prvsub_gab_2s_2005
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DisciplinaOndas Eletromagnéticas127 materiais771 seguidores
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SEL310;SEL612-Ondas eletromagnéticas. Gabarito da Prova Substitutiva.
dezembro de 2005
Atenção: O gabarito apresentado está baseado na versão 1 da prova. Para as outras versões
são apresentados apenas os resultados numéricos.
Questão 1
Uma lâmina dielétrica de espessura d = 0, 6 cm e constante dielétrica relativa 12, 9 está imersa
em ar. Uma onda plana de freqüência 5 GHz incide normalmente (ângulo de incidência 00) a
partir do ar sobre a lâmina. Determine a fração de potência incidente que é refletida pela interface
ar-dielétrico.
Solução
Prova P1
Para d = 0, 6 cm; \u3b5r = 12, 9; f = 5 GHz. Pelo método da linha de transmissão equivalente,
o problema se reduz à associação em cascata de três linhas de transmissão: uma linha infinita
(c1) de dielétrico \u3b5r1 = 1, 0 (ar); uma linha de comprimento d = 0, 6 cm e \u3b5r2 = 12, 9 (c2) e
uma linha infinita (c3) de dielétrico \u3b5r3 = 1, 0 (ar). A carga da linha c2 é a impedância vista
na entrada da linha c3 (Ze3). A carga da linha c1 é a impedância vista na entrada da linha
c2 (Ze2). O coeficiente de reflexão procurado é \u393 = (Ze2 \u2212 Z01)/(Ze2 + Z01), na qual Z01 é a
impedância característica da linha c1. Como a incidência é normal, a impedância característica
das linhas c1 e c3 é Z03 = Z01 = \u3b70 =
p
\u3bc0/\u3b50 = 377 \u2126. A impedância característica das
linha c2 é Z02 = \u3b70/
\u221a
\u3b5r2 = 377/
\u221a
12, 9 = 105 \u2126. A impedância vista na entrada da linha c2,
terminada em Z03 = 377 \u2126 é Ze2 = Z02. [Ze3 + jZ02tg (\u3b22d)] / [Z02 + jZe3tg (\u3b22d)]. Mas, \u3b22d =
(2\u3c0/\u3bb) d, na qual \u3bb = \u3bb0/
\u221a
\u3b5r2 = c0/f
\u221a
\u3b5r2 é o comprimento de onda na linha de dielétrico
\u3b5r2 = 12, 9. assim, \u3b22d = 2
\u221a
\u3b5r2\u3c0fd/c0. Substituindo os valores, \u3b22d = 2, 26 rad. Com estes valores,
Ze2 = 105 [377 + j105tg (2, 26)] / [105 + j377tg (2, 26)] = 46, 4 + j75, 4 \u2126 ou Ze2 = 88, 56 58, 40.
O coeficiente de reflexão é \u393 = (46, 4 + j75, 4\u2212 377) / (46, 4 + j75, 4 + 377) = \u22120, 73 + j0, 31 ou
\u393 = 0, 796 1570. A fração de reflexão de potência é |\u393|2 = 0, 792 = 0, 62 ou 62%.
Prova P2
Para d = 0, 6 cm; \u3b5r = 12, 9; f = 10 GHz. Substituindo os valores, \u3b22d = 4, 51 rad. Com estes
valores, Ze2 = 30, 4\u2212j19, 5 \u2126 ou Ze2 = 36, 16 \u221232, 70. O coeficiente de reflexão é \u393 = \u22120, 85\u2212j0, 09
ou \u393 = 0, 856 \u2212 174, 10. A fração de reflexão de potência é |\u393|2 = 0, 852 = 0, 73 ou 73%.
Prova P3
Para d = 0, 9 cm; \u3b5r = 12, 9; f = 5 GHz. Substituindo os valores, \u3b22d = 3, 39 rad. Com
estes valores, Ze2 = 219, 3 \u2212 j173, 1 \u2126 ou Ze2 = 279, 46 \u2212 38, 30. O coeficiente de reflexão é
\u393 = \u22120, 16\u2212 j0, 33 ou \u393 = 0, 386 \u2212116, 10. A fração de reflexão de potência é |\u393|2 = 0, 382 = 0, 144
ou 14, 4%.
Prova P4
Para d = 0, 2 cm; \u3b5r = 12, 9; f = 5 GHz. Substituindo os valores, \u3b22d = 0, 75 rad. Com
estes valores, Ze2 = 57, 5 \u2212 j95, 1 \u2126 ou Ze2 = 111, 16 \u2212 58, 80. O coeficiente de reflexão é \u393 =
\u22120, 66\u2212 j0, 36 ou \u393 = 0, 756 \u2212 151, 10. A fração de reflexão de potência é |\u393|2 = 0, 752 = 0, 56 ou
56%.
1
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva
Questão 2
Uma antena gera uma onda eletromagnética plana que se propaga para dentro do solo, composto
por terra úmida. A constante dielétrica relativa complexa da terra úmida na freqüência de operação
f = 100 MHz é e\u3b5r = \u3b5r \u2212 j\u3c3/ (\u3b50\u3c9) = 10 \u2212 j5. Sabendo que o campo elétrico na superfície do
solo é E = 200 V/m, determine, a uma profundidade c = 5 metros: (a) O fasor campo elétrico (no
formato A exp (j\u3c6)) e (b) O fasor campo magnético (no formato A exp (j\u3c6)).
Solução
Prova P1 e Prova P3
Para f = 100 MHz; e\u3b5r = 10 \u2212 j5; E = 200 V/m; c = 5 metros. O fasor campo elétrico é
Ef = E exp (\u2212jkz), o fasor campo magnético éHf = (E/Z) exp (\u2212jkz), nas quais Z é a impedância
intrínseca do meio e k = \u3b2\u2212 j\u3b1, pois a terra úmida é dissipativa. A impedância intrínseca do meio
é Z = 377/
\u221ae\u3b5r = 377/\u221a10\u2212 j5 = 109, 7 + j25, 9 \u2126, ou Z = 112, 86 0.232 rad. A constante de
propagação é k = (2\u3c0f/c)
\u221ae\u3b5r = ¡2\u3c0 × 100× 106/3× 108¢ /\u221a10\u2212 j5 = 6, 82\u2212 j1, 61 ou \u3b1 = 1, 61
m\u22121 e \u3b2 = 6, 82 m\u22121. Para c, kc = (6, 82\u2212 j1, 61) × 5 = 34, 08 \u2212 j8, 05. Portanto, Ef (z = 5
m) = 200 exp (\u22128, 05) exp (\u2212j34, 08) e Ef (z = 5 m) = 64 × 10\u22123 6 \u2212 152, 60 V/m. O fasor campo
magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)/Z = [200 exp (\u22128, 05) exp (\u2212j34, 08)] / (109, 7 + j25, 9).
Portanto, Hf (z = 5 m) = 5, 69× 10\u22124 6 \u2212 1660 A/m.
Prova P2 e Prova P4
Para f = 100 MHz; e\u3b5r = 10 \u2212 j0, 5; E = 30 V/m; c = 5 metros. A impedância intrínseca do
meio é Z = 377/
\u221ae\u3b5r = 377/\u221a10\u2212 j5 = 109, 7 + j25, 9 \u2126, ou Z = 112, 86 0.232 rad. A constante
de propagação é k = (2\u3c0f/c)
\u221ae\u3b5r = ¡2\u3c0 × 100× 106/3× 108¢ /\u221a10\u2212 j0, 5 = 6, 63 \u2212 j0, 17 ou
\u3b1 = 0, 17 m\u22121 e \u3b2 = 6, 63 m\u22121. Para c, kc = (6, 63\u2212 j0, 17) × 5 = 33, 13 \u2212 j0, 83. Portanto,
Ef (z = 5 m) = 30 exp (\u22120, 83) exp (\u2212j33, 13) e Ef (z = 5 m) = 13, 16 \u2212 98, 20 V/m. O fasor campo
magnético é Hf (z = 5 m) = Ef (z = 5 m)/Z = [30 exp (\u22120, 83) exp (\u2212j33, 13)] / (109, 7 + j25, 9).
Portanto, Hf (z = 5 m) = 0, 116 \u2212 99, 60 A/m.
Questão 3
Uma onda eletromagnética se propaga em um guia metálico de seção retangular preenchido com
ar e com dimensões a = 5 cm e b = 2 cm. A freqüência de operação é f = 4, 8 GHz e o modo
de propagação é o fundamental (TE10). Na extremidade do guia há uma placa condutora com
impedância ZL = 500\u2212 j400 \u2126. Determine o coeficiente de reflexão (módulo e fase) na freqüência
de operação.
Solução
Prova P1 e P3
Para a = 5 cm; b = 2 cm; f = 4, 8 GHz e ZL = 500 \u2212 j400 \u2126. A freqüência de corte no
guia é fcTE = c/2a = 3 × 1010/(2 × 5) = 3, 0 × 109 Hz. O comprimento da onda guiada é
\u3bb = c/f = 3 × 1010/4, 8 × 109 = 6, 25 cm. A impedância de onda do modo TE10 é ZTE =
\u3b70/
q
1\u2212 (fcTE/f)2 = 377/
q
1\u2212 (3, 0/4, 8)2 = 483 \u2126. Utilizando a carta de Smith, alocar a
impedância de carga normalizada zL = ZL/483 = (500\u2212 j400) /483 = 1, 04\u2212 j0, 83. Em seguida,
determinar o módulo e o ângulo. Algebricamente, \u393L = (500\u2212 j400\u2212 483) / (500\u2212 j400 + 483) =
0, 16\u2212 j0, 34 ou \u393L = 0, 386 \u2212 65, 40.
2
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva
Prova P2 e P4
Para a = 5 cm; b = 2 cm; f = 5, 8 GHz e ZL = 600 \u2212 j750 \u2126. A freqüência de corte no guia é
fcTE = c/2a = 3 × 1010/(2 × 5) = 3, 0 × 109 Hz. O comprimento da onda guiada é \u3bb = c/f =
3×1010/5, 8×109 = 5, 17 cm. A impedância de onda do modo TE10 é ZTE = \u3b70/
q
1\u2212 (fcTE/f)2 =
377/
q
1\u2212 (3, 0/5, 8)2 = 440, 5 \u2126. Utilizando a carta de Smith, alocar a impedância de carga
normalizada zL = ZL/440, 5 = (600\u2212 j750) /440, 5 = 1, 14 \u2212 j0, 91. Em seguida, determinar o
módulo e o ângulo. Algebricamente, \u393L = (600\u2212 j750\u2212 440, 5) / (600\u2212 j750 + 440, 5) = 0, 44 \u2212
j0, 40 ou \u393L = 0, 606 \u2212 42, 20.
3
SEL310 e SEL612 GABARITO Prova Substituitva