Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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iguais a zero. \u25a0
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 191
3.2.2 Projec¸a\u2dco Ortogonal
Dados dois vetores \ud449 e \ud44a a projec¸a\u2dco ortogonal de \ud449 sobre \ud44a denotada por
proj\ud44a \ud449
e´ o vetor que e´ paralelo a \ud44a tal que \ud449 \u2212 proj\ud44a \ud449 seja ortogonal a \ud44a (Figura 3.19).
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
192 Vetores no Plano e no Espac¸o
Proposic¸a\u2dco 3.4. Seja \ud44a um vetor na\u2dco nulo. Enta\u2dco, a projec¸a\u2dco ortogonal de um vetor \ud449 em \ud44a e´
dada por
proj\ud44a \ud449 =
(
\ud449 \u22c5\ud44a
\u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232
)
\ud44a .
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam \ud4491 = proj\ud44a \ud449 e \ud4492 = \ud449 \u2212 proj\ud44a \ud449 . Como \ud4491 e´ paralelo a \ud44a , enta\u2dco
\ud4491 = \ud6fc\ud44a. (3.7)
Assim,
\ud4492 = \ud449 \u2212 \ud6fc\ud44a .
Multiplicando-se escalarmente \ud4492 por \ud44a e usando o Teorema 3.3 (d) obtemos
\ud4492 \u22c5\ud44a = (\ud449 \u2212 \ud6fc\ud44a ) \u22c5\ud44a = \ud449 \u22c5\ud44a \u2212 \ud6fc\u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232. (3.8)
Mas, \ud4492 e´ ortogonal a \ud44a , enta\u2dco \ud4492 \u22c5\ud44a = 0. Portanto, de (3.8) obtemos
\ud6fc =
\ud449 \u22c5\ud44a
\u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232 .
Substituindo este valor de \ud6fc na equac¸a\u2dco (3.7) segue-se o resultado. \u25a0
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
3.2 Produtos de Vetores 193
Exemplo 3.10. Sejam \ud449 = (2,\u22121, 3) e \ud44a = (4,\u22121, 2). Vamos encontrar dois vetores \ud4491 e \ud4492 tais
que \ud449 = \ud4491 + \ud4492, \ud4491 e´ paralelo a \ud44a e \ud4492 e´ perpendicular a \ud44a (Figura 3.19). Temos que
\ud449 \u22c5\ud44a = 2 \u22c5 4 + (\u22121)(\u22121) + 3 \u22c5 2 = 15
\u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232 = 42 + (\u22121)2 + 22 = 21 .
\ud4491 = proj\ud44a \ud449 =
(
\ud449 \u22c5\ud44a )
\u2223\u2223\ud44a \u2223\u22232
)
\ud44a =
(
15
21
)
(4,\u22121, 2) = (20
7
,\u22125
7
,
10
7
)
\ud4492 = \ud449 \u2212 \ud4491 = (2,\u22121, 3)\u2212 (20
7
,\u22125
7
,
10
7
) = (\u22126
7
,\u22122
7
,
11
7
) .
3.2.3 Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um vetor. Por isso, ele e´
chamado produto vetorial. Este produto tem aplicac¸a\u2dco, por exemplo, em F\u131´sica: a forc¸a exercida
sobre uma part\u131´cula com carga unita´ria mergulhada num campo magne´tico uniforme e´ o produto
vetorial do vetor velocidade da part\u131´cula pelo vetor campo magne´tico.
Definic¸a\u2dco 3.2. Sejam \ud449 e \ud44a dois vetores no espac¸o. Definimos o produto vetorial, \ud449 ×\ud44a , como
sendo o vetor com as seguintes caracter\u131´sticas:
(a) Tem comprimento dado numericamente por
\u2223\u2223\ud449 ×\ud44a \u2223\u2223 = \u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223 \u2223\u2223\ud44a \u2223\u2223 sen \ud703,
ou seja, a norma de \ud449 ×\ud44a e´ numericamente igual a` a´rea do paralelogramo determinado por
\ud449 e \ud44a .
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194 Vetores no Plano e no Espac¸o
\ud44a
\ud449
\ud449
\u2212
p
ro
j \ud44a
\ud449
proj\ud44a \ud449 \ud44a
\ud449
\ud449
\u2212
p
ro
j \ud44a
\ud449
proj\ud44a \ud449
Figura 3.19: Projec¸a\u2dco ortogonal do vetor \ud449 sobre o vetor \ud44a
\u2223\u2223\ud449 \u2223\u2223
\u2223\u2223\ud44a
\u2223\u2223
\ud44a
\ud449
\u210e
=
\u2223\u2223\ud44a
\u2223\u2223
se
n
\ud703
\ud703
Figura 3.20: ´Area de um paralelogramo determinado por dois vetores
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3.2 Produtos de Vetores 195
(b) Tem direc¸a\u2dco perpendicular a \ud449 e a \ud44a .
(c) Tem o sentido dado pela regra da ma\u2dco direita (Figura 3.21): Se o a\u2c6ngulo entre \ud449 e \ud44a e´ \ud703,
giramos o vetor \ud449 de um a\u2c6ngulo \ud703 ate´ que coincida com \ud44a e acompanhamos este movimento
com os dedos da ma\u2dco direita, enta\u2dco o polegar vai apontar no sentido de \ud449 ×\ud44a .
Da forma como definimos o produto vetorial e´ dif\u131´cil o seu ca´lculo, mas as propriedades que
apresentaremos a seguir possibilitara\u2dco obter uma fo´rmula para o produto vetorial em termos das
componentes dos vetores.
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196 Vetores no Plano e no Espac¸o
Teorema 3.5. Sejam \ud448, \ud449 e \ud44a vetores no espac¸o e \ud6fc um escalar. Sa\u2dco va´lidas as seguintes proprie-
dades:
(a) \ud449 ×\ud44a = \u2212(\ud44a × \ud449 ) (anti-comutatividade).
(b) \ud449 ×\ud44a = 0¯ se, e somente se, \ud449 = \ud6fc\ud44a ou \ud44a = \ud6fc\ud449 .
(c) (\ud449 ×\ud44a ) \u22c5 \ud449 = (\ud449 ×\ud44a ) \u22c5\ud44a = 0.
(d) \ud6fc(\ud449 ×\ud44a ) = (\ud6fc\ud449 )×\ud44a = \ud449 × (\ud6fc\ud44a ).
(e) \ud449 × (\ud44a + \ud448) = \ud449 ×\ud44a + \ud449 × \ud448 e (\ud449 +\ud44a )× \ud448 = \ud449 × \ud448 +\ud44a × \ud448 (Distributividade em
relac¸a\u2dco a soma de vetores).
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Pela definic¸a\u2dco do produto vetorial \ud449 ×\ud44a e \ud44a×\ud449 te\u2c6m o mesmo comprimento
e a mesma direc¸a\u2dco. Ale´m disso trocando-se \ud449 por \ud44a troca-se o sentido de \ud449 ×\ud44a (Figura
3.21).
(b) \u2223\u2223\ud449 ×\ud44a \u2223\u2223 = 0 se, e somente se, um deles e´ o vetor nulo ou sen \ud703 = 0, em que \ud703 e´ o a\u2c6ngulo
entre \ud449 e \ud44a , ou seja, \ud449 e \ud44a sa\u2dco paralelos. Assim, \ud449 ×\ud44a = 0¯ se, e somente se, \ud449 = \ud6fc\ud44a
ou \ud44a = \ud6fc\ud449 .
(c) Segue-se imediatamente da definic¸a\u2dco do produto vetorial.
(d) Segue-se facilmente da definic¸a\u2dco do produto vetorial, por isso deixamos como exerc\u131´cio para o
leitor.
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3.2 Produtos de Vetores 197
(e) Este item sera´ demonstrado no Ape\u2c6ndice IV na pa´gina 216.
\u25a0
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198 Vetores no Plano e no Espac¸o
Os vetores cano\u2c6nicos
\ud456\u20d7 = (1, 0, 0), \ud457\u20d7 = (0, 1, 0) e \ud458\u20d7 = (0, 0, 1)
sa\u2dco vetores unita´rios (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor
\ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633)
pode ser escrito como uma soma de mu´ltiplos escalares de \ud456\u20d7, \ud457\u20d7 e \ud458\u20d7 (combinac¸a\u2dco linear), pois
\ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) = (\ud4631, 0, 0) + (0, \ud4632, 0) + (0, 0, \ud4633) =
= \ud4631(1, 0, 0) + \ud4632(0, 1, 0) + \ud4633(0, 0, 1) =
= \ud4631 \ud456\u20d7+ \ud4632 \ud457\u20d7 + \ud4633 \ud458\u20d7. (3.9)
Da definic¸a\u2dco de produto vetorial podemos obter facilmente as seguintes relac¸o\u2dces:
\ud456\u20d7× \ud456\u20d7 = 0¯, \ud457\u20d7 × \ud457\u20d7 = 0¯, \ud458\u20d7 × \ud458\u20d7 = 0¯,
\ud456\u20d7× \ud457\u20d7 = \ud458\u20d7, \ud457\u20d7 × \ud458\u20d7 = \ud456\u20d7, \ud458\u20d7 × \ud456\u20d7 = \ud457\u20d7,
\ud457\u20d7 × \ud456\u20d7 = \u2212\ud458\u20d7, \ud458\u20d7 × \ud457\u20d7 = \u2212\u20d7\ud456, \ud456\u20d7× \ud458\u20d7 = \u2212\ud457\u20d7.
Agora, estamos prontos para obter uma fo´rmula que de\u2c6 o produto vetorial de dois vetores em
termos das suas componentes.
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3.2 Produtos de Vetores 199
Teorema 3.6. Sejam \ud449 = (\ud4631, \ud4632, \ud4633) e \ud44a = (\ud4641, \ud4642, \ud4643) vetores no espac¸o. Enta\u2dco o produto
vetorial \ud449 ×\ud44a e´ dado por
\ud449 ×\ud44a =
(
det
[
\ud4632 \ud4633
\ud4642 \ud4643
]
,\u2212 det
[
\ud4631 \ud4633
\ud4641 \ud4643
]
, det
[
\ud4631 \ud4632
\ud4641 \ud4642
])
. (3.10)
Demonstrac¸a\u2dco. De (3.9) segue-se que podemos escrever
\ud449 = \ud4631 \ud456\u20d7+ \ud4632 \ud457\u20d7 + \ud4633 \ud458\u20d7 e \ud44a = \ud4641 \ud456\u20d7+ \ud4642 \ud457\u20d7 + \ud4643 \ud458\u20d7.
Assim, pela distributividade do produto vetorial em relac¸a\u2dco a soma, temos que
\ud449 ×\ud44a = (\ud4631 \ud456\u20d7+ \ud4632 \ud457\u20d7 + \ud4633 \ud458\u20d7)× (\ud4641 \ud456\u20d7+ \ud4642 \ud457\u20d7 + \ud4643 \ud458\u20d7)
= \ud4631\ud4641(\u20d7\ud456× \ud456\u20d7) + \ud4631\ud4642(\u20d7\ud456× \ud457\u20d7) + \ud4631\ud4643(\u20d7\ud456× \ud458\u20d7) +
+ \ud4632\ud4641(\u20d7\ud457 × \ud456\u20d7) + \ud4632\ud4642(\u20d7\ud457 × \ud457\u20d7) + \ud4632\ud4643(\u20d7\ud457 × \ud458\u20d7) +
+ \ud4633\ud4641(\ud458\u20d7 × \ud456\u20d7) + \ud4633\ud4642(\ud458\u20d7 × \ud457\u20d7) + \ud4633\ud4643(\ud458\u20d7 × \ud458\u20d7)
= (\ud4632\ud4643 \u2212 \ud4633\ud4642)\u20d7\ud456+ (\ud4633\ud4641 \u2212 \ud4631\ud4643)\u20d7\ud457 + (\ud4631\ud4642 \u2212 \ud4632\ud4641)\ud458\u20d7
= det
[
\ud4632 \ud4633
\ud4642 \ud4643
]
\ud456\u20d7\u2212 det
[
\ud4631 \ud4633
\ud4641 \ud4643
]
\ud457\u20d7 + det
[
\ud4631 \ud4632
\ud4641 \ud4642
]
\ud458\u20d7
=
(
det
[
\ud4632 \ud4633
\ud4642 \ud4643
]
,\u2212 det
[
\ud4631 \ud4633
\ud4641 \ud4643
]
, det
[
\ud4631 \ud4632
\ud4641 \ud4642
])
\u25a0
Para obter as componentes do produto vetorial \ud449 ×\ud44a procedemos como segue:
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200 Vetores no Plano e no Espac¸o
\u2219 Escreva a matriz: [
\ud449
\ud44a
]
=
[
\ud4631 \ud4632 \ud4633
\ud4641 \ud4642 \ud4643
]
;
\u2219 Para calcular a primeira componente de \ud449 ×\ud44a , elimine a primeira coluna da matriz acima e cal-
cule o determinante da sub-matriz resultante. A segunda componente e´ obtida, eliminando-se
a segunda coluna e calculando-se o determinante da sub-matriz resultante com o sinal trocado.
A terceira e´ obtida como a primeira, mas eliminando-se a terceira coluna.
Exemplo 3.11. Sejam \ud449 = \ud456\u20d7+ 2\u20d7\ud457 \u2212 2\ud458\u20d7 e \ud44a = 3\u20d7\ud456+ \ud458\u20d7. Vamos determinar o produto vetorial \ud449 ×\ud44a .
Como [
\ud449
\ud44a
]
=
[
1 2 \u22122
3 0 1
]
,
enta\u2dco
\ud449 ×\ud44a =
(
det
[
2 \u22122
0 1
]
,\u2212 det
[
1 \u22122
3 1
]
, det
[
1 2
3 0
])
= (2,\u22127,\u22126) .
Usando os vetores \ud456\u20d7, \ud457\u20d7 e \ud458\u20d7 o produto vetorial \ud449 ×\ud44a , pode ser escrito em termos do \u201cdeterminante\u201d
\ud449 ×\ud44a = det
\u23a1
\u23a3 \ud456\u20d7 \ud457\u20d7 \ud458\u20d7\ud4631 \ud4632 \ud4633
\ud4641 \ud4642 \ud4643
\u23a4
\u23a6 = det [ \ud4632 \ud4633
\ud4642 \ud4643
]
\ud456\u20d7\u2212 det
[
\ud4631 \ud4633
\ud4641 \ud4643
]
\ud457\u20d7 + det
[
\ud4631 \ud4632
\ud4641 \ud4642
]
\ud458\u20d7 .
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3.2 Produtos de Vetores 201
Exemplo 3.12. Vamos calcular a a´rea do tria\u2c6ngulo \ud443\ud444\ud445 em que (Figura 3.24)
\ud443 = (3, 2, 0), \ud444 = (0, 4, 3) e \ud445 = (1, 0, 2).
Sejam
\ud449 =
\u2212\u2192
\ud445\ud443= (3\u2212 1, 2\u2212 0, 0\u2212 2) = (2, 2,\u22122)
\ud44a =
\u2212\u2192
\ud445\ud444= (0\u2212 1, 4\u2212 0, 3\u2212 2) = (\u22121, 4, 1) .
Enta\u2dco,
\ud449 ×\ud44a = (10, 0, 10) = 10(1, 0, 1).
A a´rea do tria\u2c6ngulo \ud443\ud444\ud445 e´ a metade da a´rea do paralelogramo com lados determinados por \ud449 e
\ud44a . Assim,
´Area =
1
2
\u2223\u2223\ud449 ×\ud44a \u2223\u2223 = 5
\u221a
2.
3.2.4 Produto Misto
O produto (\ud449 ×\ud44a ) \u22c5 \ud448 e´ chamado de produto misto de \ud448 , \ud449 e \ud44a