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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 5 Temas abordados : Regras de derivac¸a˜o; Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas Sec¸o˜es do livro: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 1) Suponha que um reservato´rio, inicialmente com 50 litros de a´gua pura, comece a ser abastecido com a´gua salgada a` raza˜o de 5 litros/min e com uma concentrac¸a˜o de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de a´gua V (t) e a quantidade de sal Q(t) no reservato´rio sa˜o func¸o˜es do tempo t ≥ 0, e portanto a concentrac¸a˜o de sal c(t) no reservato´rio e´ tambe´m uma func¸a˜o do tempo. (a) Obtenha as expresso˜es das func¸o˜es V (t), Q(t) e c(t). (b) Calcule o limite c′(t) = lim h→0 c(t+ h)− c(t) h , simplificando antes o quociente. (c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t0 = 10 ou t1 = 30 a concen- trac¸a˜o esta´ variando mais rapidamente. 2) Um gato esta´ no ponto G = (1, 0), descobre um rato situado na origem O = (0, 0) e parte em sua perseguic¸a˜o. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo a direc¸a˜o positiva do eixo Oy, com velocidade igual a` metade da do gato. A trajeto´ria percorrida pelo gato para alcanc¸ar o rato e´ conhecida como curva de perseguic¸a˜o e tem a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posic¸o˜es Q e P ilustradas na figura abaixo, enta˜o a reta determinada pelos pontos P e Q e´ tangente a` curva no ponto P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguic¸a˜o e´ o gra´fico da func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = √x (x 3 − 1 ) + 2 3 . (a) Calcule, pela definic¸a˜o, a derivada de g(x) = √ x em um ponto a ∈ (0, 1). Para isso, vale lembrar a igualdade x− a = (√x−√a) (√x+√a). (b) Use o item anterior e as regras de derivac¸a˜o para calcular a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)). (c) Determine a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que se encontra o rato no instante em que o gato estiver na posic¸a˜o P = (1/4, f(1/4)). (d) Calcule o espac¸o total percorrido pelo rato antes de ser apanhado pelo gato. Q P GO Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 1 de 3 3) Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fa´brica possa ser modelada em func¸a˜o do nu´mero x de empregados, por uma func¸a˜o deriva´vel p(x), em que p(x) e´ medida em milhares e x em centenas. A produtividade me´dia por empregado e´ enta˜o dada pela func¸a˜o M(x) = p(x)/x, e pode-se mostrar que o nu´mero x0 de empregados que maximiza a func¸a˜o M(x) e´ aquele para o qual M ′(x0) = 0. (a) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule M ′(x) em termos da derivada p′(x). (b) Use o item anterior para justificar a afirmac¸a˜o de que M ′(x0) = 0 se, e somente se, p′(x0) = M(x0). (c) Calcule p′(x) supondo que p(x) = 2x2 x2 + 1 . (d) Determine o nu´mero de empregados que maximiza a produtividade me´dia da fa´brica. 4) Suponha que o volume de ar (em litros) contido nos pulmo˜es de uma pessoa seja descrito, em func¸a˜o do tempo (em segundos), por meio da func¸a˜o V (t) = (3/2)(1− cos(t)). Nesse caso, a derivada V ′(t) representa o fluxo de ar nos pulmo˜es. A figura abaixo ilustra os gra´ficos de V (t) e V ′(t) no intervalo [0, 4 pi], correspondente a dois ciclos respirato´rios completos. (a) Calcule o valor ma´ximo do volume V (t) no intervalo [0, 4 pi]. (b) Calcule a derivada V ′(t). (c) Calcule o valor ma´ximo do fluxo V ′(t) no intervalo [0, 4 pi]. (d) Determine a unidade em que o fluxo de ar V ′(t) e´ expresso, justificando a sua resposta. 5) O objetivo desse exerc´ıcio e´ mostrar que a func¸a˜o s(t) = s0 cos(2t)+(v0/2) sen(2t) satisfaz a equac¸a˜o (∗) s′′(t) = −4s(t) que e´ a Segunda Lei de Newton para o sistema massa-mola, quando a constante de Hooke e´ o qua´druplo da massa. Para isso, primeiro vamos calcular as derivadas das func¸o˜es cosseno e seno e com o aˆngulo duplicado, usando que cos(2t) = cos2(t)− sen2(t), sen(2t) = 2 sen(t) cos(t) e as regras da derivada da soma e do produto. (a) Mostre que ( sen(2t))′ = 2 cos(2t). (b) Mostre que (cos(2t))′ = −2 sen(2t). (c) Verifique que s(t) satisfaz s(0) = s0 e que v(0) = v0. (d) Verifique que s(t) satisfaz a equac¸a˜o (∗). Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 2 de 3 Gabarito 1. (a) V (t) = 50 + 5t, Q(t) = 5t, c(t) = t/(10 + t) (b) c′(t) = 10/(10 + t)2 (c) no instante t0 = 10 2. (a) g′(a) = 1/(2 √ a) (b) ya(x) = a−1 2 √ a (x− a) + f(a) (c) y0 = 3 16 + 5 24 (d) 2/3. 3. (a) M ′(x) = xp′(x)− p(x) x2 (b) p′(x) = 4x (x2 + 1)2 (c) x0 = 1 4. (a) 3 (b) V ′(t) = (3/2)sen(t) (c) 3/2 (d) litros/segundo Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 3 de 3
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