Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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Figura 3.11: As componentes de um vetor
no espac¸o
x y
z
\ud443 = (\ud465, \ud466, \ud467)
\u2212\u2192
\ud442\ud443
\ud442
\ud466\ud465
\ud467
Figura 3.12: As coordenadas de \ud443 sa\u2dco
iguais as componentes de
\u2212\u2192
\ud442\ud443
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
180 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
\ud444
\ud443
\ud442
\ud449
Figura 3.13: \ud449 =
\u2212\u2192
\ud443\ud444=
\u2212\u2192
\ud442\ud444 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud443
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 181
3.2 Produtos de Vetores
3.2.1 Norma e Produto Escalar
Ja´ vimos que o comprimento de um vetor \ud449 e´ definido como sendo o comprimento de qualquer
um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor \ud449 tambe´m e´ chamado
de norma de \ud449 e e´ denotado(a) por \u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223. Segue do Teorema de Pita´goras que a norma de um vetor
pode ser calculada usando as suas componentes, por
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 =
\u221a
\ud46321 + \ud463
2
2 ,
no caso em que \ud449 = (\ud4631, \ud4632) e´ um vetor no plano, e por
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 =
\u221a
\ud46321 + \ud463
2
2 + \ud463
2
3 ,
no caso em que \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e´ um vetor no espac¸o (verifique usando as Figuras 3.14 e 3.15).
Um vetor de norma igual a 1 e´ chamado vetor unita´rio.
A dista\u2c6ncia entre dois pontos \ud443 = (\ud4651, \ud4661, \ud4671) e \ud444 = (\ud4652, \ud4662, \ud4672) e´ igual a` norma do vetor
\u2212\u2192
\ud443\ud444
(Figura 3.13 na pa´gina 180). Como
\u2212\u2192
\ud443\ud444=
\u2212\u2192
\ud442\ud444 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud443= (\ud4652 \u2212 \ud4651, \ud4662 \u2212 \ud4661, \ud4672 \u2212 \ud4671), enta\u2dco a dista\u2c6ncia
de \ud443 a \ud444 e´ dada por
dist(\ud443,\ud444) = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud443\ud444 \u2223\u2223 =
\u221a
(\ud4652 \u2212 \ud4651)2 + (\ud4662 \u2212 \ud4661)2 + (\ud4672 \u2212 \ud4671)2.
Analogamente, a dista\u2c6ncia entre dois pontos \ud443 = (\ud4651, \ud4661) e \ud444 = (\ud4652, \ud4662) no plano e´ igual a`
norma do vetor
\u2212\u2192
\ud443\ud444, que e´ dada por
dist(\ud443,\ud444) = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud443\ud444 \u2223\u2223 =
\u221a
(\ud4652 \u2212 \ud4651)2 + (\ud4662 \u2212 \ud4661)2.
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182 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
\u2223\u2223\ud449 \u2223
\u2223
\ud449 = (\ud4631, \ud4632)
\u2223\ud4632\u2223
\u2223\ud4631\u2223
Figura 3.14: A norma de um vetor \ud449 no
plano
x y
z
\ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633)
\u2223\ud4632 \u2223
\u2223\ud4631\u2223
\u2223\ud4633\u2223
Figura 3.15: A norma de um vetor \ud449 no
espac¸o
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 183
Exemplo 3.6. A norma do vetor \ud449 = (1,\u22122, 3) e´
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 =
\u221a
12 + (\u22122)2 + 32 =
\u221a
14.
A dista\u2c6ncia entre os pontos \ud443 = (2,\u22123, 1) e \ud444 = (\u22121, 4, 5) e´
dist(\ud443,\ud444) = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud443\ud444 \u2223\u2223 = \u2223\u2223(\u22121\u2212 2, 4\u2212 (\u22123), 5\u2212 1)\u2223\u2223 = \u2223\u2223(\u22123, 7, 4)\u2223\u2223 =
\u221a
(\u22123)2 + 72 + 42 =
\u221a
74.
Se \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud6fc e´ um escalar, enta\u2dco da definic¸a\u2dco da multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar e
da norma de um vetor segue-se que
\u2223\u2223\ud6fc\ud449 \u2223\u2223 = \u2223\u2223(\ud6fc\ud4631, \ud6fc\ud4632, \ud6fc\ud4633)\u2223\u2223 =
\u221a
(\ud6fc\ud4631)2 + (\ud6fc\ud4632)2 + (\ud6fc\ud4633)2 =
\u221a
\ud6fc2(\ud46321 + \ud463
2
2 + \ud463
2
3),
ou seja,
\u2223\u2223\ud6fc\ud449 \u2223\u2223 = \u2223\ud6fc\u2223 \u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223. (3.5)
Dado um vetor \ud449 na\u2dco nulo, o vetor
\ud448 =
(
1
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223
)
\ud449.
e´ um vetor unita´rio na direc¸a\u2dco de \ud449 , pois por (3.5), temos que
\u2223\u2223\ud448 \u2223\u2223 =
\u2223\u2223\u2223\u2223 1\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 = 1.
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184 Vetores no Plano e no Espac¸o
Exemplo 3.7. Um vetor unita´rio na direc¸a\u2dco do vetor \ud449 = (1,\u22122, 3) e´ o vetor
\ud448 =
(
1
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223
)
\ud449 =
(
1\u221a
14
)
(1,\u22122, 3) = ( 1\u221a
14
,
\u22122\u221a
14
,
3\u221a
14
).
O a\u2c6ngulo entre dois vetores na\u2dco nulos, \ud449 e \ud44a , e´ definido pelo a\u2c6ngulo \ud703 determinado por \ud449 e \ud44a
que satisfaz 0 \u2264 \ud703 \u2264 \ud70b, quando eles esta\u2dco representados com a mesma origem (Figura 3.16).
Quando o a\u2c6ngulo \ud703 entre dois vetores \ud449 e \ud44a e´ reto (\ud703 = 90o), ou um deles e´ o vetor nulo, dizemos
que os vetores \ud449 e \ud44a sa\u2dco ortogonais ou perpendiculares entre si.
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um escalar. Por isso ele e´
chamado produto escalar. Este produto tem aplicac¸a\u2dco, por exemplo, em F\u131´sica: o trabalho realizado
por uma forc¸a e´ o produto escalar do vetor forc¸a pelo vetor deslocamento, quando a forc¸a aplicada e´
constante.
Definic¸a\u2dco 3.1. O produto escalar ou interno de dois vetores \ud449 e \ud44a e´ definido por
\ud449 \u22c5\ud44a =
{
0, se \ud449 ou \ud44a e´ o vetor nulo,
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 \u2223\u2223\ud44a \u2223\u2223 cos \ud703, caso contra´rio,
em que \ud703 e´ o a\u2c6ngulo entre eles.
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3.2 Produtos de Vetores 185
Quando os vetores sa\u2dco dados em termos das suas componentes na\u2dco sabemos diretamente o
a\u2c6ngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que na\u2dco necessite
do a\u2c6ngulo entre os vetores.
Se \ud449 e \ud44a sa\u2dco dois vetores na\u2dco nulos e \ud703 e´ o a\u2c6ngulo entre eles, enta\u2dco pela lei dos cossenos,
\u2223\u2223\ud449 \u2212\ud44a \u2223\u22232 = \u2223\u2223\ud449 \u2223\u22232 + \u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232 \u2212 2\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 \u2223\u2223\ud44a \u2223\u2223 cos \ud703.
Assim,
\ud449 \u22c5\ud44a = \u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 \u2223\u2223\ud44a \u2223\u2223 cos \ud703 = 1
2
(\u2223\u2223\ud449 \u2223\u22232 + \u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232 \u2212 \u2223\u2223\ud449 \u2212\ud44a \u2223\u22232) . (3.6)
Ja´ temos enta\u2dco uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na\u2dco depende diretamente do a\u2c6ngulo
entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressa\u2dco mais sim-
ples para o ca´lculo do produto interno.
Por exemplo, se \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642, \ud4643) sa\u2dco vetores no espac¸o, enta\u2dco substituindo-
se \u2223\u2223\ud449 \u2223\u22232 = \ud46321+\ud46322+\ud46323 , \u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232 = \ud46421+\ud46422+\ud46423 e \u2223\u2223\ud449 \u2212\ud44a \u2223\u22232 = (\ud4631\u2212\ud4641)2+(\ud4632\u2212\ud4642)2+(\ud4633\u2212\ud4643)2
em (3.6) os termos \ud4632\ud456 e \ud4642\ud456 sa\u2dco cancelados e obtemos
\ud449 \u22c5\ud44a = \ud4631\ud4641 + \ud4632\ud4642 + \ud4633\ud4643.
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186 Vetores no Plano e no Espac¸o
\ud44a
\ud449
\ud703 \ud44a
\ud449
\ud703
Figura 3.16: \u2c6Angulo entre dois vetores, agudo (a` esquerda) e obtuso (a` direita)
\ud44a
\ud449
\ud449 \u2212\ud44a
\ud703 \ud44a
\ud449
\ud703
\ud449 \u2212\ud44a
Figura 3.17: Tria\u2c6ngulo formado por representantes de \ud449 , \ud44a e \ud449 \u2212\ud44a . `A esquerda o a\u2c6ngulo entre \ud449
e \ud44a e´ agudo e a` direita e´ obtuso.
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3.2 Produtos de Vetores 187
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno, \ud449 \u22c5\ud44a , entre dois vetores e´ dado por
\ud449 \u22c5\ud44a = \ud4631\ud4641 + \ud4632\ud4642,
se \ud449 = (\ud4631, \ud4632) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642) sa\u2dco vetores no plano e por
\ud449 \u22c5\ud44a = \ud4631\ud4641 + \ud4632\ud4642 + \ud4633\ud4643,
se \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642, \ud4643) sa\u2dco vetores no espac¸o.
Exemplo 3.8. Sejam \ud449 = (0, 1, 0) e \ud44a = (2, 2, 3). O produto escalar de \ud449 por \ud44a e´ dado por
\ud449 \u22c5\ud44a = \ud4631\ud4641 + \ud4632\ud4642 + \ud4633\ud4643 = 0 \u22c5 2 + 1 \u22c5 2 + 0 \u22c5 3 = 2 .
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o a\u2c6ngulo entre dois vetores na\u2dco nulos, \ud449 e \ud44a . O
cosseno do a\u2c6ngulo entre \ud449 e \ud44a e´, enta\u2dco, dado por
cos \ud703 =
\ud449 \u22c5\ud44a
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 \u2223\u2223\ud44a \u2223\u2223 .
Se \ud449 e \ud44a sa\u2dco vetores na\u2dco nulos e \ud703 e´ o a\u2c6ngulo entre eles, enta\u2dco
(a) \ud703 e´ agudo (0 \u2264 \ud703 < 90o) se, e somente se, \ud449 \u22c5\ud44a > 0,
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
188 Vetores no Plano e no Espac¸o
(b) \ud703 e´ reto (\ud703 = 90o) se, e somente se, \ud449 \u22c5\ud44a = 0 e
(c) \ud703 e´ obtuso (90o < \ud703 \u2264 180o) se, e somente se, \ud449 \u22c5\ud44a < 0.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o a\u2c6ngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Sejam \ud4491 = (1, 0, 0), \ud4492 = (0, 1, 0) e \ud4493 = (0, 0, 1) (Figura 3.18). Uma diagonal do cubo e´ represen-
tada pelo vetor \ud437 dado por
\ud437 = \ud4491 + \ud4492 + \ud4493 = (1, 1, 1) .
Enta\u2dco o a\u2c6ngulo entre \ud437 e \ud4491 satisfaz
cos \ud703 =
\ud437 \u22c5 \ud4491
\u2223\u2223\ud437\u2223\u2223\u2223\u2223\ud4491\u2223\u2223 =
1.1 + 0.1 + 0.1
(
\u221a
12 + 12 + 12)(
\u221a
12 + 02 + 02)
=
1\u221a
3
ou seja,
\ud703 = arccos(
1\u221a
3
) \u2248 54o .
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3.2 Produtos de Vetores 189
x
y
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
\ud703
Figura 3.18: \u2c6Angulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
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190 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teorema 3.3. Sejam \ud448, \ud449 e \ud44a vetores e \ud6fc um escalar. Sa\u2dco va´lidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) \ud448 \u22c5 \ud449 = \ud449 \u22c5 \ud448 ;
(b) (distributividade) \ud448 \u22c5 (\ud449 +\ud44a ) = \ud448 \u22c5 \ud449 + \ud448 \u22c5\ud44a ;
(c) (associatividade) \ud6fc(\ud448 \u22c5 \ud449 ) = (\ud6fc\ud448) \u22c5 \ud449 = \ud448 \u22c5 (\ud6fc\ud449 );
(d) \ud449 \u22c5 \ud449 = \u2223\u2223\ud449 \u2223\u22232 \u2265 0, para todo \ud449 e \ud449 \u22c5 \ud449 = 0 se, e somente se, \ud449 = 0¯.
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam \ud448 = (\ud4621, \ud4622, \ud4623), \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642, \ud4643).
(a) \ud448 \u22c5 \ud449 = \ud4621\ud4631 + \ud4622\ud4632 + \ud4623\ud4633 = \ud4631\ud4621 + \ud4632\ud4622 + \ud4633\ud4623 = \ud449 \u22c5 \ud448 ;
(b) \ud448 \u22c5(\ud449 +\ud44a ) = (\ud4621, \ud4622, \ud4623)\u22c5(\ud4631+\ud4641, \ud4632+\ud4642, \ud4633+\ud4643) = \ud4621(\ud4631+\ud4641)+\ud4622(\ud4632+\ud4642)+\ud4623(\ud4633+\ud4643) =
(\ud4621\ud4631+\ud4621\ud4641)+(\ud4622\ud4632+\ud4622\ud4642)+(\ud4623\ud4633+\ud4623\ud4643) = (\ud4621\ud4631+\ud4622\ud4632+\ud4623\ud4633)+(\ud4621\ud4641+\ud4622\ud4642+\ud4623\ud4643) =
\ud448 \u22c5 \ud449 + \ud448 \u22c5\ud44a ;
(c) \ud6fc(\ud448 \u22c5 \ud449 ) = \ud6fc(\ud4621\ud4631 + \ud4622\ud4632 + \ud4623\ud4633) = (\ud6fc\ud4621)\ud4631 + (\ud6fc\ud4622)\ud4632 + (\ud6fc\ud4623)\ud4633 = (\ud6fc\ud448) \u22c5 \ud449 ;
(d) \ud449 \u22c5 \ud449 = \u2223\u2223\ud449 \u2223\u22232 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se,
e somente se, todas as parcelas sa\u2dco