y2 = r2 sen2\u3d5 = \u3c12, obtemos que:
r = ±
\u221a
x2 + y2 + z2 ,
sen\u3d5 = \u3c1
r
=
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
, cos\u3d5 = z
r
= ± z\u221a
x2 + y2 + z2
,
cos \u3b8 = x
\u3c1
= ± x\u221a
x2 + y2
, sen \u3b8 = ± y\u221a
x2 + y2
.
A esfera S : x2 + y2 + z2 = a2 de centro na origem e raio a é dada em coordenadas esféricas
da seguinte maneira:
Fig. 4: Esfera S : r = a
S : (r sen\u3d5 cos \u3b8)2 + (r sen\u3d5 sen \u3b8)2 + (r2 cos2\u3d5) = a2
\u21d0\u21d2 S : r2 sen2\u3d5+ r2 cos2\u3d5 = a2
\u21d0\u21d2 S : r2 = a2
\u21d0\u21d2 S : r = a
Ou seja,
S = {(a, \u3b8,\u3d5) | \u3b8 \u2208 R e \u3d5 \u2208 [0, pi] } .
Esta maneira simples, r = a, de representar
uma esfera centrada na origem é a razão para
o nome coordenadas esféricas.
Exemplo 1
Determine as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos abaixo dados em coordenadas
cartesianas.
(a) P = (1, 1, 1).
Solução.
Temos \u3c1 = ±\u221a2, cos \u3b8 = ± 1\u221a
2
= ±
\u221a
2
2
e sen \u3b8 = ± 1\u221a
2
= ±
\u221a
2
2
.
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Geometria Analítica II - Aula 11 298
Assim
P =
(\u221a
2 ,
pi
4
+ 2pik , 1
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
2 , pi+
pi
4
+ 2pik , 1
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto P em coordenadas cilíndricas.
Sendo r = ±\u221a3 e \u3c1 = ±\u221a2, temos sen\u3d5 = \u3c1
r
=
\u221a
2\u221a
3
, cos\u3d5 = z
r
= ± 1\u221a
3
, cos\u3b8 = x
\u3c1
= ± 1\u221a
2
e
sen \u3b8 = y
\u3c1
= ± 1\u221a
2
.
Logo,
P =
(\u221a
3,
pi
4
+ 2pik,\u3d50
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
3, pi+
pi
4
+ 2pik, pi\u2212\u3d50
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto P em coordenadas esféricas, onde cos\u3d50 =
1\u221a
3
e sen\u3d50 =
\u221a
2\u221a
3
, \u3d50 \u2208 (0, pi). \ufffd
(b) P = (0, 1, 2).
Solução.
Temos \u3c1 = ±1, cos \u3b8 = 0 e sen \u3b8 = ±1.
Logo,
P =
(
1,
pi
2
+ 2pik, 2
)
ou P =
(
\u22121,
3pi
2
+ 2kpi, 2
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto dado em coordenadas cilíndricas.
Por outro lado, sendo r = ±\u221a5 e \u3c1 = ±1, temos sen\u3d5 = \u3c1
r
=
1\u221a
5
, cos\u3d5 = z
r
= ± 2\u221a
5
,
cos \u3b8 = x
\u3c1
= 0 e sen \u3b8 = y
\u3c1
= ±1.
Então,
P =
(\u221a
5,
pi
2
+ 2pik,\u3d50
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
5,
3pi
2
+ 2pik, pi\u2212\u3d50
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto dado em coordenadas esféricas, onde cos\u3d50 =
2\u221a
5
e sen\u3d50 =
1\u221a
5
, \u3d50 \u2208 (0, pi). \ufffd
Exemplo 2
Determine as coordenadas cartesianas e esféricas dos pontos abaixo dados em coordenadas
cilíndricas.
(a) P = (1, 0, 2) .
Solução.
Como \u3c1 = 1, \u3b8 = 0 e z = 2, temos que x = \u3c1 cos \u3b8 = 1, y = \u3c1 sen \u3b8 = 0 e z = 2 são as
coordenadas cartesianas de P.
Assim, como r = ±\u221a5, \u3c1 = ±1, sen\u3d5 = \u3c1
r
=
1\u221a
5
, cos\u3d5 = z
r
= ± 2\u221a
5
, cos \u3b8 = x
\u3c1
= ±1 e
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299 Geometria Analítica II - Aula 11
sen \u3b8 = y
\u3c1
= 0, temos que:
P = (
\u221a
5, 2pik,\u3d50) ou P = (\u2212
\u221a
5, pi+ 2pik, pi\u2212\u3d50) , k \u2208 Z ,
é o ponto dado em coordenadas esféricas, onde cos\u3d50 =
2\u221a
5
e sen\u3d50 =
1\u221a
5
, \u3d50 \u2208 (0, pi). \ufffd
(b) P =
(
2,
pi
4
, 3
)
.
Solução.
Sendo \u3c1 = 2, \u3b8 = pi
4
e z = 3, temos que x = \u3c1 cos \u3b8 = 2 ×
\u221a
2
2
=
\u221a
2, y = \u3c1 sen \u3b8 =
\u221a
2 e z = 3
são as coordenadas cartesianas de P.
Assim, como r = ±\u221a2+ 2+ 9 = ±\u221a13 e \u3c1 = ±2, obtemos que:
sen\u3d5 = \u3c1
r
=
2\u221a
13
, cos\u3d5 = z
r
= ± 3\u221a
13
, cos \u3b8 = x
\u3c1
= ±
\u221a
2
2
e sen \u3b8 = y
\u3c1
= ±
\u221a
2
2
.
Ou seja,
P =
(\u221a
13,
pi
4
+ 2pik,\u3d50
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
13,
5pi
4
+ 2pik, pi\u2212\u3d50
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto dado em coordenadas esféricas, onde cos\u3d50 =
3\u221a
13
e sen\u3d50 =
2\u221a
13
, \u3d50 \u2208 (0, pi). \ufffd
Exemplo 3
Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas dos pontos abaixo dados
em coordenadas esféricas.
(a) P =
(\u221a
10,
pi
4
,
pi
3
)
.
Solução.
Sendo r =
\u221a
10, \u3b8 = pi
4
e \u3d5 = pi
3
, temos que x = r sen\u3d5 cos \u3b8 =
\u221a
10
\u221a
3
2
\u221a
2
2
=
\u221a
15
2
,
y = r sen\u3d5 sen \u3b8 =
\u221a
10
\u221a
3
2
\u221a
2
2
=
\u221a
15
2
e z = r cos\u3d5 =
\u221a
10
2
são as coordenadas cartesia-
nas de P.
Assim, como \u3c1 = ±
\u221a
x2 + y2 = ±
\u221a
30
4
= ±
\u221a
30
2
, obtemos que
P =
(\u221a
30
2
,
pi
4
+ 2pik ,
\u221a
10
2
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
30
2
, pi+
pi
4
+ 2pik ,
\u221a
10
2
)
, k \u2208 Z ,
é o ponto em coordenadas cilíndricas. \ufffd
(b) P =
(
2 ,
pi
6
,
pi
4
)
.
Solução.
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Como r = 2, \u3b8 = pi
6
e\u3d5 = pi
4
, temos que x = r sen\u3d5 cos \u3b8 = 2
\u221a
2
2
\u221a
3
2
=
\u221a
6
2
, y = r sen\u3d5 sen \u3b8 =
2
\u221a
2
2
1
2
=
\u221a
2
2
, z = r cos\u3d5 = 2
\u221a
2
2
=
\u221a
2 são as coordenadas cartesianas de P.
Logo, como \u3c1 = ±
\u221a
x2 + y2 = ±
\u221a
8
4
= ±
\u221a
2, obtemos que
P =
(\u221a
2 ,
pi
6
+ 2pik ,
\u221a
2
)
ou P =
(
\u2212
\u221a
2 ,
7pi
6
+ 2pik ,
\u221a
2
)
, k \u2208 Z,
é o ponto em coordenadas cilíndricas. \ufffd
Exemplo 4
Determine a equação em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas das superfícies
abaixo dadas em coordenadas cilíndricas.
(a) S : \u3c1 = 2a cos \u3b8, a > 0.
Solução.
Sendo \u3c1 = ±
\u221a
x2 + y2 e cos \u3b8 = ± x\u221a
x2 + y2
, temos que
±
\u221a
x2 + y2 = 2a
x
±
\u221a
x2 + y2
\u21d0\u21d2 x2 + y2 = 2ax\u21d0\u21d2 (x\u2212 a)2 + y2 = a2
é a equação cartesiana de S.
Portanto, S é um cilindro circular de eixo r = {(a, 0, 0) + t(0, 0, 1) | t \u2208 R } paralelo ao eixo\u2212OZ.
Fig. 5: Superfície S : \u3c1 = 2a
A equação de S em coordenadas esféricas é dada por:
S : (r sen\u3d5 cos \u3b8)2 + (r sen\u3d5 sen \u3b8)2 = 2ar sen\u3d5 cos \u3b8\u21d0\u21d2 S : r2 sen2\u3d5 = 2ar sen\u3d5 cos \u3b8\u21d0\u21d2 S : r sen\u3d5 = 2a cos \u3b8 . \ufffd
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301 Geometria Analítica II - Aula 11
(b) S : z = |\u3c1| .
Fig. 6: Superfície S : z = |\u3c1|
Solução.
Como |\u3c1| =
\u221a
x2 + y2, temos que
S : z =
\u221a
x2 + y2
é a equação cartesiana de S.
Logo S é a parte do cone circular
z2 = x2 + y2
situada no semi-espaço z \u2265 0.
A equação de S em coordenadas