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Exercícios de Aplicação_05

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 5
Temas abordados : Regras de derivac¸a˜o; Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas
Sec¸o˜es do livro: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
1) Suponha que um reservato´rio, inicialmente com 50 litros de a´gua pura, comece a ser
abastecido com a´gua salgada a` raza˜o de 5 litros/min e com uma concentrac¸a˜o de 1
grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de a´gua V (t) e a quantidade de sal Q(t)
no reservato´rio sa˜o func¸o˜es do tempo t ≥ 0, e portanto a concentrac¸a˜o de sal c(t) no
reservato´rio e´ tambe´m uma func¸a˜o do tempo.
(a) Obtenha as expresso˜es das func¸o˜es V (t), Q(t) e c(t).
(b) Calcule o limite c′(t) = lim
h→0
c(t+ h)− c(t)
h
, simplificando antes o quociente.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t0 = 10 ou t1 = 30 a concen-
trac¸a˜o esta´ variando mais rapidamente.
2) Um gato esta´ no ponto G = (1, 0), descobre um rato situado na origem O = (0, 0) e
parte em sua perseguic¸a˜o. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo
a direc¸a˜o positiva do eixo Oy, com velocidade igual a` metade da do gato. A trajeto´ria
percorrida pelo gato para alcanc¸ar o rato e´ conhecida como curva de perseguic¸a˜o e tem
a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posic¸o˜es Q e P ilustradas na
figura abaixo, enta˜o a reta determinada pelos pontos P e Q e´ tangente a` curva no ponto
P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguic¸a˜o e´ o gra´fico da
func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = √x
(x
3
− 1
)
+
2
3
.
(a) Calcule, pela definic¸a˜o, a derivada de g(x) =
√
x
em um ponto a ∈ (0, 1). Para isso, vale lembrar a
igualdade x− a = (√x−√a) (√x+√a).
(b) Use o item anterior e as regras de derivac¸a˜o para
calcular a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f
no ponto (a, f(a)).
(c) Determine a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que se encontra
o rato no instante em que o gato estiver na posic¸a˜o
P = (1/4, f(1/4)).
(d) Calcule o espac¸o total percorrido pelo rato antes de
ser apanhado pelo gato.
Q
P
GO
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 1 de 3
3) Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fa´brica possa ser modelada em
func¸a˜o do nu´mero x de empregados, por uma func¸a˜o deriva´vel p(x), em que p(x) e´ medida
em milhares e x em centenas. A produtividade me´dia por empregado e´ enta˜o dada pela
func¸a˜o M(x) = p(x)/x, e pode-se mostrar que o nu´mero x0 de empregados que maximiza
a func¸a˜o M(x) e´ aquele para o qual M ′(x0) = 0.
(a) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule M ′(x) em termos da derivada p′(x).
(b) Use o item anterior para justificar a afirmac¸a˜o de que M ′(x0) = 0 se, e somente se,
p′(x0) = M(x0).
(c) Calcule p′(x) supondo que p(x) =
2x2
x2 + 1
.
(d) Determine o nu´mero de empregados que maximiza a produtividade me´dia da fa´brica.
4) Suponha que o volume de ar (em litros) contido nos pulmo˜es de uma pessoa seja descrito,
em func¸a˜o do tempo (em segundos), por meio da func¸a˜o V (t) = (3/2)(1− cos(t)). Nesse
caso, a derivada V ′(t) representa o fluxo de ar nos pulmo˜es. A figura abaixo ilustra os
gra´ficos de V (t) e V ′(t) no intervalo [0, 4 pi], correspondente a dois ciclos respirato´rios
completos.
(a) Calcule o valor ma´ximo do volume V (t) no intervalo
[0, 4 pi].
(b) Calcule a derivada V ′(t).
(c) Calcule o valor ma´ximo do fluxo V ′(t) no intervalo
[0, 4 pi].
(d) Determine a unidade em que o fluxo de ar V ′(t) e´
expresso, justificando a sua resposta.
5) O objetivo desse exerc´ıcio e´ mostrar que a func¸a˜o s(t) = s0 cos(2t)+(v0/2) sen(2t) satisfaz
a equac¸a˜o
(∗) s′′(t) = −4s(t)
que e´ a Segunda Lei de Newton para o sistema massa-mola, quando a constante de
Hooke e´ o qua´druplo da massa. Para isso, primeiro vamos calcular as derivadas das
func¸o˜es cosseno e seno e com o aˆngulo duplicado, usando que
cos(2t) = cos2(t)− sen2(t), sen(2t) = 2 sen(t) cos(t)
e as regras da derivada da soma e do produto.
(a) Mostre que ( sen(2t))′ = 2 cos(2t).
(b) Mostre que (cos(2t))′ = −2 sen(2t).
(c) Verifique que s(t) satisfaz s(0) = s0 e que
v(0) = v0.
(d) Verifique que s(t) satisfaz a equac¸a˜o (∗).
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) V (t) = 50 + 5t, Q(t) = 5t, c(t) = t/(10 + t)
(b) c′(t) = 10/(10 + t)2
(c) no instante t0 = 10
2. (a) g′(a) = 1/(2
√
a)
(b) ya(x) =
a−1
2
√
a
(x− a) + f(a)
(c) y0 =
3
16
+ 5
24
(d) 2/3.
3. (a) M ′(x) =
xp′(x)− p(x)
x2
(b) p′(x) =
4x
(x2 + 1)2
(c) x0 = 1
4. (a) 3
(b) V ′(t) = (3/2)sen(t)
(c) 3/2
(d) litros/segundo
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 5 - Pa´gina 3 de 3

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