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esféricas
é:
S : r cos\u3d5 =
\u221a
r2 sen2\u3d5 cos2 \u3b8+ r2 sen2\u3d5 sen2 \u3b8
\u21d0\u21d2 S : r cos\u3d5 = r sen\u3d5 , r \u2265 0
\u21d0\u21d2 S : sen\u3d5
cos\u3d5
= tg\u3d5 = 1 , r \u2265 0
\u21d0\u21d2 S : \u3d5 = pi
4
, r \u2265 0 . \ufffd
(c) S : z = \u3c1.
Solução.
Como \u3c1 = ±
\u221a
x2 + y2, temos que
S : z = ±
\u221a
x2 + y2 \u21d0\u21d2 S : z2 = x2 + y2 ,
é a equação cartesiana de S, que representa um cone circular de eixo\u2212OZ.
Fig. 7: Superfície S : z = \u3c1
Pelo feito no item (b), S : \u3d5 = pi
4
é a equação da superfície em coordenadas esféricas. \ufffd
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Geometria Analítica II - Aula 11 302
(d) S : z = \u3c12.
Solução.
Como \u3c12 = x2 + y2 ,
S : z = x2 + y2
é a equação cartesiana de S, que representa um parabolóide circular de eixo\u2212OZ.
Fig. 8: Superfície S : z = \u3c12
Assim,
S : r cos\u3d5 = r2 sen2\u3d5 \u21d0\u21d2 S : r = cos\u3d5
sen2\u3d5
= cotg\u3d5 cossec\u3d5
é a equação da superfície em coordenadas esféricas. \ufffd
(e) S : \u3c1 cos \u3b8+ \u3c1 sen \u3b8+ z = 1 .
Solução.
Como x = \u3c1 cos \u3b8, y = \u3c1 sen \u3b8, temos que:
S : x+ y+ z = 1
é um plano.
Fig. 9: Superfície S : \u3c1 cos\u3b8 + \u3c1 sen\u3b8 + z = 1
Então,
S : r sen\u3d5 cos \u3b8+ r sen\u3d5 sen \u3b8+ r cos\u3d5 = 1
é a equação de S em coordenadas esféricas. \ufffd
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303 Geometria Analítica II - Aula 11
(f) S : \u3c12 + z2 = a2, a > 0.
Solução.
Sendo \u3c12 = x2 + y2, temos que
S : x2 + y2 + z2 = a2
é a equação cartesiana de S, a esfera de centro na origem e raio a.
Como já vimos anteriormente, S : \u3c1 = a é a equação da esfera em coordenadas esféricas. \ufffd
(g) S : z = \u3c12 + 2\u3c1 cos \u3b8\u2212 2\u3c1 sen \u3b8+ 2 .
Fig. 10: Superfície S : z = \u3c12 + 2\u3c1 cos\u3b8 \u2212 2\u3c1 sen\u3b8 + 2
Solução.
Sendo \u3c1 cos \u3b8 = x , \u3c1 sen \u3b8 = y e
\u3c12 = x2 + y2, obtemos que:
S : z = x2 + y2 + 2x\u2212 2y+ 2
\u21d0\u21d2 S : z = (x+ 1)2 + (y\u2212 1)2
é a equação cartesiana de S, um
parabolóide circular de eixo
r = {(\u22121, 1, 0) + (0, 0, t) | t \u2208 R }
A equação de S em coordenadas
esféricas é dada por:
S : r cos\u3d5 = r2 sen2\u3d5+ 2r sen\u3d5(cos \u3b8\u2212 sen \u3b8) + 2 . \ufffd
Exemplo 5
Faça um esboço e dê uma parametrização em coordenadas cartesianas das superfícies dadas,
em coordenadas cilíndricas, pelas equações abaixo.
Fig. 11: Diretriz \u3b3 da superfície S
(a) S : \u3c1 = e\u3b8
Solução.
Como x = \u3c1 cos \u3b8 = e\u3b8 cos \u3b8 e y = \u3c1 sen \u3b8 = e\u3b8 sen \u3b8,
temos que:
S :
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8, z) = e\u3b8 cos \u3b8
y(\u3b8, z) = e\u3b8 sen \u3b8
z(\u3b8, z) = z
, \u3b8, z \u2208 R
é uma parametrização de S, um cilindro de geratrizes
paralelas ao vetor \u2212\u2192v = (0, 0, 1) que possui a espiral
\u3b3 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8) = e\u3b8 cos \u3b8
y(\u3b8) = e\u3b8 sen \u3b8
z(\u3b8) = 0
, \u3b8 \u2208 R
como uma de suas diretrizes.
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Geometria Analítica II - Aula 11 304
Fig. 12: Superfície S : \u3c1 = e\u3b8 \ufffd
(b) S : z = \u3b8.
Solução.
Sendo z = \u3b8, temos que
S :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8, \u3c1) = \u3c1 cos \u3b8
y(\u3b8, \u3c1) = \u3c1 sen \u3b8
z(\u3b8, \u3c1) = \u3b8
, \u3c1 \u2208 R , \u3b8 \u2208 R ,
é uma parametrização de S, helicóide gerado pelas retas paralelas ao plano XY que intersectam
o eixo\u2212OZ e a hélice
\u3b3 :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8) = cos \u3b8
y(\u3b8) = sen \u3b8
z(\u3b8) = \u3b8
, \u3b8 \u2208 R .
Fig. 13: Helicóide S : z = \u3b8 e hélice \u3b3 \ufffd
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305 Geometria Analítica II - Aula 11
Exemplo 6
Determine as equações cartesianas e paramétricas das superfícies abaixo dadas em coorde-
nadas esféricas e identifique-as.
(a) S : r = sen \u3b8 sen\u3d5 .
Solução.
Como r = ±
\u221a
x2 + y2 + z2, sen\u3d5 =
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
e sen \u3b8 = ± y\u221a
x2 + y2
, temos que:
S : ±
\u221a
x2 + y2 + z2 = ± y\u221a
x2 + y2
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
\u21d0\u21d2 S : x2 + y2 + z2 = y
\u21d0\u21d2 S : x2 + (y\u2212 1
2
)2 + z2 =
1
4
é a equação cartesiana da esfera de centro
(
0,
1
2
, 0
)
e raio igual a 1
2
, e
S :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8,\u3d5) = sen2\u3d5 sen \u3b8 cos \u3b8
y(\u3b8,\u3d5) = sen2\u3d5 sen \u3b8 sen \u3b8
z(\u3b8,\u3d5) = sen\u3d5 cos\u3d5 sen \u3b8
, \u3d5 \u2208 [0, pi] , \u3b8 \u2208 [0, 2pi)
é uma parametrização de S em coordenadas cartesianas.
Fig. 14: Esfera S : r = sen\u3b8 sen\u3d5 \ufffd
(b) S : r = sen\u3d5 .
Solução.
Sendo r =
\u221a
x2 + y2 + z2, pois r \u2265 0, e sen\u3d5 =
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
, obtemos que
S :
\u221a
x2 + y2 + z2 =
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
\u21d0\u21d2 S : x2 + y2 + z2 =\u221ax2 + y2
é a equação cartesiana da superfície S.
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Geometria Analítica II - Aula 11 306
Além disso, como
S :
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x(\u3b8, \u3c1) = sen2\u3d5 cos \u3b8
y(\u3b8, \u3c1) = sen2\u3d5 sen \u3b8
z(\u3b8, \u3c1) = sen\u3d5 cos\u3d5
, \u3d5 \u2208 [0, pi] , \u3b8 \u2208 R
é uma parametrização de S em coordenadas cartesianas, vemos que S é uma superfície de
revolução de eixo\u2212OZ, sendo a curva
\u3b3 = S \u2229
{
\u3b8 =
pi
2
}
:
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x(\u3d5) = 0
y(\u3d5) = sen2\u3d5
z(\u3d5) = sen\u3d5 cos\u3d5
, \u3d5 \u2208 [0, pi]
uma de suas geratrizes.
Mas,
y(\u3d5)2 + z(\u3d5)2 \u2212 y(\u3d5) = sen4\u3d5+ sen2\u3d5 cos2\u3d5\u2212 sen2\u3d5
= sen2\u3d5
(
sen2\u3d5+ cos2\u3d5
)
\u2212 sen2\u3d5 = 0 .
Ou seja, a curva \u3b3 é o círculo
\u3b3 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3y2 + z2 \u2212 y = 0x = 0 \u21d0\u21d2 \u3b3 :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
(
y\u2212
1
2
)2
+ z2 =
1
4
x = 0
de centro
(
0,
1
2
, 0
)
e raio igual a 1
2
no plano x = 0
Fig. 15: Superfície S : r = sen\u3d5 e sua geratriz \u3b3 \ufffd
Observação 2
Seja S uma superfície dada pela equação f(\u3c1, z) = 0 em coordenadas cilíndricas.
Como a equação independe da variável \u3b8, intersectando a superfície S com os semi-planos
\u3b8 =const. obtemos sempre a mesma curva. Assim, S é uma superfície de revolução obtida
girando a curva
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307 Geometria Analítica II - Aula 11
{
f(y, z) = 0
x = 0
, y \u2265 0
em torno do eixo\u2212OZ, pois \u3c1 =
\u221a
x2 + y2.
De modo análogo, se S é uma superfície dada pela equação f(r,\u3d5) = 0 em coordenadas esfé-
ricas, então S é uma superfície de revolução de eixo\u2212OZ, sendo a curva\uf8f1\uf8f2\uf8f3 f
(\u221a
y2 + z2,arcsen y\u221a
y2 + z2
)
= 0
x = 0
, y \u2265 0
uma de suas geratrizes, pois r =
\u221a
x2 + y2 + z2 e sen\u3d5 =
\u221a
x2 + y2\u221a
x2 + y2 + z2
.
Para fixar as idéias, reveja os exemplos 4, 5 e 6.
Exemplo 7
Use sistemas de inequações:\uf8f1\uf8f2\uf8f3
z1(x, y) \u2264 z \u2264 z2(x, y)
y1(x) \u2264 y \u2264 y2(x)
x1 \u2264 x \u2264 x2
;
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
z1(\u3c1, \u3b8) \u2264 z \u2264 z2(\u3c1, \u3b8)
\u3c11(\u3b8) \u2264 \u3c1 \u2264 \u3c12(\u3b8)
\u3b81 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3b82
;
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
r1(\u3b8,\u3d5) \u2264 r \u2264 r2(\u3b8,\u3d5)
\u3d51(\u3b8) \u2264 \u3d5 \u2264 \u3d52(\u3b8)
\u3b81 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3b82
para descrever, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, respectivamente, os sóli-
dos delimitados pelas superfícies abaixo.
(a) S1 : z = x2 + y2, S2 : x2 + y2 = 1 e S3 : z = 0.
Solução.
A superfície S1 é um parabolóide circular de eixo\u2212OZ e S2 é um cilindro circular de eixo\u2212OZ,
cuja interseção {
z = x2 + y2
x2 + y2 = 1
\u21d0\u21d2 { x2 + y2 = 1
z = 1
é o círculo de centro (0, 0, 1) e raio igual a 1, contido no plano z = 1.
Assim, o esboço do sólido R delimitado pelas superfícies S1, S2 e S3 é:
Fig. 16: Região R delimitada pelas superfícies S1, S2 e S3
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Geometria Analítica II - Aula 11 308
Sendo o disco D de centro na origem e raio igual a 1 a projeção do sólido sobre o plano XY,
Fig. 17: Disco D: projeção da região R sobre o plano XY
temos que
D :
\uf8f1\uf8f2\uf8f3\u2212
\u221a
1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2
\u22121 \u2264 x \u2264 1
ou
D :
\uf8f1\uf8f2\uf8f30 \u2264 \u3c1 \u2264 10 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi .
Logo, o sólido R é dado por:
R :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0 \u2264 z \u2264 x2 + y2
\u2212
\u221a
1\u2212 x2 \u2264 y \u2264 \u221a1\u2212 x2
\u22121 \u2264 x \u2264 1
,
em coordenadas cartesianas;
R :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0 \u2264 z \u2264 \u3c12
0 \u2264 \u3c1 \u2264 1
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi
,
em coordenadas cilíndricas;
R :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
cos\u3d5
sen2\u3d5
\u2264 r \u2264 1
sen\u3d5
pi
4
\u2264 \u3d5 \u2264 pi
2
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi
,
em coordenadas esféricas, pois S1 : z = \u3c12, S2 : \u3c1 = 1 e S3 : z = 0 são equações das superfícies
em coordenadas cilíndricas, e
S1 : r cos\u3d5 = r2 sen2\u3d5\u21d0\u21d2 S1 : r = cos\u3d5sen2\u3d5 ;
S2 : r
2 sen2\u3d5 = 1\u21d0\u21d2 S2 : r = 1sen\u3d5 ;
S3 : r cos\u3d5 = 0\u21d0\u21d2 S3 : \u3d5 = pi
2
;
são as equações das superfícies em coordenadas esféricas. \ufffd
(b) S1 : z = x2 + y2 e S2 : z = 1.
Solução.
A superfície S1 é um parabolóide circular de eixo\u2212OZ, cuja interseção com o plano z = 1 é o
círculo
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309 Geometria Analítica II - Aula 11
{
x2 + y2 = 1
z = 1
.
O esboço do sólido R delimitado por S1 e S2 é dado por:
Fig. 18: Região R delimitada pelas superfícies